任意角的正弦函数、余弦函数和正切函数的概念教学设计

任意角的正弦函数 余弦函数和正切函数的概念教学设计任意角的正弦函数 余弦函数和正切函数的概念教学设计 名称名称 5 3 1 任意角的正弦函数 余弦函数和正切函数的概 念 执教者执教者田国纲课时一课时 基本信息基本信息 所属教材目录所属教材目录 中等职业教育课程改革国家规划新教材 高等教育出 版社 数学 基础模块 上册 P102 5 3 1 任意角的 正弦函数 余弦函数和正切函数的概念 教材分析教材分析 本节是学生在初中学习了锐角三角函数 高中学习了函数的对应定义 以及幂 指 对 函数后 将锐角三角函数推广到任意角三角函数 是对集合与函数的知识的进一步渗透 本 课是数学基础模块上册第五章三角函数中第三节的第一课时 三角函数是基本初等函数 它是 因变量随自变量变化现象的重要数学模型 任意角的正弦函数 余弦函数和正切函数正是这一 思想的体现之一 是初中相关知识的自然延续 教材采用从特殊到一般的方法 将直角三角形 平移到直角坐标系中 从而将直角三角形中定义的锐角三角函数推广到任意角的三角函数 并 且根据三角函数的定义 研究任意角三角函数的定义域 三角函数在各个象限的正负号以及界 限角的三角函数值 为今后学习解析几何等相关知识提供有利的工具 所以学生正确的理解和 掌握任意角的正弦函数 余弦函数和正切函数的概念尤为重要 学情分析学情分析 三角函数与之前学习的函数是一般与特殊的关系 三角函数置于其上位概念 即函数 之下 教学中应当注意发挥学生头脑中已有的函数对应定义 以及在幂函数 指数函数 对数 函数的学习中建立的经验 思想方法的指导作用 以已有的集合与函数 指数函数与对数函数 的知识为基础 通过联系和类比来研究三角函数 使学生明确三角函数与幂 指 对函数的 研究通性 从而明确需要研究的问题及其方法 三角函数的教学应是一种 逐渐分化 式的教学 要讲好概念 讲好知识的推展过程 讲 好知识的前后联系 在保证内容体系的合理性 科学性的前提下 加强教学素材的回顾性 问 题性 思想性 在知识发生发展过程中 提出恰时恰点的问题 把数学概念的概括过程和数学 思想方法的形成过程 设计成为一系列的问题 启发学生的积极主动思维 这样 可以使学生 感到数学概念的形成是自然的 数学知识的发展和数学思想方法的形成也是自然的 而不是牵 强和深奥的 教学目标教学目标 1 知识与技能 知识与技能 理解任意角的正弦函数 余弦函数和正切函数的定义 掌握利用计算器求任 意角的三角函数值 已知三角函数值求角 作三角函数的图像等实际操作 培养学生的计 算工具使用技能 2 过程与方法 过程与方法 通过从锐角三角函数定义过度到任意角三角函数定义的推广过程 体验三角 函数概念的产生 发展过程 领悟直角坐标系的工具功能 丰富数形结合的经验 3 情感 态度与价值观 情感 态度与价值观 培养学生通过现象看本质的唯物主义认识论观点 渗透事物相互联 系 相互转化的辩证唯物主义世界观 培养学生求真务实 实事求是的科学态度 重点 任意角的正弦函数 余弦函数和正切函数的定义 定义域 正负符号判断法 教学重难教学重难 点点 难点 1 把三角函数理解为以实数为自变量的函数 2 任意角的正弦函数 余弦函数和正切函数在各个象限的正负值 教学策略教学策略 与设计说与设计说 明明 教法分析 教法分析 我将采用探究式为主 讲练结合法为辅的教学方法 教学过程分为问题呈现阶段 探索与发现阶段 应用知识阶段 探索与发现新知识是教学的重点 所以在教学中采用以问题驱动 层层铺垫 从特殊到一般启 发学生获得新知识 学法指导 学法指导 建构主义学习理论认为 学习是学生积极主动的建构知识的过程 学习应该与学生熟悉的 知识背景相联系 在教学中 采用自主探索与合作交流的学习方式 让学生在问题情境中 经历知识的形成和发展 通过观察 操作 归纳 思考 探索 交流 反思参与学习 认识和 理解数学知识 学会学习 发展能力 教学过程教学过程 