函数与极限练习题

题型 一 一 求下列函数的极限求下列函数的极限 二 二 求下列函数的定义域 值域求下列函数的定义域 值域 三 三 判断函数的连续性 以及求它的间断点的类型判断函数的连续性 以及求它的间断点的类型 内容内容 一 一 函数函数 1 1 函数的概念函数的概念 2 2 函数的性质函数的性质 有界性 单调性 周期性 奇偶性有界性 单调性 周期性 奇偶性 3 3 复合函数复合函数 4 4 基本初等函数与初等函数基本初等函数与初等函数 5 5 分段函数分段函数 二 二 极限极限 一 一 数列的极限数列的极限 1 1 数列极限的定义数列极限的定义 2 2 收敛数列的基本性质收敛数列的基本性质 3 3 数列收敛的准则数列收敛的准则 二 二 函数的极限函数的极限 1 1 函数在无穷大处的极限函数在无穷大处的极限 2 2 函数在有限点处的极限函数在有限点处的极限 3 3 函数极限的性质函数极限的性质 4 4 极限的运算法则极限的运算法则 三 三 无穷小量与无穷大量无穷小量与无穷大量 1 1 无穷小量无穷小量 2 2 无穷大量无穷大量 3 3 无穷小量的性质无穷小量的性质 4 4 无穷小量的比较无穷小量的比较 5 5 等价无穷小的替换原理等价无穷小的替换原理 三 三 函数的连续性函数的连续性 1 1 函数在点函数在点处连续的定义处连续的定义0 x 2 2 函数的间断点函数的间断点 3 3 间断点的分类间断点的分类 4 4 连续函数的运算连续函数的运算 5 5 闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质 例题详解例题详解 题型题型 I I 函数的概念与性质函数的概念与性质 题型题型 IIII 求函数的极限 重点讨论未定式的极限 求函数的极限 重点讨论未定式的极限 题型题型 IIIIII 求数列的极限求数列的极限 题型题型 IVIV 已知极限 求待定参数 函数 函数值已知极限 求待定参数 函数 函数值 题型题型 V V 无穷小的比较无穷小的比较 题型题型 VIVI 判断函数的连续性与间断点类型判断函数的连续性与间断点类型 题型题型 VIIVII 与闭区间上连续函数有关的命题证明与闭区间上连续函数有关的命题证明 自测题一自测题一 一 一 填空题填空题 二 二 选择题选择题 三 三 解答题解答题 3 月月 18 日函数与极限练习题日函数与极限练习题 一 填空题一 填空题 1 若函数若函数 则 则1 2 1 x f x x flim x 2 若函数若函数 则 则 1x 1x x f 2 x flim 1x 3 设设 则复合函数为则复合函数为 2 3 tan u yuv vx yf x 4 设设 则 则 cos0 0 xx f x xx 0 f 5 已知函数已知函数 则 则的值为的值为 2 0 10 axbx f x xx 0 f A B C 1 D 2ab ba 6 函数函数 的定义域是的定义域是 3x 2x y A B 2 2 C D 3 3 2 3 3 7 已知已知 则 则 11 1 f xx 2 f 8 其定义域为 其定义域为 1 4 1 yx x 9 的定义域是的定义域是 2 2 x1 1 x1arcsiny 10 考虑奇偶性 函数考虑奇偶性 函数 为为 函数函数 2 ln 1 yxx 11 计算极限 计算极限 1 2 sin lim x x x 7 1 1 lim 1 x x x 3 4 xx x x sin lim 125 3 lim 2 2 nn n n 12 计算 计算 1 当 当 时 时 是比 是比 阶的无穷小量 阶的无穷小量 0 x 1cosx x 2 2 当 当 时 时 若若 与与 是等价无穷小量 则 是等价无穷小量 则 0 x sin2xaxa 13 已知函数已知函数 则 则 和和 2 2 1 1 f xx x 1 10 01 x x x 1 lim x f x 0 lim x f x A 都存在都存在 B 都不存在都不存在 C 第一个存在 第二个不存在第一个存在 第二个不存在 D 第一个不存在 第二个存在第一个不存在 第二个存在 14 设设 则 则 2 32 0 2 0 xx f x xx 0 lim x f x A A B C D 201 2 15 当当 时 时 是是 n 1 sinn n A A 无穷小量无穷小量 B 无穷大量无穷大量 C 无界变量无界变量 D 有界变量有界变量 计算与应用题计算与应用题 设设 在点在点 处连续 且处连续 且 求 求 xf2x 2 32 2 xx x f x a 2 2 x x a 求极限 求极限 求极限 求极限 求极限 求极限 2 0 cos1 lim 2 x x x 1 21 lim 21 x x x x 5 12 lim 4 3 x xx x 求极限 求极限 求极限 求极限 求极限 求极限 x x x 1 0 4 1 lim 2x x x2 1 1 lim 2 0 cos1 lim x x x 求极限 求极限 求极限 求极限 求极限 求极限 2 111 lim 222n n 2 2 lim 1 n n n lim 1 x x x x 求极限求极限 求极限 求极限 求极限 求极限 2 1 1 