第四章连续函数习题解答

1 第第 4 章章 连续函数连续函数 4 1 连续连续函数的概念函数的概念 一一 基本内容基本内容 一 函数在一点的连续性一 函数在一点的连续性 设函数在内有定义 若 yf x 0 U x 0 0 lim xx f xf x 则称函数在点连续 yf x 0 x 函数在点处连续 er yf x 0 x 0 0 lim xx f xf x 函数在点处连续 yf x 0 x 0 lim0 x y 二 单侧连续性二 单侧连续性 1 左连续左连续 函数在点左连续 yf x 0 x 0 0 lim xx f xf x 2 右连续右连续 函数在点右连续 yf x 0 x 0 0 lim xx f xf x 定理 定理 函数在点连续函数在点既是左连续又是右连续 yf x 0 x yf x 0 x 三 间断及其分类三 间断及其分类 设函数在内有定义 若在点无定义 或在点有定义但不连续 yf x 0 0 Ux yf x 0 x yf x 0 x 则称函数在点处间断 点称为函数的间断点间断点或不连续点不连续点 yf x 0 x 0 x yf x 间断的分类 1 可去间断点可去间断点 若 而在点无定义 或 0 lim xx f xA yf x 0 x 0 f xA 则点称为函数的可去间断点 0 x yf x 2 跳跃间断点跳跃间断点 左 右极限存在 但不相等的间断点称为跳跃间断点 而称为跃度跃度 00 lim lim xxxx lf xf x 可去间断点与跳跃间断点统称为第一类间断点 非第一类间断点称为第二类间断点 实质 实质 第一类间断点 左 右极限都存在 第二类间断点 左 右极限至少有一个不存在 三 函数在区间上的连续性三 函数在区间上的连续性 如果在内的每一点都连续 则称在上连续 如果在上连 yf x a b yf x a b yf x a b 续 且在点右连续 在点左连续 则称在上连续 如果函数在上xa xb yf x a b yf x a b 仅有有限个第一类间断点 则称函数在上分段连续 yf x a b 二二 习题解答习题解答 2 1 按定义证明下列函数在其定义域内连续 1 1 f x x 证 证 限制 则 0 0 x 0 00 11xx xxxx 0 0 2 x xx 0 00 2 x xxxx 于是 即 所以 取 0 12 xx 0 2 00 211xx xxx 0 2 0 0 min 22 xx 则时 即 所以 在点连续 故在 0 xx 0 11 xx 0 0 11 lim xx xx 0 0 x 1 f x x 0 xx 1 f x x 其定义域内连续 2 f xx 证 证 因为 所以 取 则时 0 xR 00 f xxxxx 0 0 xx 所以 在点连续 故在其定义域内连续 00 xxxx 0 xR f xx 0 xx f xx 2 指出下列函数的间断点并说明其类型 1 1 f xx x 解 解 间断点为 而 所以为第二类间断点 0 x 0 1 lim x x x 0 x 2 sin x f x x 解 解 间断点为 而 所以为第一类间断点 0 x 0 sin lim1 x x x 0 sin lim1 x x x 0 x 3 cosf xx 解 解 因为 所以间断点为 而 所以为 1 cos 0 xn f xx xn xn limcos0 xn x xn 可去间断点 4 sgnf xx 解 解 因为 而 所以为间断点 且是可去间断点 0 lim sgn1 x x 0 lim sgn1 x x 0 0f 0 x 5 sgn cos f xx 3 解 解 因为 所以为间断点 且是第一类 12 2 22 sgn cos 0 2 3 12 2 22 xkk f xxxk xkk 2 xk 间断点 6 xxQ f x xxQ 解 解 因为 所以在点连续 而当时 不存在 故 0 lim 0 0 x f xf f x 0 0 x 0 0 x 0 lim xx f x 处间断 且为第二类间断点 f x 0 0 x 7 1 7 7 71 1 1 sin1 1 x x f xxx xx x 解 解 因为 所以为其第二类间断点 又 77 1 lim lim 7 xx f x x 7x 11 lim lim1 xx f xx 所以为其第一类间断点 11 1 lim lim 1 sin0 1 xx f xx x 1x 3 延拓下列函数 