教学环节教学环节教师活动教师活动学生活动学生活动设计意图设计意图 课前指导课前指导 在教学前 先指导学生利用互联网 的 查找与任意角三角函数学习相 关的资料 百度搜索 任意角的 正弦函数 余弦函数 和正切函数的概念 自主预习本课基本 知识点 初步了解 基础知识 复习引入 回复习引入 回 想再认想再认 问题 问题 初中 我们学习过锐角 三角函数 如图 1 在中 OEBRt 是直角 那么根据锐角三角函E 数的定义 的正弦 余弦和正O 切是如何定义的 通过提问 帮 助学生回顾初中学过的锐角三角函 数的定义 强调 强调 只要角度确定了 无论角的 边长如何改变 正弦 余弦和正切 值都已经确定了 每一个确定的锐 角 都有相应的唯一的正弦值 余 弦值和正切值与之对应 因此 锐 角三角函数是以角为自变量 以边 长的比值为函数值的函数 x y OM PM r x OP OM r y OP PM tan cos sin 邻边 对边 斜边 邻边 斜边 对边 回忆函数的性质 温故待新 唤醒学生对函数 的认识 探讨学习 建探讨学习 建 构知识构知识 上节课 我们已经把锐角推广 到了任意角 今天锐角的三角函数 概念也能推广到任意角吗 试试看 可以独立思考和探索 也可以互相 讨论 问题问题 1 1 今天我们能否继续在 直角三角形中定义任意角的三角函 数 问题问题 2 2 追问 追问 在上节课 我们是如何将锐角的概念推广到任 意角的 小组讨论 每组汇总结论 陈述 理由 小组讨论 每组汇总结论 陈述 引导学生在平面 直角坐标系中定 义任意角三角函 数 进一步引导学生 在平面直角坐标 系中定义任意角 OE B 打开 百度搜索 93d619b6648d7c1c746fb html 网络 上课件 把锐角放置于直角坐标系 角的 顶点与原点重合 角的始边与轴x 非负轴重合 在直角坐标系中 在 角终边上任取一点 B 作 轴于 E 构造一个 xBE OEBRT 则 锐角 设 EOB 的邻边 0 0 babaB 对边 斜长 aOE bEB 22 barOB 问题问题 3 3 我们知道 借助平面直角 坐标系 就可以将几何问题代数化 如将点用坐标表示出来 把线段的 长用坐标算出来 那我们能否在平 面直角坐标系中 用角的终边上的 点的坐标来表示三角函数定义式中 的三条边长呢 r b r EB sin r a r OB cos a b OE EB tan 问题问题 4 4 既然我们已经可以用终边 上的点的坐标 比值 来表示锐角 三角函数 那如果终边不在第一象 限 也就是角不再是锐角时 我 理由 学生一起探讨将锐角 三角形放到直角坐标 系中研究 如图 2 学生分组讨论 结论 在平面直角坐 标系中考察锐角三角 形 可以用终边上的 点的坐标 比值 来 表示锐角三角函数 任意角三角函数定义 再创造 三角函数 自主学习 集体 探究 展开想象 大胆 创新 们可以用这种方法定义任意角三角 函数吗 教师打开启动 math3d 6 09 展 示不同象限的角 教师引导学生一起归纳 定义定义 设设是平面直角坐标系是平面直角坐标系a 中的一个任意角 点中的一个任意角 点是角是角 yxB 终边上任一点 终边上任一点 B B 与原点与原点 O O 之间之间 的距离记作的距离记作 r0 22 yxr 那么角那么角的正弦 余弦和正切分别的正弦 余弦和正切分别 定义为 定义为 正弦 正弦 r y sin 余弦 余弦 r x cos 正切 正切 x y tan 为使学生更深 刻领会任意角三 角函数的定义 引导学生思考如下 两个问题 问题问题 5 5 比值会随着点 B 在终边的位置改变而改变 吗 打开 math3d 6 09 如图 3 学生互相讨论 发言 观察 体验 先由学生自由发表意 见 学生观察三角函数值 这样的处理 不 仅保持了学生一 定的思考能力 还有助于学生克 服认识上的困难 既用坐标定义了 三角函数 又解 决了在直角三角 形中不能定义任 意角的三角函数 的问题 并形成 正确的认识 