必修五不等式知识点

第 1 面 不等式的基本知识不等式的基本知识 一 不等式与不等关系 一 不等式与不等关系 1 应用不等式 组 表示不等关系 不等式的主要性质 1 对称性 2 传递性 abba cacbba 3 加法法则 同向可加 cbcaba dbcadcba 4 乘法法则 bcaccba 0 bcaccba 0 同向同正可乘 bdacdcba 0 0 5 倒数法则 ba abba 11 0 6 乘方法则 1 0 nNnbaba nn 且 7 开方法则 1 0 nNnbaba nn 且 2 应用不等式的性质比较两个实数的大小 作差法 作差 变形 判断符号 结论 3 应用不等式性质证明不等式 二 解不等式 二 解不等式 1 一元二次不等式的解法 一元二次不等式的解集 000 22 acbxaxcbxax或 设相应的一元二次方程的两根为 则 00 2 acbxax 2121 xxxx 且 acb4 2 不等式的解的各种情况如下表 0 0 0 二次函数 cbxaxy 2 的图象0 a cbxaxy 2 cbxaxy 2 cbxaxy 2 一元二次方程 的根0 0 2 a cbxax 有两相异实根 2121 xxxx 有两相等实根 a b xx 2 21 无实根 的解集 0 0 2 a cbxax 21 xxxxx 或 a b xx 2 R 第 2 面 的解集 0 0 2 a cbxax 21 xxxx 2 简单的一元高次不等式的解法简单的一元高次不等式的解法 标根法 其步骤是 1 分解成若干个一次因式的积 并使每一个因式中最高次项的系数为正并使每一个因式中最高次项的系数为正 2 将每一个一次因式的根标在数轴上 从最大根的右上方依次通过每一点画曲线 并注意奇奇 穿过偶弹回穿过偶弹回 3 根据曲线显现 f x的符号变化规律 写出不等式的解集 如 xxx 1120 23 3 3 分式不等式的解法 分式不等式的解法 分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为 0 再通分并将分子分母 分解因式 并使每一个因式中最高次项的系数为正并使每一个因式中最高次项的系数为正 最后用标根法求解 解分式不等式时 一 般不能去分母 但分母恒为正或恒为负时可去分母 0 0 0 0 0 f x g x f xf x f x g x g xg xg x 4 4 不等式的恒成立问题 不等式的恒成立问题 常应用函数方程思想和 分离变量法 转化为最值问题 若不等式在区间上恒成立 则等价于在区间上 Axf DD minf xA 若不等式在区间上恒成立 则等价于在区间上 Bxf DD maxf xB 三 线性规划 三 线性规划 1 用二元一次不等式 组 表示平面区域 二元一次不等式Ax By C 0 在平面直角坐标系中表示直线Ax By C 0 某一侧所有点组成的 平面区域 虚线表示区域不包括边界直线 2 二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法 由于对在直线Ax By C 0 同一侧的所有点 把它的坐标 代入Ax By C 所得yx yx 到实数的符号都相同 所以只需在此直线的某一侧取一特殊点 x0 y0 从Ax0 By0 C的正负即 可判断Ax By C 0 表示直线哪一侧的平面区域 特殊地 当C 0 时 常把原点原点作为此特殊点 3 线性规划的有关概念 线性约束条件线性约束条件 在上述问题中 不等式组是一组变量 x y 的约束条件 这组约束条件都 是关于 x y 的一次不等式 故又称线性约束条件 线性目标函数线性目标函数 关于 x y 的一次式 z ax by 是欲达到最大值或最小值所涉及的变量 x y 的解析式 叫线 性目标函数 线性规划问题线性规划问题 一般地 求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题 统称为线性规划问 题 可行解 可行域和最优解可行解 可行域和最优解 满足线性约束条件的解 x y 叫可行解 第 3 面 由所有可行解组成的集合叫做可行域 使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解 4 求线性目标函数在线性约束条件下的最优解的步骤 1 寻找线性约束条件 列出线性目标函数 2 由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域 3 依据线性目标函数作参照直线 ax by 0 在可行域内平移参照直线求目标函数的最 优解 四 基本不等式 四 基本不等式 2 ab ab 1 若 a b R 则 a2 b2 2ab 当且仅当 a b 时取等号 2 如果 a b 是正数 那么 2 号时取当且仅当 baab ba 变形 有 a b ab 当且仅当 a b 时取等号 ab2 2 2 ba 3 如果 a b R a b P 定值 当且仅当 a b 时 a b 有最小值 P2 如果 a b R 且 a b S 定值 当且仅当 a b 时 ab 有最大值 4 2 S 注 1 当两个正数的积为定值时 可以求它们和的最小值 当两个正数的和为定值时 可以 求它们的积的最小值 正所谓 积定和最小 和定积最大 2 求最值的重要条件 一正 二定 三取等 4 常用不等式有 1 22 2 2211 abab ab ab 根据目标不等式左右的运算结 构选用 2 a b c R R 222 abcabbcca 当且仅当abc 时 取等号 3 若 0 0abm 则 bbm aam 糖水的浓度问题 不等式主要题型讲解不等式主要题型讲解 一 一 不等式与不等关系不等式与不等关系 题型一 不等式的性质题型一 不等式的性质 1 对于实数cba 中 给出下列命题 22 bcacba 则若 babcac 则若 22 22 0bababa 则若 ba ba 11 0 则若 b a a b ba 则若 0 baba 则若 0 bc b ac a bac 则若 0 11 ab ab 若 则0 0ab 其中正确的命题是 第 4 面 题型二 比较大小 作差法 函数单调性 中间量比较 基本不等式 题型二 比较大小 作差法 函数单调性 中间量比较 基本不等式 二 二 解不等式解不等式 题型三 解不等式题型三 解不等式 2 解不等式 3 解不等式 2 1 2 0 xx 4 解不等式 2 5 1 23 x xx 5 不等式的解集为 x 1 x 2 则 b 2 120axbx a 6 关于的不等式的解集为 则关于的不等式的解集x0 bax 1 x0 2 x bax 为 7 解关于 x 的不等式 2 1 10axax 题型四 恒成立问题题型四 恒成立问题 8 关于 x 的不等式 a x2 a x 1 0 恒成立 则 a 的取值范围是 第 5 面 9 若不等式对的所有实数都成立 求的取值范围 2 2210 xmxm 01x xm 10 已知且 求使不等式恒成立的实数的取值范围 0 0 xy 19 1 xy xym m 三 基本不等式 三 基本不等式 2 ab ab 题型五 求最值题型五 求最值 11 直接用 求下列函数的值域 1 y 3x 2 2 y x 1 2x 2 1 x 12 配凑项与系数 1 已知 求函数的最大值 5 4 x 1 42 45 yx x 2 当时 求的最大值 82 yxx 第 6 面 求函数的值域 2 2 5 4 x