电磁场答案五

第五章习题解答第五章习题解答 5 1 真空中直线长电流I的磁场中有一等边三角形回路 如题 5 1 图所示 求三角形回路内的磁通 解解 根据安培环路定理 得到长直导线的电流I产生的磁场 0 2 I r Be 穿过三角形回路面积的磁通为 d S B SA 3232 00 0 2 d dd 2 dbdbz dd IIz zxx xx 由题 5 1 图可知 tan 63 xd zxd 故得到 32 0 d 3 db d Ixd x x 0 3 ln 1 223 I bdb d 5 2 通过电流密度为J的均匀电流的长圆柱导体中有一平行的圆柱形空腔 如题 5 2 图所示 计算各部分的磁感应强度B 并证明腔内的磁场是均匀的 解解 将空腔中视为同时存在J和 J 的两种电流密度 这样可将原来的电流 分布分解为两个均匀的电流分布 一个电流密度为J 均匀分布在半径为b的 圆柱内 另一个电流密度为 J 均匀分布在半径为a的圆柱内 由安培环路定 律 分别求出两个均匀分布电流的磁场 然后进行叠加即可得到圆柱内外的磁 场 由安培环路定律 0 d C I Bl A 可得到电流密度为J 均匀分布在半径为 b的圆柱内的电流产生的磁场为 0 2 0 2 2 2 bb b b b b rb b rb r Jr B Jr 电流密度为 J 均匀分布在半径为a的圆柱内的电流产 生的磁场为 0 2 0 2 2 2 aa a a a a ra a ra r Jr B Jr 这里 a r 和b r 分别是点 a o 和 b o 到场点P的位置矢量 将 a B 和 b B 叠加 可得到空间各区域的磁场为 圆柱外 22 0 22 2 ba ba ba rr BJrr b rb 圆柱内的空腔外 2 0 2 2 ba a a r BJrr ba rb ra d b I z x 题 5 1 图 dS b r a r J b oa o a b 题 5 2 图 d 空腔内 00 22 ba BJrrJd a ra 式中d是点和 b o 到点 a o 的位置矢量 由此可见 空腔内的磁场是均匀的 5 3 下面的矢量函数中哪些可能是磁场 如果是 求其源变量J 1 0 rar HeBH 圆柱坐标 2 0 xy ayaxHeeBH 3 0 xy axayHeeBH 4 0 arHeBH 球坐标系 解解 根据恒定磁场的基本性质 满足 0B 的矢量函数才可能是磁场的 场矢量 否则 不是磁场的场矢量 若是磁场的场矢量 则可由J H 求出 源分布 1 在圆柱坐标中 2 11 20 r rBara rrrr B 该矢量不是磁场的场矢量 2 0ayax xy B 该矢量是磁场的矢量 其源分布为 2 0 xyz z a xyz ayax eee JHe 3 0axay xy B 该矢量是磁场的场矢量 其源分布为 0 0 xyz xyz axay eee JH 4 在球坐标系中 11 0 sinsin B ar rr B 该矢量是磁场的场矢量 其源分布为 2 2 sin 1 ctag2 sin 00sin r r rr aa rr ar eee JHee 5 4 由矢量位的表示式 d 4R J r A r 证明磁感应强度的积分公式 0 3 d 4R J rR B r 并证明 0B 解 0 d 4R J r B rA r 0 d 4R J r 0 1 d 4R J r 0 3 d 4R R J r 0 3 d 4R J rR 0 BA r 5 5 有一电流分布 0 zrJ raJ re 求矢量位 A r 和磁感应强度 B r 解解 由于电流只有 z e 分量 且仅为r的函数 故 A r 也只有 z e 分量 且仅 为r的函数 即 zz A rA re 在圆柱坐标系中 由 rAz 满足的一维微分方程 和边界条件 即可求解出 rA 然后由 rBA r 可求出 B r 记ar 和ar 的矢量位分别为 1 A r 和 2 A r 由于在ar 时电流为零 所以 2 1 100 1 z z A ArrJ r rrr ar 2 2 2 1 0 z z A Arr rrr ar 由此可解得 3 10011 1 ln 9 z ArJ rCrD 222 ln DrCrAz 1 rAz 和 2 rAz 满足的边界条件为 0 r 时 1 rAz 为有限值 ar 时 21 aAaA zz ar z ar z r A r A 21 由条件 有 0 1 C 3 0022 1 ln 9 J aCaD 2 002 11 3 J aC a 由此可解得 3 200 1 3 CJ a 3 200 11 ln 33 DJ aa 故 3 1001 