使其 R 在上连续 1 3 8 2 x f x x 解 解 函数在点没有定义 所以为其间断点 又 3 8 2 x f x x 2x 2x 所以为其可去间断点 故为 3 2 222 8 lim limlim 24 12 2 xxx x f xxx x 2x 3 8 2 2 122 x x f x x x 在上的连续延拓 3 8 2 x f x x R 2 2 1cos x f x x 解 解 函数在点没有定义 所以为其间断点 又 2 1cos x f x x 0 x 0 x 2 00 1cos1 lim lim 2 xx x f x x 所以为其可去间断点 故 0 x 2 1cos 0 1 0 2 x x x f x x 为在上的连续延拓 2 1cos x f x x R 4 3 1 cosf xx x 解 解 函数在点没有定义 所以为其间断点 又 1 cosf xx x 0 x 0 x 00 1 lim lim cos0 xx f xx x 所以为其可去间断点 故0 x 1 sin0 00 xx f xx x 为在上的连续延拓 1 cosf xx x R 4 单调函数 能否有无穷多个间断点 f xxR 解 解 有 例如 所有正整数都是其间断点 f xxxR 5 有界函数能否有第二类间断点 解 解 有 例如 所有间断点都第二类间断点 f xD x 6 设处处连续 试确定的值 0 0 x ex f x xbx b 解 解 因为 所以为所求 00 lim lim xx f xxbb 00 lim lim1 x xx f xe 1b 7 试给出 它处处不连续 但却处处连续 f x f x 解 解 设 则处处不连续 但却处处连续 1 1 xQ f x xQ f x f x 8 证明 若在点连续 则与也在点连续 又问或在 I 上连续 f x 0 x f x 2 fx 0 x f x 2 fx 那么在 I 上是否必连续 f x 证 证 因为在点连续 所以 即 f x 0 x 0 0 lim xx f xf x 00 0 0 xxf xf x 从而时 于是 0 xx 00 f xf xf xf x 0 0 lim xx f xf x 又 与也在点连续 00 22 00 lim lim xxxx f xf xfxfx f x 2 fx 0 x 反之不成立 例如 与在上连续 但处处不连续 1 1 xQ f x xQ f x 2 fxR f x 9 设当时 而 证明 f 与 g 两者中至少有一个在不连续 0 x f xg x 0 0 fg 0 x 证 证 假设 f 与 g 在上都连续 则0 x 00 lim 0 lim 0 xx f xfg xg 而 所以 此与题设矛盾 故结论成立 f xg x 00 lim lim xx f xg x 0 0 fg 5 10 设为区间 I 上的单调函数 证明若为的间断点 则必是的第一类间断 f x 0 xI f x 0 x f x 点 证 证 因为为区间 I 上的单调函数 所以 f x 0 xI 存在 00 0 0 f xf x 故结论成立 11 设函数只有可去间断点 定义 证明连续 f x lim yx g xf y g x 证 证 因为只有可去间断点 设的定义域为 则 f x f xD 存在 xD lim yx f y 定义 则 于是 lim yx g xf y 0 xD 0 0 lim yx f yg x 11 2020 0 0 0 yxf yg x yxf yg x 取 取介于之间 则时 12 min y 0 x x 0 xx 102 yxyx 从而 故在上连续 00 2g xg xf yg xf yg x g xD 12 设为 R 上的单调函数 定义 证明在 R 上的每一点都右连续 f x 0 g xf x g x 证 证 不妨设在 R 上 因为 所以 f x 0 xR 00 0 g xf x 0 0 000 0 xxxf xf x 从而 取 由单调性得 00 xx x 0 xx x 0 0 0 f xf x f x 于是 故在 R 上的每一点都右连续 00 0 0 g xg xf xf x 0 0 f xf x g x 13 举出定义在上分别符合下述要求的函数 0 1 1 只在 和三点不连续的函数 1 2 1 3 1 4 解 解 取即可 1 21 31 41 f x xxx 2 只在 和三点连续的函数 