正方形的性质和判定(含解析)VIP

子轩教育 试卷 第1 9页 正方形的性正方形的性质质和判定和判定 一 选择题 1 下列命题是真命题的是 A 四边都相等的四边形是矩形 B 菱形的对角线相等 C 对角线互相垂直的平行四边形是正方形 D 对角线相等的梯形是等腰梯形 二 填空题 2 如图 在正方形ABCD中 点E N P G分别在边AB BC CD DA上 点M F Q 都在对角线BD上 且四边形MNPQ和AEFG均为正方形 则的值等于 三 解答题 3 已知 如图 在正方形ABCD中 点E在边CD上 AQ BE于点Q DP AQ于点P 1 求证 AP BQ 2 在不添加任何辅助线的情况下 请直接写出图中四对线段 使每对中较长线段与 较短线段长度的差等于PQ的长 子轩教育 试卷 第2 9页 4 如图 四边形ABCD为菱形 E为对角线AC上的一个动点 连结DE并延长交射线A B于点F 连结BE 1 求证 AFD EBC 2 若 DAB 90 当 BEF为等腰三角形时 求 EFB的度数 5 如图 正方形ABCD的边长为8cm E F G H分别是AB BC CD DA 上的动点 且AE BF CG DH 1 求证 四边形EFGH是正方形 2 判断直线EG是否经过一个定点 并说明理由 3 求四边形EFGH面积的最小值 6 如图 四边形ABCD为矩形 E是BC延长线上一点 AE交CD于点G F是AE上一点 并且AC CF EF AEB 15 1 求 ACF的度数 2 证明 矩形ABCD为正方形 子轩教育 试卷 第3 9页 7 如图1 正方形 ABCD中 AC是对角线 等腰RT CMN中 CMN 90 CM MN 点M在CD边上 连接AN 点E是AN的中点 连接BE 1 若CM AB 6 求AE的值 2 求证 BE AC CN 3 当等腰RT CMN的点M落在正方形ABCD的BC边上 如图2 连接AN 点E是AN 的中点 连接BE 延长NM交AC于点F 请探究线段BE AC CN的数量关系 并证明 你的结论 子轩教育 试卷 第4 9页 正方形的性正方形的性质质和判定的答案和解析和判定的答案和解析 一 选择题 1 答案 D 试题分析 利用特殊的四边形的判定和性质定理逐一判断后即可确定正确的选项 试题解析 A 四条边都相等的是菱形 故错误 是假命题 B 菱形的对角线互相垂直但不相等 故错误 是假命题 C 对角线互相垂直的平行四边形是菱形但不一定是正方形 故错误 是假命题 D 正确 是真命题 故选 D 二 填空题 2 答案 试题分析 根据辅助线的性质得到 ABD CBD 45 四边形MNPQ和AEFG均为正方形 推出 B EF与 BMN是等腰直角三角形 于是得到FE BE AE AB BM MN QM 同理DQ M Q 即可得到结论 解 在正方形ABCD中 ABD CBD 45 四边形MNPQ和AEFG均为正方形 BEF AEF 90 BMN QMN 90 BEF与 BMN是等腰直角三角形 FE BE AE AB BM MN QM 同理DQ MQ MN BD AB 故答案为 子轩教育 试卷 第5 9页 三 解答题 3 答案 1 见解析过程 2 AQ AP PQ AQ BQ PQ DP AP PQ DP BQ PQ 试题分析 1 根据正方形的性质得出AD BA BAQ ADP 再根据已知条件得到 AQB DPA 判定 AQB DPA并得出结论 2 根据AQ AP PQ和全等三角形的对应边相等进行判断分析 1 证明 正方形ABCD AD BA BAD 90 即 BAQ DAP 90 DP AQ ADP DAP 90 BAQ ADP AQ BE于点Q DP AQ于点P AQB DPA 90 AQB DPA AAS AP BQ 2 解 AQ AP PQ AQ BQ PQ DP AP PQ DP BQ PQ 4 答案 试题分析 1 直接利用全等三角形的判定方法得出 DCE BCE SAS 即可得出答案 2 