菱形的性质及判定

13 1 3 菱形的性质和判定 讲义 学生版 page 1 of 7 菱形的性质菱形的性质 及判定及判定 中考要求中考要求 知识点A要求B要求 要求 菱形会识别菱形掌握菱形的概念 性质和判定 会用菱形的性质和 判定解决简单问题 会用菱形的知识解决有关 问题 知识点睛知识点睛 1 菱形的定义 菱形的定义 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形 2 菱形的性质 菱形的性质 菱形是特殊的平行四边形 它具有平行四边形的所有性质 还具有自己独特的性质 边的性质 对边平行且四边相等 角的性质 邻角互补 对角相等 对角线性质 对角线互相垂直平分且每条对角线平分一组对角 对称性 菱形是中心对称图形 也是轴对称图形 菱形的面积等于底乘以高 等于对角线乘积的一半 点评 其实只要四边形的对角线互相垂直 其面积就等于对角线乘积的一半 3 菱形的判定 菱形的判定 判定 一组邻边相等的平行四边形是菱形 判定 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 判定 四边相等的四边形是菱形 重 难点重 难点 重点是菱形的性质和判定定理 菱形是在平行四边形的前提下定义的 首先她是平行四边形 但它 是特殊的平行四边形 特殊之处就是 有一组邻边相等 因而就增加了一些特殊的性质和不同于平行四边 形的判定方法 菱形的这些性质和判定定理即是平行四边形性质与判定的延续 又是以后要学习的正方 13 1 3 菱形的性质和判定 讲义 学生版 page 2 of 7 形的基础 难点是菱形性质的灵活应用 由于菱形是特殊的平行四边形 所以它不但具有平行四边形的性质 同时还具有自己独特的性质 如果得到一个平行四边形是菱形 就可以得到许多关于边 角 对角线的 条件 在实际解题中 应该应用哪些条件 怎样应用这些条件 常常让许多学生手足无措 教师在教学 过程 中应给予足够重视 例题精讲例题精讲 板块一 菱形的性质 例例 1 菱形的两条对角线将菱形分成全等三角形的对数为 在平面上 一个菱形绕它的中心旋转 使它和原来的菱形重合 那么旋转的角度至少是 例例 2 如图 2 一活动菱形衣架中 菱形的边长均为若墙上钉子间的距离 则16cm16cmABBC 度 1 2 1 C BA 如图 在菱形中 分别是 的中点 若 则菱形ABCD60A EFABAD2EF ABCD 的边长是 EF D B C A 例例 3 如图 是菱形的边的中点 于 交的延长线于 交于 EABCDADEFAC HCBFABP 证明 与互相平分 ABEF P H F E D C B A 例例 4 如图 1 所示 菱形中 对角线 相交于点 为边中点 菱形ABCDACBDOHAD 的周长为 则的长等于 ABCD24OH 13 1 3 菱形的性质和判定 讲义 学生版 page 3 of 7 1 H O D C B A 巩固巩固 如图 已知菱形的对角线于点 则的长为 ABCD8cm4cmACBDDEBC EDE 例例 5 菱形的周长为 两邻角度数之比为 则菱形较短的对角线的长度为 20cm2 1 巩固巩固 如图 2 在菱形中 则菱形的边长为 ABCD6AC 8BD A B C D 51068 2 D CB A 巩固巩固 如图 3 在菱形中 分别是边和的中点 于点 ABCD110A EFABBCEPCD P 则 FPC A B C D 35 45 50 55 3 E D P C F B A 例例 6 如图 把一个长方形的纸片对折两次 然后剪下一个角 为了得到一个锐角为的菱形 剪60 口与折痕所成的角的度数应为 A 或 B 或 C 或 D 或15 30 30 45 45 60 30 60 巩固巩固 菱形中 分别是 的中点 且 那么等于 ABCDEFBCCDAEBC AFCD EAF 巩固巩固 如图 将一个长为 宽为的矩形纸片对折两次后 沿所得矩形两邻边中点的连线 虚10cm8cm 线 剪下 再打开 得到的菱形的面积为 A B C D 2 10cm 2 20cm 2 