第三章-复变函数的积分(答案)

9 复变函数练习题复变函数练习题 第三章第三章 复变函数的积分复变函数的积分 系系 专业专业 班班 姓名姓名 学号学号 1 复变函数积分的概念复变函数积分的概念 4 原函数与不定积分原函数与不定积分 一 选择题 1 设为从原点沿至的弧段 则 C 2 yx 1 i 2 C xiydz A B C D 15 66 i 15 66 i 15 66 i 15 66 i 2 设是 从 1 到 2 的线段 则 C 1 zi t targ C zdz A B C D 4 4 i 1 4 i 1 i 3 设是从到的直线段 则 C01 2 i z C ze dz A B C D 1 2 e 1 2 e 1 2 ei 1 2 ei 4 设在复平面处处解析且 则积分 f z 2 i i f z dzi i i fz dz A B C D 不能确定2 i 2 i 0 二 填空题 1 设为沿原点到点的直线段 则 2 C0z 1zi 2 C zdz 2 设为正向圆周 则C 4 1z 2 2 32 4 AC zz dz z 10 i 三 解答题 1 计算下列积分 1 3 2 3 2 62 1 2 1 0 2 i z i i z i ii e dz e ee 10 2 2 2222 sin 1cos2sin2 224 sin2 244 i i i i i i zdz zzz dz ieeee iii i 3 1 0 1 0 sin sincos sin1cos1 zzdz zzz 4 2 0 22 2 0 cos sin1sin sin 222 i i zz dz z i 2 计算积分的值 其中为正向圆周 C z dz z A C 1 22 00 2 2 02 2 224 2 i i i z C ze e ie didi 积分曲线的方程为 则原积分 I 11 2 22 00 4 4 02 4 448 4 i i i z C ze e ie didi 积分曲线的方程为 则原积分 I 3 分别沿与算出积分的值 yx 2 yx 1 0 i iz dz 解 1 沿 y x 的积分曲线方程为 1 01zi tt 则原积分 1 0 11 2 00 1 1 12 1 2 Iii ti dt it dtitti 2 沿的积分曲线方程为 2 yx 2 01ztitt 则原积分 1 2 0 1 1 32243 0 0 12 3112 32 1 2 2233 Iititit dt ttitdttti tti 4 计算下列积分 1 C 从到的直线段 2 C xyix dz 01 i C 的方程 1 01zi tt 01 x tt t y tt 或 12 则原积分 1 2 0 1 2 0 1 1 1 3 Ittiti dt i it dt 2 C 上沿正向从 1 到 2 C zzz dz 1z 1 C 的方程 0 i ze 则原积分 2 0 3 3 0 0 1 8 33 ii i iii Ieie d e ieede 13 复变函数练习题复变函数练习题 第三章第三章 复变函数的积分复变函数的积分 系系 专业专业 班班 姓名姓名 学号学号 2 柯西 古萨基本定理柯西 古萨基本定理 3 基本定理的推广 复合闭路定理基本定理的推广 复合闭路定理 一 选择题 1 设在单连通区域内解析 为内任一闭路 则必有 f zBCB A B Im 0 C f z dz A Re 0 C f z dz A C D 0 C f zdz A Re 0 C f z dz A 2 设为正向圆周 则 C 1 2 z 3 2 1 cos 2 1 C z z dz z A A B C D 2 3cos1 sin1 i 06cos1i 2sin1i 3 设在单连通域内处处解析且不为零 为内任何一条简单闭曲线 则积分 f zBCB 2 C fzfzf z dz f z A A B C D 不能确定2 i 2 i 0 二 填空题 1 设为正向圆周 则C 3z C zz dz z A 6 i 2 闭曲线取正方向 则积分 0 1Cz 1 2 2 2 3 z C e dz zz 三 解答题 利用柯西积分公式求复积分 1 判断被积函数具有几个奇点 2 找出奇点中含在积分曲线内部的 若全都在积分曲线外部 则由柯西积分定理可得积分等零 若只有一个含在积分曲线内部 则直接利用柯西积分公式 