1 2 1 3 1 4 解 解 取即可 其中为狄立克雷函数 111 234 f xxxxD x D x 3 只在上间断的函数 1 n 1 2 n 解 解 取即可 1 1 1 n k f x kx 4 只在右连续 而在其它点都不连续的函数 0 x 6 解 解 取 即可 10 0 0 xxQ f xxxxQ xQ 4 2 连续连续函数的性函数的性质质 一一 基本内容基本内容 一 连续函数的局部性质一 连续函数的局部性质 性质性质 1 局部有界性 若函数在点连续 则在的某邻域内有界 yf x 0 x yf x 0 x 0 U x 性质性质 2 局部保号性 若函数在点连续 且 则 yf x 0 x 0 0f x 0 0 xU x 0f x 性质性质 3 四则运算 若函数 在点连续 则 f x g x 0 x f xg xf xg x 0 0 f x g x g x 亦在连续 0 x 性质性质 4 复合函数连续性 若函数在点连续 uf x 0 x 在点连续 则复合函数 yg u 0 u 00 uf x yg f x 在点连续 0 x 实质 复合函数 y g f x 在点的连续性给出 0 x 00 lim lim xxxx g f xgf x 0 lim xx gfx 二 闭区间上连续函数的基本性质二 闭区间上连续函数的基本性质 性质性质 1 有界性有界性 如果在上连续 则在上有界 即 f x a b f x a b 0M xa bf xM 性质性质 2 最值性最值性 如果在上连续 则在 f x a b f x a b 上有最大值 最小值 即 12 x xa b 2 max xa b f xf x 1 min xa b f xf x 性质性质 3 零点存在性零点存在性 如果在 a b 上连续 且 则 f x 0f af b 00 0 xa bf x 性质性质 4 介值性介值性 如果在 a b 上连续 且 则 f x f af b 介于之间 f af b 00 xa bf x 即与之间的任一数在下都有原象 f a f bf 介值性指出 函数的值域为 m M 其中 f x min xa b mf x max xa b Mf x 三 反函数的连续性三 反函数的连续性 定理定理 1 若函数在上严格单调并连续 则其反函数在函数的值域上 yf x a b 1 xfy yf x 连续 四 一致连续性四 一致连续性 7 设在区间 I 上有定义 如果 f x0 0 x xI xxf xf x 则称在区间 I 上一致连续 一致连续 f x 定理定理 2 康托定理康托定理 若函数在连续 则函数在一致连续 yf x a b yf x a b 二二 习题解答习题解答 1 讨论复合函数与的连续性 设fg gf 1 2 sgn 1f xx g xx 2 2 sgn 1 f xx g xxx 解 解 1 在点间断 在上连续 而 在 sgnf xx 0 x 2 1g xx R 2 sgn 1 1fgxx 上连续 R 在点间断 2 10 1 sgn 20 x gfxx x 0 x 2 在点间断 在上连续 而 sgnf xx 0 x 2 1 g xxx R 2 1 1 0 1 sgn 1 01 0 1 1 1 0 1 x fgxxxx x 在上间断 1 0 1x 在上连续 2 1 sgn sgn0gfxxx R 2 设在点连续 证明 f x g x 0 x 1 若 则 00 f xg x 0 U x 0 xU xf xg x 证 证 设 则因为在点连续 所以在点连续 又 F xf xg x f xg x 0 x F x 0 x 由保号性知 000 0f xg xF x 0 0 0 xU xF x 从而 0 xU xf xg x 2 若在某内有 则 0 U x f xg x 00 f xg x 证 证 设 则因为在点连续 所以在点连续 又 F xf xg x f xg x 0 x F x 0 x 0 xU x 由保号性知 0f xg xF x 0 0 lim 0 xx F xF x 从而 00 f xg x 3 设在区间 I 上连续 记 f xg x max min F xf x g xG xf x g x 证明和也都在 I 上连续 F x G x 证 证 因为 max 2 f xg xf xg x F xf x g x 8 min 2 f xg xf xg x G xf x g