1 9 z ArJ rD ar 33 20000 111 ln ln 333 z ArJ arJ aa ar 式中常数1 D 由参考点确定 若令 0 r 时 0 1 rAz 则有 0 1 D 空间的磁感应强度为 2 1100 1 3 rrJ r BAe ra 3 00 22 3 J a rr r BAe x zyxP z ab r y I 题 5 6 图 ra 5 6 如题 5 6 图所示 边长分别为a和b 载有电流I的小矩形回路 1 求远处的任一点 zyxP 的矢量位 A r 并证明它可以写成 0 3 4 m r pr A r 其中 mzIab pe 2 由A求磁感应强度B 并证明B可以写成 0 4 I Bd 式中 2 zr ab r ee d 场点对小电流回路所张的立 体角 解解 1 电流回路的矢量位为 0 1 d 4 C I R A rl A 式中 222 1 2 Rxxyyz 222 1 2 2 sin cossin rrxyxy 根据矢量积分公式 dd CS lS A 有 11 dd CS RR lS A 而 11 RR 所以 0 1 d 4 S I R A rS 对于远区场 yrxr 所以rR 故 0 1 d 4 S I r A rS 0 1 d 4 S I r S0 1 4 zIab r e 0 3 4 m r r p 0 3 4 m r pr 2 由于 0 3 4 mz rp r r Ae 0 2 sin 4 m p r e 故 11 sin sin r ArA rrr BAee 0 3 2cossin 4 m r p r ee 又由于 33 22 cos 2cossin zr r rr rr ee ee 故 000 22 d 444 mzrzr pIIab rr eeee B 5 7 半径为a磁介质球 具有磁化强度为 2 z AzBMe 其中A和B为常数 求磁化电流和等效磁荷 解解 磁介质球内的磁化电流体密度为 2 20 mzzz AzBAz JMeee 等效磁荷体密度为 2 2 m AzBAz z M 磁介质球表面的磁化电流面密度为 22 cos mSr azr AaB JMnee 22 cos sinAaB e 等效磁荷面密度为 22 cos mr arz AaB n Mee 22 cos cosAaB 5 8 如题 5 8 所示图 无限长直线电流I垂直于 磁导率分别为 1 和 2 的两种磁介质的分界面 试求 1 两种磁介质中的磁感应强度 1 B 和 2 B 2 磁化 电流分布 解解 1 由安培环路定理 可得 2 I r He 所以得到 0 10 2 I r BHe 2 2 I r BHe 2 磁介质在的磁化强度 0 2 00 1 2 I r MBHe 则磁化电流体密度 0 0 1 d1 d1 0 d2d mzz I rMr rrrr JMee 在 0 r 处 2 B 具有奇异性 所以在磁介质中 0 r 处存 在磁化线电流 m I 以z轴为中心 r为半径作一个圆形 回路C 由安培环路定理 有 0 1 d m C II Bl A 0 I 故得到 m I 0 1 I 在磁介质的表面上 磁化电流面密度为 0mSzz JMe 0 0 2 r I r e 5 9 已知一个平面电流回路在真空中产生的磁场强度为 0 H 若此平面电 流回路位于磁导率分别为 1 和 2 的两种均匀磁介质的分界平面上 试求两种磁 介质中的磁场强度 1 H 和 2 H 解解 由于是平面电流回路 当其位于两种均匀磁介质的分界平面上时 分 界面上的磁场只有法向分量 根据边界条件 有 12 BBB 在分界面两侧作 一个小矩形回路 分别就真空和存在介质两种不同情况 应用安培环路定律即 10 2 I x z 题 5 8 图 1 2 h l 11P H 12 PH 22 PH 21 PH 题 5 9 图 可导出 1 H 2 H 与 0 H 的关系 在分界面两侧 作一个尺寸为 lh 2 的小矩形回路 如题 5 9 图所示 根 据安培环路定律 有 11211222 d C H PhHPhH PhHPhI Hl A 1 因H垂直于分界面 所以积分式中 0Hl 这里I为与小矩形回路交链的电 流 对平面电流回路两侧为真空的情况 则有 00102 d2 2 C HPhHPhI Hl A 2 由于1 P 和2 P 是分界面上任意两点 由式 1 和 2 可得到 120 2HHH 即 0 12 2 BB H 于是得到 12 0 12 2 BH 故有 2 10 112 2B HH 1 20 212 2B HH 5 10 证明 在不同介质分界面上矢量位A的切向分量是连续的 