40cm 2 80cm 13 1 3 菱形的性质和判定 讲义 学生版 page 4 of 7 1 D C B A 例例 7 已知菱形的两条对角线的乘积等于菱形的一条边长的平方 则菱形的一个钝ABCDAC BD 角的大小是 例例 8 如图 菱形花坛的周长为 沿着菱形的对角线修建了两条小路ABCD20m60ABC 和 求两条小路的长和花坛的面积 ACBD 2 O D C B A 例例 9 已知 菱形中 分别是 上的点 若 求的度ABCDEFBCCDAEAFEFAB C 数 FE D C B A 板块二 菱形的判定 例例 10 如图 如果要使平行四边形成为一个菱形 需要添加一个条件 那么你添加的条件ABCD 是 D C A B 例例 11 如图 在中 平分 的中垂线交于点 交于点 求证 ABC BDABC BDABEBCF 四边形是菱形BEDF F ED C B A 巩固巩固 已知 如图 平行四边形的对角线的垂直平分线与边 分别相交于 ABCDACADBCEF 求证 四边形是菱形 AFCE 13 1 3 菱形的性质和判定 讲义 学生版 page 5 of 7 O D E F C A B 例例 12 如图 在梯形纸片中 将纸片沿过点 的直线折叠 使点ABCD ADBCADCD D 落在上的点处 折痕交于点 连结 求证 四边形是菱形 CADCDEBCE C E CDC E C D CB A E 例例 13 如图 是菱形的边的中点 于 交的延长线于 交EABCDADEFAC HCBF 于 证明 与互相平分ABPABEF A BC D E F PP F E D CB A 巩固巩固 已知 如图 在平行四边形中 是边上的高 将沿方向平移 使点ABCDAEBCABE BC 与点重合 得 若 当与满足什么数量关系时 四边形是菱ECGFC 60B ABBCABFG 形 证明你的结论 G FE D C B A 例例 14 如图 在中 是的中点 分别作于 于 ABC ABAC MBCMDAB DMEAC E 于 于 相交于点 求证 四边形是菱形 DFAC FEGAB GDFEG PDMEP P M F ED G CB A 例例 15 如图 中 是的平分线 交于 是边上的高 ABC 90ACB ADBAC BCDCHAB 交于 于 求证 四边形是菱形 ADFDEAB ECDEF 13 1 3 菱形的性质和判定 讲义 学生版 page 6 of 7 H F D E C B A 巩固巩固 如图 是矩形内的任意一点 将沿方向平移 使与重合 点MABCDMAB ADABDC 移动到点的位置M M 画出平移后的三角形 连结 试说明四边形的对角线互相垂直 且长度分别等于的 MD MC MM MDM CAB AD 长 当在矩形内的什么位置时 在上述变换下 四边形是菱形 为什么 M MDM C M M D C B A 三 与菱形相关的几何综合题 例例 16 已知等腰中 平分交于点 在线段上任取一点ABC ABAC ADBAC BCDAD 点除外 过点作 分别交 于 点 作 交于PAPEFAB ACBCEFPMAC AB 点 连结 MME 求证四边形为菱形AEPM 当点在何处时 菱形的面积为四边形面积的一半 PAEPMEFBM M P F A B C D E 课后练习课后练习 1 菱形周长为 一条对角线长为 则其面积为 52cm10cm 2 如图 在菱形中 在上 点在上 则ABCD4ABa E BC2120BEaBADP BD 的最小值为 PEPC E P D CB A 3 已知菱形的一个内角为 一条对角线的长为 则另一条对角线的长为 60 2 3 4 已知 菱形中 分别是 上的点 且 求 ABCDEFBCCD60BEAF 18BAE 的度数 CEF 13 1 3 菱形的性质和判定 讲义 学生版 page 7 of 7 F E D C B A 5 如图 在中 是的中点 连结 在的延长线上取一点 连结ABC ABAC DBCADADE 当与满足什么数量关系时 四边形是菱形 并说明理由 BECEAEADABEC E D C B A 6 如图 均