x 所以由连续函数的性质知结论成立 4 设为 R 上连续函数 常数 记 f x0C Cf xC F xf xf xC Cf xC 若 若 若 证明在 R 上连续 F x 证 证 因为 由于在上连续 在上连续 所以 max min F xCC f x yf x RyC R 在上连续 从而 min g xC f x R max min F xCC f x 在 R 上连续 5 设 证明复合函数在点连续 但在不连 0 sin 0 xx f xx g x xx fg 0 x g x0 x 续 证 证 因为 所以在点连续 而 所以 sinfgxx fg 0 x 0 lim x g x 0 lim x g x 在不连续 g x0 x 6 设在上连续 且存在 证明在上有界 又问在上必 f x a lim x f x f x a f x a 有最大值或最小值吗 证 证 设 则由局部有界性知lim x f xA 11 0 MXxXf xM 又在上连续 从而在上有界 即 f x a f x a X 22 Mxa Xf xM 取 则 故在上有界 但在上不一 12 max MM M xa f xM f x a f x a 定有最大或最小 例如在上连续 而在上无最大 arctanf xx 0 lim 2 x f x f x 0 又如在上连续 而在上无最小 arccotf xx 0 lim 0 x f x f x 0 7 若 在上连续 能否由此推出在内连续 0 f x ab f x a b 解 解 在内连续 实因 f x a b 0 xa b 0 0 xab 由在上连续知在点连续 从而在内连续 f x ab f x 0 xx f x a b 8 请看下列结论是否正确 1 若 在内连续 则在内连续 a b f x f x a b 2 若 在内有界 则在内有界 a b f x f x a b 9 3 若 在有最大值 则在内有最大值 a b f x f x a b 解 解 1 结论成立 实因 0 xa b 0 a bx 由在点连续知在内连续 f x 0 xx f x a b 2 结论不成立 例如 1 0 1 f xx x 0 1 x 1 0 f x 所以在上有界 但在内无界 1 f x x 1 f x x 0 1 3 结论不成立 例如 1 0 1 f xx x 0 1 x 1 0 f x 所以在上有最大值 但在内最大值 1 f x x 1 1 f x x 0 1 9 求极限 1 4 lim tan x xx 解 解 因为在处连续 所以 tanf xxx 4 x 4 3 lim tantan 444 x xx 2 2 1 121 lim 1 x xxx x 解 解 因为在点右连续 所以 2 121 1 xxx f x x 1x 2 1 1213 lim 12 x xxx x 10 证明若在上连续 且 则在上恒正或恒负 f x a b 0 xa bf x f x a b 证 证 假设 则由零点存在定理 介于之间 1212 0 x xa bf xf x 12 xx 此与矛盾 故结论成立 0f 0 xa bf x 11 证明任一实系数奇次方程至少有一个实根 证 证 设为实系数奇次方程 则 0f x lim x f x lim x f x 从而 由零点存在定理知 1212 0 x xRf xf x 0Rf 故任一实系数奇次方程至少有一个实根 12 试用一致连续的定义证明若都在区间 I 上一致连续 则也在 I 上一致连 f xg x f xg x 10 续 证 证 因为都在区间 I 上一致连续 所以 f xg x0 0 f xf x x xI xx g xg x 于是时 x xIxx f xg xf xg x 2f xf xg xg x 故在 I 上一致连续 f xg x 13 证明在上一致连续 f xx 0 提示 0 0 1 1 证 证 因为 0 0 1 x x 00 0 00 xxxx xx xxx 所以 取 则时 故在上连续 又 0 0 x 0 xx 0 xx f xx 0 1 0 取 当时 故在点连续 从而在上连续 2 0 x 0 x f xx 0 x f xx 0 1 于是在上一致连续 再 因为 f xx 0 1 0 1 x x 00 00 00 xxxx xxxx xxx 所以 取 则时 0 0 xx 0 xx 故在上一致连续 f xx 1 综上可知 在上一致连续 