2019_2020学年高中数学第一章解三角形能力测试新人教A版必修5.docx

第一章 解三角形能力检测满分150分考试时间120分钟一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1在ABC中，a，A120，b1，则角B的大小为()A30B45C60D90【答案】A【解析】ab，则B为锐角，由正弦定理可得，可得sin B，B30.故选A2在ABC中，A45，AC4，AB，那么cos B()ABCD【答案】D【解析】BC2AC2AB22ACABcos A1628cos 4510，BC，cos B.3设ABC的角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若A60，B75，c8，则a()A4B4C4D4【答案】B【解析】由题意得C180AB45，又c8，故由正弦定理可得，即，a4.故选B4已知关于x的方程x2xcos Acos B2sin20的两根之和等于两根之积的一半，则ABC一定是()A直角三角形B钝角三角形C等腰三角形D等边三角形【答案】C【解析】由题意知cos Acos Bsin2，cos Acos Bcos 180(AB)cos(AB)(cos Acos Bsin Asin B)，cos(AB)1.AB0，AB，ABC为等腰三角形故选C5(2019年山西运城模拟)ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c.已知bc，a22b2(1sin A)，则A()ABCD【答案】C【解析】由余弦定理得a2b2c22bccos A2b22b2cos A，所以2b2(1sin A)2b2(1cos A)，所以sin Acos A，即tan A1.又0A，所以A.6已知ABC中，b2c2a2且角A为三个内角中的最大角，则角A的取值范围是()ABCD【答案】C【解析】在ABC中，ABC，b2c2a2且角A为三个内角中的最大角，cos A0，可得A，3A，则A.A.故选C7钝角三角形ABC的面积是，AB1，BC，则AC()A5BC2D1【答案】B【解析】由题意可得ABBCsin B，又AB1，BC，sin B，解得B45或B135.当B45时，由余弦定理可得AC1，此时ACAB1，BC，易得A90，与“钝角三角形”条件矛盾，舍去B135.由余弦定理可得AC.8在锐角ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若b2asin B，则角A等于()A30B45C60D75【答案】A【解析】把b2asin B利用正弦定理化简得sin B2sin Asin B，sin B0，sin A.又A为锐角，则A30.故选A9(2019年广西梧州校级月考)如图，飞机的航线和山顶在同一个铅垂面内，若飞机的高度为海拔18 km，速度为1 000 km/h，飞行员先看到山顶的俯角为30，经过1 min后又看到山顶的俯角为75，则山顶的海拔高度为(精确到0.1 km，参考数据：1.732)()A5.1 kmB5.6 kmC6.1 kmD6.6 km【答案】D【解析】因为AB1 000km，所以BCsin 30(km)所以航线离山顶的高度hsin 75sin(4530)11.4 km.所以山顶的海拔高度为1811.46.6(km)10在ABC中，若b2，A120，三角形的面积S，则三角形外接圆的半径为()AB2C2D4【答案】B【解析】在ABC中，b2，A120，三角形的面积Sbcsin Ac，c2b.故B(180A)30.再由正弦定理可得2R4，三角形外接圆的半径R2.故选B11如图，在ABC中，已知点D在BC边上，ADAC，sin BAC，AB3，AD3，则BD的长为()AB2CD2【答案】C【解析】ADAC，DAC90，sin BACsin(BAD90)cos BAD.又AB3，AD3，BD2AB2AD22ABADcos BAD1892333，BD.故选C12(2019年广东广州综合测试)已知在ABC中，B2A，ACB的平分线CD把三角形分成面积比为43的两部分，则cos A()ABCD【答案】D【解析】在ADC中，由正弦定理得.同理，在BCD中，有.又sinADCsinBDC，sinACDsinBCD，所以ACBC由正弦定理得sin Bsin A又B2A，所以sin B2sin Acos A，所以cos A.二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分将正确答案填在题中横线上)13在ABC中，已知角A，B，C所对的边分别为a，b，c且c(acos Bbcos A)b2，则_.【答案】【解析】在ABC中，由c(acos Bbcos A)b2，得acbcb2，化简可得2，.再利用正弦定理可得.14已知ABC的周长为1且sin Asin Bsin C若ABC的面积为sin C，则C_.