利用正方形的性质结合等腰三角形的性质得出 当F在AB延长线上时 当F在线 段AB上时 分别求出即可 试题解析 1 证明 四边形ABCD是菱形 CD AB ACD ACB 在 DCE和 BCE中 DCE BCE SAS CDE CBE CD AB CDE AFD EBC AFD 子轩教育 试卷 第6 9页 2 分两种情况 如图1 当F在AB延长线上时 EBF为钝角 只能是BE BF 设 BEF BFE x 可通过三角形内角形为180 得 90 x x x 180 解得 x 30 EFB 30 如图2 当F在线段AB上时 EFB为钝角 只能是FE FB 设 BEF EBF x 则有 AFD 2x 可证得 AFD FDC CBE 得x 2x 90 解得 x 30 EFB 120 综上 EFB 30 或120 5 答案 1 证明见解析 2 直线EG经过一个定点 这个定点为正方形的中心 AC BD的交点 理由见解析 3 32 试题分析 1 由正方形的性质得出 A B C D 90 AB BC CD DA 证出AH BE CF DG 由SAS证明 AEH BFE CGF DHG 得出EH FE GF GH AEH BFE 证出 四边形EFGH是菱形 再证出 HEF 90 即可得出结论 2 连接AC EG 交点为O 先证明 AOE COG 得出OA OC 证出O为对角线AC B D的交点 即O为正方形的中心 3 设四边形EFGH面积为S BE xcm 则BF 8 x cm 由勾股定理得出S 子轩教育 试卷 第7 9页 32 S是x的二次函数 容易得出四边形EFGH面积的最小值 1 证明 四边形ABCD是正方形 A B C D 90 AB BC CD DA AE BF CG DH AH BE CF DG 在 AEH BFE CGF和 DHG中 AEH BFE CGF DHG SAS EH FE GF GH AEH BFE 四边形EFGH是菱形 BEF BFE 90 BEF AEH 90 HEF 90 四边形EFGH是正方形 2 解 直线EG经过一个定点 这个定点为正方形的中心 AC BD的交点 理由如下 连接AC EG 交点为O 如图所示 四边形ABCD是正方形 AB CD OAE OCG 在 AOE和 COG中 AOE COG AAS OA OC 即O为AC的中点 正方形的对角线互相平分 O为对角线AC BD的交点 即O为正方形的中心 3 解 设四边形EFGH面积为S 设BE xcm 则BF 8 x cm 根据勾股定理得 子轩教育 试卷 第8 9页 S 32 2 0 S有最小值 当x 4时 S的最小值 32 四边形EFGH面积的最小值为32 6 答案 试题分析 1 利用矩形的性质可得 DAG AEB 15 利用外角的性质和等腰三角形的 性质可得 AFC与 CAF的度数 可得 ACF 2 由 DAG 15 FAC 30 易得 DAC 45 可得 ACD DAC 45 由等腰三角形 的判定可得AD CD 由正方形的判定定理证得结论 试题解析 1 四边形ABCD为矩形 AD BC D 90 DAG AEB 15 CF EF FCE AEB 15 AFC FCE AEB 30 AC CF FAC AFC 30 ACF 18O FAC AFC 120 2 由 1 知 DAG 15 FAC 30 DAC DAG FAC 45 D 90 ACD DAC 45 AD CD 矩形ABCD为正方形 7 答案 1 2 2 BE AC CN 3 BE AC CN 试题分析 1 根据正方形的性质和等腰三角形的性质知 ACN 运用勾股定理计算即可 2 延长NC与AB的延长线交于一点G AC CN转化为GN 运用三角形的中位线性质可 证 子轩教育 试卷 第9 9页 3 类比 2 易得BE AC CN 解 1 四边形ABCDj正方形 AB 6 AC 6 等腰RT CMN中 CMN 90 CM MN CM AC ACN 90 AN 4 点E是A