f xx 0 14 证明在任意上一致连续 但在上非一致连续 2 f xx a b 证 证 0 x xa b 22 0000 f xf xxxxxxx 0 2max a bxx 所以 取 则 0 2max a b 0 x xa b 00 xxf xf x 故在任意上一致连续 而在上 取 取 2 f xx a b 0 1 0 1 x 则 而 1 2 x 2 xx 22 2 22 113 11 24 xx 故在上非一致连续 2 f xx 11 15设函数在区间 I 上满足利普希茨 Lipschitz 条件 即 f x0L x xIf xf xL xx 证明在 I 上一致连续 f x 证 证 因为在区间 I 上 f x0L x xIf xf xL xx 所以 取 则 时 0 L x xI xx f xf xL xx 故在 I 上一致连续 f x 16 证明在上一致连续 sin x 证 证 因为 x x sinsin2sincos 22 xxxx xxxx 所以 取 则 当 0 x x xx sinsinxx 故在上一致连续 sin x 17 设函数在上连续 且存在 证明在上一致连续 f x a lim x f x f x a 证 证 因为存在 所以由柯西收敛准则知lim x f x 0 0X x xXf xf x 从而在上一致连续 f x X 又在上连续 所以在上一致连续 f x a f x a X 故在上一致连续 f x a 18 设函数在上连续 且 证明 f x 0 2 a 0 2 ffa 0 0 xa 00 f xf xa 证 证 作函数 则 F xf xf xa 0 0 Fff a 2 0 F af afaf af 从而当时 取即 当时 因 所以由零点存在定理知 0 ff a 0 0 x 0 ff a 0 0FF a 即 0 0 xa 0 0F x 00 f xf xa 故结论成立 19 设为上的增函数 其值域为 证明在上连续 f x a b f af b f x a b 证 证 假设在点间断 则因为上的增函数知 0 xa bf x 0 xx f x a b 0 0 f x 存在 且 0 0 f x 00 0 0 f af xf xf b 从而 无原象 此与值域为矛盾 故在上连续 00 0 0 f xf x f af b f x a b 20 设在上连续 证明 f x a b 12 n x xxa b 12 a b 12 1 n ff xf xf x n 证 证 作函数 不妨设 12 n F xnf xf xf xf x 12 n f xf xf x 则 由零点存在定理知 即 1 0F x 0 n F x a b 0F 12 1 n ff xf xf x n 故结论成立 21 证明在上一致连续 cosf xx 0 提示 在上成立不等式 0 0 1 1 0 coscosxxxxxx 证 证 因为在上连续 所以在上一致连续 又 cosf xx 0 1 0 1 1 x x coscosxxxxxx 所以 取 则 时 0 1 x x xx coscosxx 故在上一致连续 从而在上一致连续 cosf xx 1 cosf xx 0 4 3 初等函数的连续性初等函数的连续性 一一 基本内容基本内容 所有初等函数在其定义域内连续 利用连续性求极限准则 00 0 lim lim xxxx f xfxf x 二二 习题解答习题解答 1 求下列极限 1 2 0 cos5 lim1 ln 1 x x ex xx 解 解 因为在点连续 所以 2 cos5 1ln 1 x ex f x xx 0 x 2 0 cos5 lim6 1ln 1 x x ex xx 13 2 lim x xxxx 解 解 limlim xx xx xxxx xxxx 2 1 1 1 lim 2 11 x x xx x 3 0 111111 lim x xxxxxx 解 解 0 111111 lim x xxxxxx 0 11 2 lim 111111 x xx xxxxxx 0 2 1 lim1 11 x x xx xxx x 4 lim 1 x xxx x 解 解 1 1 limlim1 11 1 xx x xxxxx x x 5 cot 0 lim 1sin x x x 解 解 cot 0 lim 1sin x x x 1cos1 sinsin 00 lim 1sin lim 