【答案】60【解析】sin Asin Bsin C，abc.又abc1，c1，ab.又SABCabsin Csin C，ab.cos C，C60.15在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c且b2c2bca20，则的值为_【答案】【解析】在ABC中，b2c2bca20，即b2c2a2bc，cos A，即A120.利用正弦定理化简得.16(2019年湖北武汉模拟)如图，A，B是海面上位于东西方向相距5(3)海里的两个观测点，现位于A点北偏东45，B点北偏西60的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60且与B点相距20海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/时，则该救援船到达D点需要_小时【答案】1【解析】由题意知AB5(3)(海里)，DBA906030，DAB904545，ADB180(4530)105.在DAB中，由正弦定理得，DB10(海里)又DBCDBAABC30(9060)60，BC20(海里)，在DBC中，由余弦定理得CD2BD2BC22BDBCcosDBC3001 20021020900，CD30(海里)，则需要的时间t1(小时)，即该救援船到达D点需要1小时三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17(本小题满分10分)(2017年新课标)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin(AC)8sin2 .(1)求cos B；(2)若ac6，ABC的面积为2，求b.【解析】(1)ABC，sin(AC)sin B又8sin284(1cos B)，sin B4(1cos B)，两边平方，整理，得17cos2B32cos B150，解得cos B或cos B1(舍去)(2)由cos B得sin B，SABCacsin Bac2，则ac.由余弦定理得b2a2c22accos B(ac)22ac(1cos B)3624，b2.18(本小题满分12分)(2019年陕西宝鸡模拟)如图，在ABC中，ABC90，AB，BC1，P为ABC内一点，BPC90.(1)若PB，求PA；(2)若APB150，求tanPBA【解析】(1)由已知得PBC60，所以PBA30.在PBA中，由余弦定理得PA232cos 30.故PA.(2)设PBA，由已知得PBsin .在PBA中，由正弦定理得，化简得cos 4sin .所以tan ，即tanPBA.19(本小题满分12分)如图，一船由西向东航行，在A处测得某岛M的方位角为，前进5 km后到达B处，测得岛M的方位角为.已知该岛周围3 km内有暗礁，现该船继续东行(1)若260，问该船有无触礁危险？(2)当与满足什么条件时，该船没有触礁的危险？【解析】(1)在ABM中可知，ABBM5，从而MC5sin 603，没有触礁危险(2)设CMx，则BM，AMB，在ABM中，由正弦定理得，即，解得x，所以当3时没有触礁危险20(本小题满分12分)在锐角ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边且a2csin A(1)确定角C的大小；(2)若c且ABC的面积为，求ab的值【解析】(1)a2csin A，由正弦定理可得sin A2sin Csin A又sin A0，sin C.C为锐角，C.(2)c，C且ABC的面积为，absin ，化为ab6.由余弦定理可得()2a2b22abcos (ab)23ab，ab5.21(本小题满分12分)如图，在ABC中，D为AB边上一点，DADC，已知B，BC1.(1)若ABC是锐角三角形，DC，求角A的大小；(2)若BCD的面积为，求边AB的长【解析】(1)在BCD中，B，BC1，DC，由正弦定理得，解得sin BDC，则BDC或.若BDC，则BCD，由DADC可得AACD，此时ACB，与ABC是锐角三角形矛盾，不合题意；若BDC，则BCD，由DADC可得AACD，此时ACB，满足题意综上所述，A.(2)由于B，BC1，BCD的面积为，得BCBDsin ，解得BD.由余弦定理得CD2BC2BD22BCBDcos 12，解得CD，则ABADBDCDBD，边AB的长为.22(本小题满分12分)已知海岛B在海岛A的北偏东45方向上，A，B相距10海里，小船甲从海岛B以2海里/时的速度沿直线向海岛A移动，同时小船乙从海岛A出发沿北偏西15的方向也以2海里/时的速度移动(1)经过1小时后，甲、乙两小船相距多少海里？(2)在航行过程中，小船甲是否可能处于小船乙的正东方向？若可能，请求出所需时间，若不可能，请说明理由. 【解析