直线的方程经典题型总结加练习题-含答案

C x y x y x y ABD OOOOx y 1 1 直线的倾斜角 直线的倾斜角 定义 x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角 特别地 当直线与 x 轴平 行或重合时 我们规定它的倾斜角为 0 度 因此 倾斜角的取值范围是 0 180 2 2 直线的斜率 直线的斜率 定义 倾斜角不是 90 的直线 它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率 直线的斜率常 用 k 表示 即 斜率反映直线与轴的倾斜程度 tank 当时 当时 当时 不存在 90 0 0 k 180 90 0 k 90 k 过两点的直线的斜率公式 21 12 12 xx xx yy k 所有直线都有倾斜角 但不是所有直线都有斜率 概念考查概念考查 1 已知经过点 A 2 0 和点 B 1 3a 的直线与经过点 P 0 1 和点 1 Q a 2a 的直线互相垂直 求实数 a 的值 2 2 直线与在同一坐标系下可能的图是 baxy abxy 3 直线必过定点 该定点的坐标为 3 2 xky A 3 2 B 2 3 C 2 3 D 2 3 4 如果直线 其中均不为 0 不通过第一象限 那么应满足0 cbyaxcba cba 的关系是 A B C D 同号0 abc0 ac0 abcba 5 若点 A 2 3 B 3 2 直线 过点 P 1 1 且与线段 AB 相交 则 的斜率ll 的取值范围是 k A 或 B 或 C D 4 3 k4 k 4 3 k 4 1 k 4 3 4 k4 4 3 k 3 3 两点间距离公式 两点间距离公式 设是平面直角坐标系中的两个点 1122 A x yB xy 则 22 2121 ABxxyy 4 4 点到直线距离公式 点到直线距离公式 一点到直线的距离 00 y xP0 1 CByAxl 22 00 BA CByAx d 概念考查概念考查 1 求两平行线 3x 4y 10 和 3x 4y 15 的距离 1 l 2 l 2 求过点 M 2 1 且与 A 1 2 B 3 0 两点距离相等的直线方程 3 直线 经过点 P 2 5 且与点 A 3 2 和点 B 1 6 的距离之比为 1 2 l 求直线 的方程 l 4 直线过点 A 0 1 过点 5 0 如果 且与的距离为 5 求 1 l 2 l 1 l 2 l 1 l 2 l 1 l 的方程 2 l 5 已知点 P 2 1 a 求过 P 点且与原点距离为 2 的直线 的方程l b 求过 P 点且与原点距离最大的直线 的方程 最大距离是多少l 5 5 求关于点对称的对称问题的方法 求关于点对称的对称问题的方法 1 1 求已知点关于点的对称点 求已知点关于点的对称点 距离相等 三点同线 距离相等 三点同线 2 2 求直线关于点的对称直线 求直线关于点的对称直线 平行 点到线距离相等 平行 点到线距离相等 3 3 求点关于直线的对称点 求点关于直线的对称点 在垂直线上 距离相等 在垂直线上 距离相等 4 4 求直线关于直线的对称直线 求直线关于直线的对称直线 平行 距离相等 相交 过交点 点对称 平行 距离相等 相交 过交点 点对称 概念考查概念考查 已知直线 y 3x 3 求 l 1 点 P 4 5 关于 的对称点坐标 l 2 直线 y x 2 关于 的对称直线的方程 l 3 直线 关于点 A 3 2 的对称直线的方程 l 6 6 直线上动点与已知点距离的最大最小值 直线上动点与已知点距离的最大最小值 a 在直线 上求一点 P 使 PA PB 取得最小值时 若点 A B 位于直线 的同侧 则作点l l A 或点 B 关于 的对称点 或点 连接 或 交 于点 P 则点 P 即为l A B A B AB l 所求 若点 A B 位于直线 的异侧 直接连接 AB 交 于 P 点 则点 P 即为所求 