1sin x xx xx xxe 6 1 1 lim 2 x x x x 解 解 1 1 2 2 1 11 limlim 1 22 x xx x xx x e xx 7 41 21 1 2 1 lim 2 x x x x x 解 解 41 412 2 2121 2 11 22 121 limlim1 22 x xx x xx xx xx e xx 14 8 1 0 lim cossin x x xx 解 解 1 0 lim cossin x x xx 1cossin1 cossin1 0 lim 1cossin1 xx xxx x xx 而 所以 2 00 cossin1sin1cos limlim1 xx xxxx x xxx 1 0 lim cossin x x xxe 9 1 cos2 4 lim tan x x x 解 解 11tan1 cos2tan1 cos2 44 lim tanlim 1tan1 x xxx xx xx 而 所以 22 44 tan1sincos limlim cos2cos cossin xx xxx xxxx 4 1 lim1 cos cossin xxxx 1 cos2 4 lim tan x x xe 10 11 lim sincos x x xx 解 解 1111 lim sincoslim 1sincos1 xx xx xxxx 11 sincos1 1 111 sincos1 11 lim 1sincos1 xx xxx x xx 而 所以 11 sincos1 lim1 1 x xx x 11 lim sincos x x e xx 11 1 sin lim sin x a xa x a 解 解 1sinsinsin sinsinsin sinsinsin limlim 1 sinsin axa x axaa x a xaxa xxa aa 而 所以 sinsinsinsin limlimcot sin sin xaxa xaxa a a xaxaa 1 cot sin lim sin x a a xa x e a 2 设 证明 lim0 lim nn nn aabb lim n bb n n aa 提示 ln nnn bba n ae 证 证 因为 而 所以 ln nnn bba n ae lim0 lim nn nn aabb lnln limlim nnn bbabab n nn aeea 3 试证方程在上仅有一实根 ln 0 xx R 证 证 设 则 ln 0 f xxx lim lim ln xx f xxx 15 从而 于是 11 0 xf x 00 lim lim ln xx f xxx 22 0 xf x 由零点存在定理知介于之间 故方程在上有实根 12 x x 0f ln 0 xx R 又在上 从而在上 R yx lnyx R yf x 所以方程在上只有一个实根 ln 0 xx R 4 试证方程在区间与中各 5716 0 123xxx 1 2 2 3 有一个实根 证 证 设 则 5716 123 f x xxx 1 lim x f x 2 lim x f x 且在上 所以在上 1 2 5 1 y x 7 2 y x 16 3 y x 1 2 5716 123 f x xxx 故在区间内有一个实根 同理可证 在区间内有一个 5716 0 123xxx 1 2 5716 0 123xxx 2 3 实根 故结论成立 总练习题总练习题 4 1 设函数在内连续 且与为有限值 证明若 f x a b 0 f a 0 f a a b 则在内能取到最大值 max 0 0 ff af a f x a b 证 证 因为 所以由保号性知 a b max 0 0 ff af a 12 x xa b 且 12 xx 12 xa xx bf xf 又在内连续 由闭区间上连续函数的性质知 f x 12 x x 012012 max xx xf xf xxx x 从而 于是 故结论成立 0 f xf xa b 0 f xf x 2 若在内有定义 且 f x U a 0 lim 0 h f ahf ah 试问在是否连续 f xxa 解 解 否 例如 sin 0 00 x x f xx x 而 但在不连续 00 sinsin lim 0 0 lim0 hh hh fhfh hh f x0 x 3 