培养过程思维 强化函数两个变 量之间的变化关 系 图 4 联系相似三角形知识 探索发现 得出 对于角 的每一个确定值 三个 比值都是确定的 不会随 B 在终边上的移动而变化 问题问题 6 6 角大小发生变化时 比值会改变吗 打开 math3d 6 09 动画演 示 如图 4 在各个象限内旋转角的终边 改变角的大小 结论 函数值随的变化而变化 教师强调 教师强调 1 sin表示 sin 与的乘 积吗 不是 sin是函数记号 是 一个整体 相当于函数记号 xf 的变化 注意函数符号意义 利用函数定义理解三 角函数概念 培养个性思维 通 math3d 6 09 的动态演 示 使本节课学 习的重点得到更 好的理解 也可 以帮助学生突破 难点 强化函数定义 其它几个三角函数也如此 2 对于每一个确定的值 其正弦 余弦及正切 当 都0 x 分别对应一个确定的比值 因此 正弦 余弦及正切都是以为变量 的函数 分别叫做正弦函数 余弦 函数及正切函数 它们都是三角函 数 由任意角三角函数的定义可以 看出 当角的终边在轴上 y 终边上任意一点zkk 2 的横坐标的值都等于 0 此时x 无意义 因此 正弦函数 x y tan 余弦函数及正切函数的定义域如下 表所示 三角函数定义域 sin R cos R tan zkk 2 在弧度制下 的度量值是一个实 数 因此 三角函数是以实数为自 变量的函数 记忆三角函数定义域 例题精讲 巩例题精讲 巩 固应用固应用 例题 例题 已知角的终边经过点a 求角的正弦 余弦 3 2 pa 正切值 分析 已知角的终边上一点的ap 坐标 求角的某个三角函数值的a 时候 首先要根据关系式 求出点到坐标原 22 yxr p 点的距离 然后根据三角函数定r 义进行计算 解 因为 所以3 2 yx 13 3 2 22 r 小组共同完成知识运用 因此 13 133 13 3 sin r y a 13 132 13 2 cos r x a 2 3 tan x y a 练习巩固 理练习巩固 理 解记忆解记忆 基础练习 1 已知角的终边经过点 P a 3 1 求的三个三角函数值 a 2 已知角的终边经过点 P a 2 3 求的值 aa cos sin 提高练习 若点是角终边 12 mpa 上一点 且 求和 12 5 tan aasin 的值 acos 学生个人完成 小组 核对 增强相互协作精 神 分享交流总结分享交流总结小组讨论 学习心得 学会了什么 哪些还不懂 布置作业布置作业课外练习 百度搜索 http www eku cc xzy sj 56190 htm 板书设计板书设计 任意角的正弦函数 余弦函数和正切函 数的概念 强调 例题讲解 练习讲解 教学设计流程图教学设计流程图 教学反思教学反思 引言及设计理念引言及设计理念 教学分析教学分析 教材分析教材分析 学情分析学情分析 教学策略与设计说明教学策略与设计说明 教法分析教法分析 学法指导学法指导 教学重难点教学重难点 教学目标教学目标 知识与技能知识与技能 过程与方法过程与方法 情感与价值观情感与价值观 教学过程教学过程 课前指导课前指导 复习引入 回想再认复习引入 回想再认 探讨学习 建构知识探讨学习 建构知识 例题精讲 巩固应用例题精讲 巩固应用 练习巩固 理解记忆练习巩固 理解记忆 分享交流总结分享交流总结 布置作业布置作业 板书设计板书设计 问题讨论问题讨论 知识迁移知识迁移 问题引导问题引导 知识总结知识总结 观察 分析观察 分析 总结总结 教学反思教学反思 本教案设计 我借助互联网进行数学知识挖掘 提高教师个人对教材内容 和教学方法的理解 并充分考虑职中学生的特点 延伸课堂 利用互联网的巨 大资源库 为学生提供更多更好的学习机会 做得比较成功的地方有 1 利用现代技术手段 使枯燥的数学知识生动化 提高学生学习数学的 兴趣 教给学生更科学的学习方法 2 采用以 由旧信新 由易到难 的思路开展教学 指导学生通过讨论 难证去探求知识 体验三