解解 由 BA得 ddd SSC BSASAl A 1 在媒质分界面上任取一点P 围绕点P任作一个 跨越分界面的狭小矩形回路C 其长为 l 宽为h 如题 5 10 图所示 将式 1 应用于回路C上 并令 h 趋于零 得到 12 0 dlim Sh C d AlAlAlBSAAA A 由于B为有限值 上式右端等于零 所以 12 0 AlAlAA 由于矢量 l平行于分界面 故有 12tt AA 5 11 一根极细的圆铁杆和一个很薄的圆铁盘样品放在磁场 0 B 中 并使它 们的轴与 0 B 平行 铁的磁导率为 求两样品内的B和H 若已知 0 1TB 0 5000 求两样品内的磁化强度M 解解 对于极细的圆铁杆样品 根据边界条件 12tt HH 有 000 HHB 0 0 BHB 题 5 10 图 媒质 C n 1 A l h 媒质 2 A 0 0000 14999 1 B MHB 对于很薄的圆铁盘样品 根据边界条件 12nn BB 有 0 BB 0 HBB 0 000 114999 5000 B MHB 5 12 如题 5 12 图所示 一环形螺线管的平均半径 15 0 r cm 其圆形截 面的半径 2 a cm 鉄芯的相对磁导率 1400 r 环上绕 1000 N 匝线圈 通 过电流 AI7 0 1 计算螺旋管的电感 2 在鉄芯上开一个 cm1 0 0 l 的空气隙 再计算电感 假设开口后鉄芯 的 r 不变 3 求空气隙和鉄芯内的磁场能量的比值 解解 1 由于 0 ra 可认为圆形截面上的磁场是 均匀的 且等于截面的中心处的磁场 由安培环路定律 可得螺旋管内的磁场为 0 2 NI H r 与螺线管铰链的磁链为 22 0 2 a N I NS H r 故螺线管的电感为 22 0 2 a N L Ir 722 1400 4100 021000 2 346 H 2 0 15 2 当铁芯上开有小空气隙时 由于可隙很小 可忽略边缘效应 则在空 气隙与鉄芯的分界面上 磁场只有法向分量 根据边界条件 有 0 BBB 但空气隙中的磁场强度 0 H 与铁芯中的磁场强度 H 不同 根据安培环路定律 有 0 000 2 H lHrlNI 又由于 000 BH 0r BH 及 BBB 0 于是可得 0 000 2 r r NI B lrl 所以螺线管得磁链为 22 0 000 2 r r a N I NSB lrl 故螺线管得电感为 22 0 000 2 r r a N L Ilrl 2722 4101400 0 021000 0 944 H 1400 0 00120 150 001 0 r 0 l I a o 题 5 12 图 3 空气隙中的磁场能量为 2 0000 1 2 m WH Sl 鉄芯中的磁场能量为 2 000 1 2 2 mr WH Srl 故 00 00 1400 0 001 1 487 220 150 001 mr m Wl Wrl 5 13 证明 单匝线圈励磁下磁路的自感量为 0 1 m LR m R 为磁路的磁阻 故NI激励下 电感量为 2 m LNR 磁路中单匝激励下的磁场储能 2 00 2 mm WR 则NI激励下的 2 0mm WN W 解解 在单匝线圈励磁下 设线圈中的电流为I 有 00 m I L I R 则在 NI激励下 磁路的磁通为 2 2 0 m N I N R 故电感量为 2 m N L IR 在单匝线圈励磁下 2 22 000 1 222 m m m RI WL I R 在NI激励下 磁路的磁 能为 222 22 0 1 222 m m m N RN I WLI R 2 0m N W 5 14 如题 5 14 图所示 两个长的矩形线 圈 放置在同一平面上 长度分别为1 l 和2 l 宽度分别为1 w 和2 w 两线圈最近的边相距为S 两线圈中分别载有电流1 I 和2 I 设1 l 2 l 且 两线圈都只有一匝 略去端部效应 证明 两 线圈的互感是 0 212 12 ln 2 lSwSw M S Sww 解解 由于1 l 2 l 因此可近似认为线圈 中的电流在线圈 的回路中产生的磁场与两根无限长的平行直线电流产生的磁 场相同 线圈 中的电流1 I 在线圈 的回路中产生的磁场为 0 1 12 1 11 2 I B rrw 与线圈 交链的磁通 12 为 2 0 1 122 1 11 d 2 S w S I lr rrw 0 1 2212 1 lnln 2 I lSwSww SSw 0 1 212 12 ln 2 I lSwSw S Sww 2 w 1 w 1 l 2 l S r 1 I 题 5 14 图 故两线圈间的互感为