高一数学--对数函数综合练习题(答案)

对数的运算性质对数的运算性质 1 例题分析 例例 1 1 用 表示下列各式 1 2 logaxlogaylogazloga xy z 2 3 loga xy z 解 1 loga xy z log log aa xyz logloglog aaa xyz 例例 2 2 求下列各式的值 1 2 75 2 log42 5 lg 100 解 1 原式 75 22 log 4log 2 22 7log 45log 27 25 119 2 原式 2 122 lg10lg10 555 例例 3 3 计算 1 lg1421g 2 3 18lg7lg 3 7 9lg 243lg 2 1lg 10lg38lg27lg 解 1 解法一 18lg7lg 3 7 lg214lg 2 lg 2 7 2 lg7lg3 lg7lg 32 lg2lg72lg72lg3lg72lg3lg20 解法二 18lg7lg 3 7 lg214lg 2 7 lg14lg lg7lg18 3 18 3 7 714 lg 2 lg10 说明 本例体现了对数运算性质的灵活运用 运算性质常常逆用 应引起足够的重视 2 2 5 3lg2 3lg5 3lg 3lg 9lg 243lg 2 5 3 2 1lg 10lg38lg27lg 11 33 22 2 3 lg32lg2 1 lg 3 lg23lg103 2 3 2lg32lg2 12 lg 10 例例 4 4 已知 求的值 lg20 3010 lg30 4771 lg1 44 分析 此题应注意已知条件中的真数2 3 与所求中的真数有内在联系 故应将 1 44 进行恰当变形 然后应用对数的运算性质即可出现已知条件的形式 221 2 1 441 2 3 210 解 221 2 lg1 44lg1 2lg 3 210 2 lg32lg2 1 2 0 47712 0 3010 1 0 1582 说明 此题应强调注意已知与所求的内在联系 例例 5 5 已知 求 loglog aa xcb x 分析 由于是真数 故可直接利用对数定义求解 另外 由于等式右端为两实数和的形式 的存在使变形产生xb 2 2 3 loga xy z 23 log log aa xyz 23 logloglog aaa xyz 11 2logloglog 23 aaa xyz 困难 故可考虑将移到等式左端 或者将变为对数形式 logacb 解 法一 由对数定义可知 bc a ax loglogacbb aac a 法二 由已知移项可得 即 由对数定义知 bcx aa loglogb c x a log b a c x b xc a 法三 log b a ba logloglog b aaa xca log b ac a b xc a 说明 此题有多种解法 体现了基本概念和运算性质的灵活运用 可以对于对数定义及运算性质的理解 1 对数的运算性质 如果 a 0 a 1 M 0 N 0 那么 1 2 log loglog aaa MNMN loglog log aaa M MN N 3 loglog n aa MnM nR 证明 性质 1 设 logaMp logaNq 由对数的定义可得 p Ma q Na pqp q MNaaa log a MN pq 即证得 logloglog aaa MNMN 练习 证明性质 2 说明 1 语言表达 积的对数 对数的和 简易表达以帮助记忆 2 注意有时必须逆向运算 如 11025 101010 logloglog 3 注意定义域 是不成立的 log log log5353 222 是不成立的 log log10210 10 2 10 4 当心记忆错误 试举反例 NlogMlog MN log aaa 试举反例 NlogMlog NM log aaa 例例 6 6 1 已知 用 a 表示 2 已知 用 表示 32 a 33 log 4log 6 3 log 2a 35 b ab30log3 解 1 log 3 4 log 3 6 32 a 3 log 2a 112log 3 2 log 33 a 2 35 b 3 log 5b 又 3 log 2a 30log3 3 1 log2 3 5 2 333 11 log 2log 3log 5 1 22 ab 换底公式换底公式 性质 3 设 logaMp 由对数的定义可得 p Ma nnp Ma log n aM np 即证得 loglog n aa MnM 1 换底公式 a 0 a 1 log log log m a m N N a 0 1mm 证明 设 则 两边取以为底的对数得 logaNx x aN mloglog x mm aN loglog mm xaN 从而得 a N x m m log log a N N m m a log log log 说明 两个较为常用的推论 1 2 且均不为 1 loglog1 ab ba loglog m n a a n bb m a0b 证明 1 2 1 lg lg lg lg loglog b a a b ab ba lglg loglog lglg m n n a ma bnbn bb amam 2 例题分析 例例 1 1 计算 1 2 0 2 1 log3 5 4 492 log 3 log 2log32 解 1 原式 0 2 5 1log3 log 3 555 15 1 5 5 3 2 原式 2 3 4 5 4 1 2log 4 5 2log 2 1 3log 2 1 232 例例 2 2 已知 求 用 a b 表示 18 log 9a 185 b 36 log45 解 18 log 9a a 2log1 2 18 log 181818 log 21 a 又 185 b 18 