lim ln x x x 2 0 1 lim x x e xx 2100 2 lim 1 x x x 求极限 求极限 求极限 求极限 求极限 求极限 3 8 13 lim 2 x x x 2 1 lim 1 x x x x 3 1 31 lim 11 x xx 4 月月 28 日函数与极限练习题日函数与极限练习题 一 基础题一 基础题 1 设函数设函数则则 1 1 1 x x e xf A x 0 x 1 都是都是 f x 的第一类间断点的第一类间断点 B x 0 x 1 都是都是 f x 的第二类间断点的第二类间断点 C x 0 是是 f x 的第一类间断点 的第一类间断点 x 1 是是 f x 的第二类间断点的第二类间断点 D x 0 是是 f x 的第二类间断点 的第二类间断点 x 1 是是 f x 的第一类间断点的第一类间断点 2 下列极限正确的 下列极限正确的 A B 不存在不存在 sin lim1 x x x sin lim sin x xx xx C D 1 lim sin1 x x x limarctan 2 x x 3 设设且且存在 则存在 则 1 sin 0 0 0 1 sin 0 x x x x f x xa x x 0 lim x f x a A 1 B 0 C 1 D 2 4 已知已知 则 则 9 ax ax lim x x a A 1 B C D 3ln3ln2 5 极限 极限 x 11x lim 0 x A 0 B C D 2 2 1 6 极限 极限 x x 1x 1x lim A 1 B C D 2 e 2 e 7 函数函数 在区间在区间 内内 22 1x xy 0 1 A 单调增加单调增加 B 单调减少单调减少 C 不增不减不增不减 D 有增有减有增有减 8 4 若 若 则 则 0 2 lim2 x fx x 0 lim 3 x x fx A 3 B C 2 D 1 3 1 2 9 计算 计算 lim 1 x x x x 2 1 12 lim 11 x xx 3 100 2132 97 lim 31 x xx x lim 12 n nnn 1 2 0 1arcsin limsin x x x e xx 0 lim sin x xxx x 10 若函数若函数 则它的间断点是 则它的间断点是 2x3x 1x y 2 2 11 设设 在在 处处 是 否 连续 是 否 连续 2 1 0 0 0 x ex f x x 0 x 二 综合题二 综合题 12 计算 计算 求求 求求 求求 sin32 lim sin23 x xx xx 0 1tan1 sin lim 1 cos x xx xx 21 lim sincos x x xx 求求 求求 求求 0 lncos2 lim lncos3 x x x 0 2 lim sin xx x eex xx 2 1 limln 1 x xx x 求求 求求 2 lim 39121 x xxx 1 1 0 1 lim x x x x e 13 设设且且存在 求存在 求的值 的值 f x 1 0 1 cos 0 x ea x x x x 0 lim x f x a 14 已知已知 求常数 求常数的值 的值 2 2 2 81 lim 225 x xmx xn xn m n 15 求求的间断点 并判别间断点的类型 的间断点 并判别间断点的类型 11 1 11 1 xx f x xx 16 设设指出指出的间断点 并判断间断点的类型 的间断点 并判断间断点的类型 1 1 0 ln 1 10 x ex f x xx f x 4 月月 29 日函数与极限练习题日函数与极限练习题 1 填空题填空题 1 极限 极限 lim 2 xxx x A 0 B C 2 D 2 1 2 极限极限 x xx x 2sin sintan lim 3 0 A 0 B C 16 1 D 16 3 若若 22 0 ln 1 lim0 sinn x xx x 且且 0 sin lim0 1 cos n x x x 则正整数则正整数n 4 计算 极限计算 极限 1 2 sinlim 2 x x x x lim 0 x x arctanx n n n 2 1 lim 5 若函数若函数 23 1 2 2 xx x y 则它的间断点是 则它的间断点是 6 已知极限已知极限 2 2 lim 0 x x ax x 则常数 则常数a等于 等于 A 1 B 0 C 1 D 2 7 111 lim 1 22 3 1 n n n 2 1 lim 1 x x x 8 极限极限 2 0 1 lim cos1 x x e x 等于 等于 A B 2 C 0 D 2 9 当当0 x 时 无穷小时 无穷小ln 1 Ax 与无穷小与无穷小sin3x 等价 则常数等价 则常数 A 10 若若 10 5 lim 1 kn n e n 则则k 11 1 2 0 1arcsin limsin x x x e xx 12 当当0 x时 为无穷小量的是 时 为无穷小量的是 A x 1 sin B x x 1 sin C x xsin D x 2 13 设函数设函数 0 0 24 xk x x x xf 在在0 x处连续 则处连续 则k等于 