可简记ll 同侧对称异侧连同侧对称异侧连 即两点位于直线的同侧时 作其中一个点的对称点 两点位于直线的 异侧时 直接连接两点即可 b 在直线 上求一点 P 使 PA PB 取得最大值时 方法与 a 恰好相反 即 异侧对称异侧对称l 同侧连同侧连 概念考查概念考查 1 已知两点 A 3 3 B 5 1 直线 在直线 上求一点 P 使 PA PB l yx l 最小 2 求一点 P 使 PA PB 最大 直线的方程直线的方程经典例题经典例题 经典例题透析经典例题透析 类型一 求规定形式的直线方程类型一 求规定形式的直线方程 1 1 求经过点 A 2 5 斜率是 4 直线的点斜式方程 2 求倾斜角是 在轴上的截距是 5 直线的斜截式方程 3 求过 A 2 2 B 2 2 两点直线的两点式方程 4 求过 A 3 0 B 0 2 两点直线的截距式方程 思路点拨 思路点拨 直线方程有点斜式 斜截式 两点式 截距式 一般式 要根据条件写出直线方程 解 解 1 由于直线经过点 A 2 5 斜率是 4 由直线的点斜式可得 2 总结升华 总结升华 写规定形式的方程 要注意方程的形式 举一反三 举一反三 变式 1 1 写出倾斜角是 在轴上的截距是 2 直线的斜截式方程 2 求过 A 2 3 B 5 6 两点直线的两点式方程 3 求过 A 1 0 B 0 4 两点直线的截距式方程 答案 1 类型二 直线与坐标轴形成三角形问题类型二 直线与坐标轴形成三角形问题 2 过点 P 2 1 作直线 与 x 轴 y 轴正半轴交于 A B 两点 求 AOB 面积的 最小值及此时直线 的方程 思路点拨 思路点拨 因直线 已经过定点 P 2 1 只缺斜率 可先设出直线 的点斜式方程 且易知 k0 且 1 2k 0 故 k 0 AOB 的面积 当且仅当 4k 即 k 时 S 取最小值 4 故所求方程为 y 1 x 2 即 x 2y 4 0 总结升华 总结升华 解法一与解法二选取了直线方程的不同形式 解法三考虑到图形的直观性 利用了形 数结合的思想 体现了解题的 灵活性 已知直线过一点时 常设其点斜式方程 但需 注意斜率不存在的直线不能用点斜式表示 从而使用点斜式或斜截式方程时 要考虑斜率 不存在的情况 以免丢解 而直线在坐标轴上的截距 可正 可负 也可以为零 不能与 距离混为一谈 注意如何由直线方程求其在坐标轴上的截距 类型三 斜率问题类型三 斜率问题 3 求过点 且与轴的交点到点的距离为 5 的直线方程 思路点拨 思路点拨 要对直线是否存在斜率的不同情况加以分类解析 结合题目中的相关条件设出对应的 直线方程 然后求解 解析 解析 1 当直线斜率存在时 因为直线与轴相交 所以 设直线的斜率为 已知直线过点 代入点斜式方程 得 所以直线与轴的交点为则有 解得 故所求直线方程为 2 当直线斜率不存在时 经过点 A 且垂直于轴的直线与轴的交点 4 0 到 的距离也恰好 为 5 所以直线也满足条件 综上所述 所求直线方程为或 总结升华 总结升华 解答此类问题时 容易忽视直线斜率不存在时的情况 同学们在实际解答时要全面考 虑 斜率不存在的直线 即垂直于轴的直线 不能用点斜式 斜截式方程求解 点斜式 斜 截式方程的使用条件是直线斜率必须存在 因此 用点斜式 斜截式方程求解直线方程时要 考虑斜率不存在的情况 以免丢解 类型四 截距问题类型四 截距问题 4 求过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程 思路点拨 思路点拨 要对直线截距的不同情况加以分类解析 结合题目中的相关条件设出对应的直线方程 然 后求解 直线在两轴上截距相等 直接考虑截距式方程 也可以用由图形性质 得到 k 1 时截距相等 从而选用点斜式 解题时特别要注意截距都是 0 的情况 这时选用 函数 解析 解析 1 当截距不为零时 设所求直线方程为 将点代入得 解得 故所求直线方程为 2 当截距为 0 时 直线方程为 综上所述