若有多个含在积分曲线内部 则先利用复合闭路定理 再利用柯西积分公式 1 计算下列积分 1 22 1 0 C dz Czaa a za 14 22 1111 2 1111 20 22 CC CC dzdz zaazaza i dzdzi azazaaa 解 22 22 1 11 2 C z a Cza za i dzi zazaa 解法二 由被积函数在内部只有一个奇点 故由柯西积分公式可得 2 2 2 1 C z dz Cz z 2 1111 22 2 121 12 CC z dzdziii zzz 解 解法二 2 1 1 z Cz z 被积函数在内部具有两个奇点 分别作两个以 1 1 为心 充分小的长度为半径的圆周 C1 C2 且 C1和 C2含于 C 内部 由复合闭路定理 12 222 11 111 22 11 2 CCC zz zzz dzdzdz zzz zz ii zz iii 3 2 5 5 31 23 21 2226 31 z z z dz zz dziii zz 同上题中的解法二 15 12 2 5 13 313131 23 3 1 3 1 3131 22246 31 zCC zz zzz dzdzdz zzzzzz zz iiiii zz 4 其中正向 2 cos 4 AC z dz z 22 4C xyx 2 coscos 2 cos2 2cos2 22 422 CC zzzi dzdzi zz 2 计算积分 其中 C 为下列曲线 2 1 C dz z z A 2 1 21111111 1 222 CCCCC dz Idzdzdzdz z zzzizizzizi 1 1 2 Cz 2002 Iii 解法二 2 0 1 22 1 z Iii z 2 3 2 Czi 1 202 2 Iiii 解法二 2 0 11 222 1 z z i Iiiiii zz zi 3 1 2 Czi 1 020 2 Iii 解法二 1 2 zi Iii z zi 16 4 3 2 Cz 11 2220 22 Iiii 解法二 2 0 111 22220 1 z ziz i Iiiiiii zz ziz zi 3 计算 其中Ln C zdz 1 Lnln arg 1zziz Cz C 的方程 i ze Ln 1 2 ii C zdziie diei 2 Lnln arg2 zzizi CzR C 的方程 i zRe Ln lnarg2 arg2 i CCC zdzRizi dzizdziRie dR i 17 复变函数练习题复变函数练习题 第三章第三章 复变函数的积分复变函数的积分 系系 专业专业 班班 姓名姓名 学号学号 5 柯西积分公式柯西积分公式 6 解析函数的高阶导数解析函数的高阶导数 一 选择题 1 设是正向圆周 则 C 22 20 xyx 2 sin 4 1 C z dz z A A B C D 2 2 i 2 i 0 2 2 i 2 设为正向圆周 则 C 2z 2 cos 1 C z dz z A A B C D sin1 sin12sin1i 2sin1i 3 设 其中 则 4 A e f zd z 4z fi A B C D 2 i 1 2 i 1 4 设为不经过点 与的正向简单闭曲线 则为 C11 2 1 1 C z dz zz A A B C D 以上都有可能 2 i 2 i 0 二 填空题 1 闭曲线取正方向 积分 3Cz 3 2 1 z C e dzei z z 18 32 0 1 1111 22 1 1 12 1 zz zzz zC z ee edzieie zzzz 2 设 其中 则 0 0 2 sin 2 A f zd z 2z 1 f 3 f 2 0 3 0zzf zf 对满足的所有的 从而 三 解答题 1 设是解析函数且 求 f zuiv 22 2uvxyxy f z 22 2 22 22 xx yy uvxyxy xy uvxy uvyx 分别对方程 两边关于和求偏导 可得 f zuvCR 由解析知 和满足方程 从而 22 22 yx xy vvxy vvyx 22 222 2 2 2 2 x y vy vxyCuxyC vx f zxyCixyCzC 2 计算 C 分别为 2 1 1 C z dz zz A 1 2 3 1 1 2 z 1 1 2 z 2z 解 19 22 2 123 