大学物理竞赛辅导之机械振动.ppt

理学院物理系张晚云 大学物理竞赛培训 机械振动知识小结 一 简谐振动的定义 判据 1 弹性回复力 2 动力学方程 3 运动学方程 其速度 加速度也有简谐振动的特征 理学院物理系张晚云 二 简谐振动的三个特征量1 振幅2 角频率3 初相位 同一振动中位相差 与时间差的关系 或由旋转矢量法确定 理学院物理系张晚云 注意弹簧的串 并联及弹簧自身质量的影响 三 简谐振动的三种表示方法1 解析表达法2 振动曲线法3 旋转矢量法 理学院物理系张晚云 三 简谐振动的三种表示方法1 解析表达法2 振动曲线法3 旋转矢量法 理学院物理系张晚云 理学院物理系张晚云 注意 熟练掌握旋转矢量法 a 确定初相位 b 确定相位差或时间差 同一振动 同频率不同振动 c 解决振动合成问题 四 简谐振动的能量 理学院物理系张晚云 1 由能量求振幅 2 由能量求角频率 两边求导 理学院物理系张晚云 五 简谐振动的合成 1 同方向同频率两个简谐振动的合成 理学院物理系张晚云 2 同方向同频率N个等振幅 初相位依次相差定值的简谐振动的合成 理学院物理系张晚云 同方向不同频率的简谐振动的合成 2 1 2 1 随 缓变 形成 拍 理学院物理系张晚云 4 相互垂直的同频率的简谐振动的合成 特别地 当振幅相等时 椭圆轨道就成为圆 理学院物理系张晚云 六 阻尼振动 七 受迫振动 1 稳态解 x Acos t 驱动力频率 2 共振 1 速度共振 若 0则 r 0 称尖锐共振 2 位移共振 理学院物理系张晚云 机械振动典型问题及示例 一 简谐振动三类问题 1 简谐振动的运动学问题 运动状况 振动曲线 三个特征量 运动学方程 2 简谐振动的动力学问题 受力分析 牛顿定律 动力学方程 初始条件 3 简谐振动的合成 通常与波的相干叠加相结合 理学院物理系张晚云 1 简谐振动的运动学问题举例 例1 有一半球形光滑的碗 小球1在碗的球心处 小球2在碗壁离碗底部中心A很近的地方 如图所示 现同时释放两球 所有阻力均不计 则小球1与小球2到达碗底A所需时间之比为 A 小球1作自由下落 小球2作简谐振动 例2 一摆钟在g 9 800 SI 处走时准确 如移至另一地点后 每天慢10s 求该地的重力加速度值 解 由单摆的周期公式 两边同时微分 得 标准钟的秒摆周期T 1s 移地后的周期 理学院物理系张晚云 理学院物理系张晚云 2 简谐振动的动力学问题举例 两种类型 类型 证明或判断振动物体是否作简谐运动 判断简谐运动的依据 动力学方法 能量法 动力学方法的步骤 确定振动系统 以平衡位置处为原点建立坐标 分析处于任意位置处系统各物体的受力情况 列出各物体的动力学方程 与上述微分方程比较 能量法的步骤 确定振动系统 分析振动系统的机械能是否守恒 以平衡位置为原点建立坐标 写出任意位置机械能 把上述结果对时间求一阶导数 并将所得结果与简谐振动的动力学判据进行比较 类型 物体与振动系统相互作用而引起的简谐运动 理学院物理系张晚云 例1 某液体的密度随深度的增加而线性增大 且已知其表面处及深度为D处的密度分别为 现有一密度为的小球于深度为D 2处由静止开始下落 若忽略液体阻力 试求该物体的运动方程 理学院物理系张晚云 例2 如图所示 在倾角为的斜面上有一倔强系数为k的弹簧 其一端固定 另一端与一质量为m的实心圆柱体的轴连接 圆柱体在斜面上作纯滚动 若忽略轴承的摩擦 试证明该圆柱体的运动为简谐振动 平衡位置 自然位置 理学院物理系张晚云 例2 如图所示 在倾角为的斜面上有一倔强系数为k的弹簧 其一端固定 另一端与一质量为m的实心圆柱体的轴连接 圆柱体在斜面上作纯滚动 若忽略轴承的摩擦 试证明该圆柱体的运动为简谐振动 平衡位置 自然位置 理学院物理系张晚云 例3 弹簧振子中的小球质量为M 弹簧的一倔强系数为k 弹簧的质量为m 且该质量是均匀分布的 试求无阻尼振动的周期 例4 一半径为R的光滑圆环以恒定的角速度 绕其竖直的直径旋转 圆环上套有一小珠 试求在R 2 g的情形下 1 小珠相对圆环的平衡位置 以小珠与圆心的连线同竖直直径之间的夹角q0表示 2 小珠在平衡位置附近作小振动的角频率 理学院物理系张晚云 解 1 在平衡位置时 2 当小球偏离平衡位置时 小球除了受正压力N 重力作用mg外 还受到一惯性力 切向 理学院物理系张晚云 理学院物理系张晚云 理学院物理系张晚云 例5 一不可伸长的细绳穿过光滑桌面的小孔 一端系一质量为m的小球 另一端系一质量为M的重物 小球在桌面上以作匀速率圆周运动 此时重物静止不动 试证明 当重物受到竖直向下或向上的微扰后 它将在竖直方向作简谐振动 并求其振动周期 例6 如图 一弹簧振子由劲度系数为k的弹簧和质量为M的物块组成 将弹簧一端与顶板相连 开始时物块静止 一颗质量为m 速度为v01的子弹由下而上射入物块 并留在物块中 试求 1 振子以后的振动振幅与周期 2 物块从初始位置到最高点所需的时间 自然位置 解 建立如图所示坐标 在平衡位置 1 由动量守恒 得 理学院物理系张晚云 自然位置 2 最高点的相位 理学院物理系张晚云 理学院物理系张晚云 三 阻尼振动与受迫振动问题举例 1 固有频率为的弹簧振子 在忽略阻尼的情况下 受到频率为的余弦策动力作用 作受迫振动并达到稳定状态 振幅为A 若振子在经过平衡位置时撤去策动力 此后作振幅A 的自由振动 则A 与A的关系为 提示 撤去策动力前 后振子在平衡位置的速率不变 振子受稳态受迫振动时 在平衡位置处的速率为 振子自由振动时 在平衡位置处的速率为 理学院物理系张晚云 2 一摆在空中振动 某时刻振幅为A0 0 03m 经过t1 10s后 振幅变为A1 0 01m 问 由振幅为A0时起经多长时间 其振幅减为A2 0 003m 20 9 s 0 110 解 理学院物理系张晚云 五 补充练习题 1 设想沿地球直径凿一隧道 并设地球为密度 5 5 l03kg m3的均匀球体 试证 1 当无阻力时 一物体落入此隧道后将作简谐振动 2 物体由地球表面落至地心的时间为 提示 物体在地球内部所受引力的计算 与电荷在均匀带电球体内受力的计算类似 式中G是引力常量 2 一质量为m 半径为r的均匀实心小球在半径为R的球形碗底作纯滚动 求微小振动的周期 理学院物理系张晚云 3 质量为可在光滑水平直导轨上滑动 滑块经长为l的刚性轻杆与一质量为的重锤相连 重锤与滑块可绕滑块无摩擦地自由转动 在t 0时刻 细杆与铅垂线夹角由静止释放 试求 重锤的运动轨迹及小角度下滑块的运动方程 理学院物理系张晚云