若在内有定义 且 f x U a 16 0 lim 0 h f ahf af ahf a 试问在点是否连续 f xxa 解 解 否 例如 sgnf xx 而 但在不连续 0 lim 0 0 0 h fhf afhf a f x0 x 4 设函数在区间 I 上连续 证明 f x 1 若 则 xQI 0f x xI 0f x 2 若 则 12 x xQI 1212 xxf xf x f x 证 证 1 假设 不妨设 因函数在区间 I 上连续 所以由保号 0 xI 0 0f x 0 0f x f x 性知 0 U x 0 0 xU xIf x 此与 矛盾 故 xQI 0f x xI 0f x 2 则 x xI xx 且 2 n xx rQx n r 1n rx 且 2 n xx rQx n r 2n rx 于是由连续性知 且 且 从而 故 n f r 1 lim n n f rf x n f r 2 lim n n f rf x 12 f xf x f x 5 设有正数 数 证明方程 123 a a a 123 312 123 0 aaa xxx 在区间与内各有一根 12 23 证 证 设 123231 f xa xxaxx 312 axx 则在上连续 因为 所以 f xR 123 0a a a 123 1123 0fa xx 2231 0faxx 3312 0faxx 从而在区间与内有根 由于至多有两个根 所以在区间与 f x 12 23 f x f x 12 内各有一根 设的两个根为 令 23 f x 12 x x 312 123 aaa g x xxx 则 故方程 1 1 123 0 f x g x xxx 2 2 123 0 f x g x xxx 在区间与内各有一根 312 123 0 aaa xxx 12 23 6 设在上连续 且 f x a b 17 1 2 xa bya bf yf x 证明 0a bf 证 证 因为在上连续 所以在上连续 从而在上可取到最小值 设 f x a b f x a b f x a b 如果 则结论成立 若 则由题设知 min mff xxa b 0m 0m 1 22 m ya bf yfm 此与矛盾 故结论成立 min mff xxa b 7 设在上连续 正数 证明 f x a b 12 n x xxa b 12 n 12 1 n a b 1122 nn ff xf xf x 证 证 设 不妨设 1122 nn F xf xf xf xf x 12 n f xf xf x 则 111122 nn F xf xf xf xf x 111211 0 n f xf xf xf x 1122 nnnn F xf xf xf xf x 12 0 nnnnn f xf xf xf x 从而由零点存在定理知 故 a b 0F a b 1122 nn ff xf xf x 8 设在上连续 且满足 f x 0 0 0 xf xx 取 证明 1 0a 1 1 2 nn af an 1 数列收敛 2 设 则 n alim n n at f tt 3 若 则 0 0 xf xx 0t 证 证 1 因为 所以 且有下界 故数列收敛 1 nnn n af aa n a0 n a 2 因为 所以在两边取极限则得 lim n n at 1 nn af a f tt 3 假设 则由知 且 此与 矛盾 0t lim n n at 0t f tt 0 x 0 f xx 故 0t 9 设在上连续 证明 f x 0 1 0 1 ff 0 1 nN 1 ff n 证 证 当时 取即知结论成立 当时 作函数1n 0 1n 1 F xfxf x n 则 18 1 0 0 Fff n 121 Fff nnn 11 1 nn Fff nn 从而 若 121 0 1 0 0 n FFFFff nnn 121 0 n FFFF nnn 全为零 则结论成立 若 121 0 n FFFF nnn 不全为零 则至少有两项异号 于是由零点存在定理知 0 1 0F 故 0 1 nN 1 ff n 10 设在点连续 且 f x0 x x yR f xyf xf y 证明 1 在点连续 2 f xR 1 f xfx 证 证 1 因为在点连续 所以 从而 0 xR f x0 x 0 lim 0 x f xf 故在点连续 00 000 lim lim xxxx f xf