1111 1 1 2 211 1 111 41412 1 CC CCC zz dzdz zzzzz zzz dzdzdz zzz III 1 1 200 42 z zi Ii 2 11 022 4222 zz zzii Iiii 3 111 222 0 44222 zzz zzzii Iiiii 3 其中为的任何复数 为正向 3 z C e dz za A a 1a 1Cz 解 1 1a 当时 3 2 2 zz a C z a ee dziie za 2 1a 当时 3 0 z C e dz za 4 计算下列积分的值 C 为由所围的矩形边界正向 2 2xy 1 2 2 z C e dz i z 20 2 2 22 2 2 22 2 z z ziC iC e dzie i z 解 由知 含于的内部从而原积分 2 3 0 cos cos 2 2 C z z dz z z ii 复变函数练习题复变函数练习题 第三章第三章 复变函数的积分复变函数的积分 系系 专业专业 班班 姓名姓名 学号学号 7 解析函数与调和函数的关系解析函数与调和函数的关系 综合练习题综合练习题 一 选择题 1 下列命题正确的是 A 设在区域内均为的共轭调和函数 则必有 12 v vDu 12 vv B 解析函数的实部是虚部的共轭调和函数 C 若在区域内解析 则为内的调和函数 f zuiv D u x D D 以调和函数为实部与虚部的函数是解析函数 2 函数在闭路上及其内部解析 在的内部 则有 f zC 0 zC A B 0 22 00 1 CC f z dzfzdz zzzz AA2 00 CC f zfz dzdz zzzz AA C D 0 2 00 1 2 CC f zf z dzdz zzzz AA 0 2 00 CC f zf z dzdz zzzz AA 二 填空题 1 若函数为某一解析函数的虚部 则常数 3 32 u x yxaxy a 21 2 设的共轭调和函数为 那么的共轭调和函数为 u u x y v x y v x y 3 设为负向圆周 且 则C 4z 5 12 z C ei dz zi A 三 解答题 1 由下列各已知调和函数求解析函数 f zuiv 1 22 2 0 y vf xy 22 222222 2222 222 22 2222 22 2222 2222 2 C R 2 0 1 2 2 xy xy yx xy yxyyxy vv xyxy xyxy xyx uu dyv dydyg x xy xy xyxy ug xv xyxy xy g xg xCf ziC xyxy f 解 由方程知 另一方面 从而 因而 2222 11 0 22 xy CCf zi xyxy 2 arctan 0 y vx x 2 222 222 arctan 1 1 arctan 1 x x y y y yy x v xxy y x yx x v xxy y x 解 22 22 22 2222 22 C R 1 ln 2 0 1 ln arctanln 2 yx xy y uu dyv dydyxyg x xy xx ug xv xyxy g xg xC y f zxyiCzC x 由方程知 另一方面 从而 因而 解法二 2 222 222 22222 arctan 1 1 arctan 1 1 1 ln x x y y yx y yy x v xxy y x yx x v xxy y x xyz fzvivi xyxyzz f zfz dzdzzC z 2 求具有下列形式的所有调和函数 u 1 与为常数 且不全为零 uf axby a b 解 2 2 2 2 2 2 22 22 22 12 0 0 uf axbyaxby faxbyafaxby xxx uafaxby a faxby xx u b faxby y u uu abfaxby xy faxbyf axbyC axbyC 类似可得 从而由调和 23 2 y uf x 解 2 22 2 234 2 22 222 22342 2 2 11 1 2 0 2 1 yy f uyyy xx ff xxxxxx yy f uyyyy xx ff xxxxxx uyuy ff yxxyxx u uuyyyyy fff xyxxxxxx y t x t fttf 从而由调和 令 则由上式