等于 A 4 B 4 1 C 2 D 2 1 14 设设 1 1 x x xf 则 则1 x是函数的 是函数的 A 连续点 连续点 B 可去间断点 可去间断点 C 跳跃间断点 跳跃间断点 D 无穷间断点 无穷间断点 15 设函数设函数 2 1 cos0 0 x xx f x kex 在在1 x处连续 则常数处连续 则常数 a 16 lim AxBxCx1 3xC 1 x 32 则 则A B C 17 2 31 lim 2 2 xx x x x x x sec2 2 cos1 lim x x x x 1 lim 2 综合题综合题 18 计算极限 计算极限 323 lim 2 2 xx x x x x 3sin lim 0 xx xx x 2 2 1 12 lim x x x 2 4 1 lim 11 lim 22 xx x x x x 31ln lim 0 ax lim ax ee ax 3 0 tansin lim x xx x 222 111 lim 1 1 1 23 n n 1 23 lim 21 x x x x 2 0 1sin1 lim 1 x x xx e 19 设设 32 1 4 lim 1 x xaxx x 具有极限具有极限l 求 求 a l的值的值 20 试确定常数试确定常数a 使得函数 使得函数 2 1 sin0 0 xx f xx axx 在 在 内连续内连续 4 月月 30 日函数与极限练习题日函数与极限练习题 一 选择题一 选择题 1 设函数设函数 2 2 xxf 则 则 xff 为 为 A A 42 44xx B B 42 46xx C C 42 64xx D D 42 26xx 2 函数函数 2 sin 2 1ln xx xx xf 则则 4 f 等于 等于 A A 4 1ln B B 2 2 C C 2 D D 4 3 3 下列函数中是有界函数的是 下列函数中是有界函数的是 xyxyCxxyxxyAarcsinD 1log B 13 2 22 4 当当 的是时 sin tan 0 xxx 等价无穷小同阶非等价无穷小 低阶无穷小高阶无穷小 D B C A 5 5 函数函数 间断是因为点在点 0 0 x 1x 1 0 x 1 1 2 x x xf 0 lin C B 0 x f x 00 x fxflinDxf A x 不存在 左极限不等于右极限无意义在点 6 6 lim 0 x 0 0 x 1e x 0 x xf x f x 则设 2 D 1 0 B 1 CA 7 7 当当 下列函数为无穷小的是时 0 x 12 D x sin 1 1 sin B x sinx 2 x x CxxA 8 8 极限极限 9 3sin lim 2 3 x x x A A 0 0 B B 6 1 C C 1 1 D D 3 1 9 9 dbx nx a 1 lim A A b e B B e C C ab e D D dab e 10 10 n n n 1 1 1 lim A A 1 e B B e C C 2 e D D 2 e 11 11 极限极限 a 2 1 2 2 sin lim 2 则 x xa x 不存在 D 0 2 1 B 2 CA 二 填空题二 填空题 1 1 2 4 1 0 1 sin ff x xx xf 2 2 设设 221 2 xxxf 则 则 xf 3 3 设设 xvvuuyarccos 1 3 则复合函数 则复合函数 xfy 4 4 设设 0 x0 0 x 0 x 1 x xf 则 则 1 fff 值域为值域为 5 5 6 3 1 qxxgpxxf与函数 的图象关于直线的图象关于直线 xy 对称 则对称 则 qp 6 6 sin1 0 的定义域为则的定义域为设xf xf 7 7 设设 5 2 2 1 2 1 xft t yxtf x y x 则且 8 8 设函数设函数 1 0 1 1 x x xf 则函数 则函数 xff 9 9 2 cos cos1 2 sin x fx x f则设 10 10 是无穷小时当是无穷大时当 1 x 1 2 xfxxfxxf 11 11 5 3 95 103 lim 3 k nn nnk n 则若 12 12 函数函数 1 3 1 1 2 x xx xf 的间断点为的间断点为 是第 是第 类间断点 类间断点 13 13 函数函数 2 2 2 的可去间断点是 xx x xf 14 14 设当设当 a 4 tan 0 2 2 则为等价无穷小与时 x axx 15 15 sin lim 2 x x x 12 lim 0 x x x 16 16 a x axx x 3 2 lim 2 2 则若 17 17 当当 x时 函数时 函数 xf 与与x 1 是等价无穷小 则是等价无穷小 则 2lim xxf x 18 18 函数函数 1 cos 1 2 xx xkx xf 处处处连续 则处处处连续 则 k 19 19 函数函数 sin 的间断点是 x x y 2020 x x x 1 cos lim 2 21 21 aeax x x 1 lim 2 2 0 则若 22 22 设当设当 a 1 1 0 22 则为等价无穷小与时xaxx 三 综合题三 综合题 1 1 求下