log 5b a ba 22log1 5log9log 36log 45log 45log 18 1818 18 18 36 例例 3 3 设 求证 1643 t zyx yxz2 111 证明 1643 t zyx 6lg lg 4lg lg 3lg lgt z t y t x yttttxz2 1 lg2 4lg lg 2lg lg 3lg lg 6lg11 例例 4 4 若 求 8 log 3p 3 log 5q lg5 解 8 log 3p 5lg1 32lg33lg33log2 ppp 又 q 3lg 5lg 5log3 5lg1 33lg5lg pqqpqpq35lg 31 pq pq 31 3 5lg 例例 5 5 计算 4 2 19384 32log 2log2 log3log3 log 解 原式 232 5 4 31 2 223 log3log3 log 2log2 log 2 4 5 2log 2 1 2 log3log 3 1 3log 2 1 3322 2 5 4 5 4 5 4 5 2log 2 3 3log 6 5 32 例例 6 6 若 求 2loglog8log4log 4843 mm 解 由题意可得 2 1 8lg lg 4lg 8lg 3lg 4lg m 3lg 2 1 lg m3 m 对数函数对数函数 例例 1 1 求下列函数的定义域 1 2 3 2 log xy a 4 logxy a 9 log 2 xy a 分析 此题主要利用对数函数的定义域求解 xy a log 0 解 1 由 0 得 函数的定义域是 2 x0 x 2 log xy a 0 x x 2 由得 函数的定义域是 04 x4 x 4 logxy a 4x x 3 由 9 得 3 函数的定义域是 0 2 x3 x 9 log 2 xy a 33xx 说明 此题只是对数函数性质的简单应用 应强调学生注意书写格式 例例 2 2 求函数和函数的反函数 2 5 1 x y2 2 1 1 2 x y 0 x 解 1 1 2 5 x y 1 1 5 log 2 fxx 2 x 2 2 1 1 2 2 x y 1 1 2 log 2 fxx 5 2 2 x 例例 4 4 比较下列各组数中两个值的大小 1 2 3 2 log 3 4 2 log 8 5 0 3 log1 8 0 3 log2 7log 5 1 a log 5 9 a 解 1 对数函数在上是增函数 2 logyx 0 于是 2 log 3 4 2 log 8 5 2 对数函数在上是减函数 0 3 logyx 0 于是 0 3 log1 8 0 3 log2 7 3 当时 对数函数在上是增函数 1a logayx 0 于是 log 5 1 a log 5 9 a 当时 对数函数在上是减函数 1oa logayx 0 于是 log 5 1 a log 5 9 a 例例 5 5 比较下列比较下列各组数中两个值的大小 1 2 6 log 7 7 log 6 3 log 2 log 0 8 3 4 0 9 1 1 1 1 log0 9 0 7 log0 8 5 log 3 6 log 3 7 log 3 解 1 66 log 7log 61 77 log 6log 71 6 log 7 7 log 6 2 33 loglog 10 22 log 0 8log 10 3 log 2 log 0 8 3 0 90 1 11 11 1 11 1 log0 9log 10 0 70 70 7 0log1log0 8log0 71 0 9 1 1 0 7 log0 8 1 1 log0 9 4 333 0log 5log 6log 7 5 log 3 6 log 3 7 log 3 例例 6 6 已知 比较 的大小 log 4log 4 mn mn 解 当 时 得 log 4log 4 mn 44 11 loglogmn 1m 1n 44 11 0 loglogmn 当 时 得 44 loglognm 1mn 01m 01n 44 11 0 loglogmn 当 时 得 44 loglognm 01nm 01m 1n 4 log0m 4 0log n 01m 1n 01mn 综上所述 的大小关系为或或 mn1mn 01nm 01mn 例例 7 7 求下列函数的值域 1 2 3 且 2 log 3 yx 2 2 log 3 yx 2 log 47 a yxx 0a 1a 解 1 令 则 即函数值域为 3tx 2 logyt 0t yR R 2 令 则 即函数值域为 2 3tx 03t 2 log 3y 2 log 3 3 令 当时 即值域为 22 47 2 33txxx 1a log 3 a y log 3 a 当时 即值域为 01a log 3 a y log 3 a 例例 8 8 判断函数的奇偶性 2 2 log 1 f xxx 解 恒成立 故的定义域为 2 1xx f x 2 2 log 1 fxxx 所以 为奇函数 2 2 1 log 1xx 2 2 222 1 log 1 xx xx 2 2 log1 xxf x f x 例例 9 9 求函数的单调区间 2 1 3 2log 32 yxx 解 令在上递增 在上递减 22 31 32 24 uxxx 3 2 3 2 又 或 2 320 xx 2x 1x 故在上递增 在上递减 又 为减函数 2 32uxx 2 1 1 3 2logyu 所以 函数在上递增 在上递减 2 1 3 2log 32 yxx 2 1 说明 利用对数函数性质判断函数单调性时 首先要考察函数的定义域 再利用复合函数单调性的判断方法来求单调 区间 例例 1010 若函数在区间上是增函数 的取值范围 2 2 log yxaxa 13 a 解 令 函数为减函数 2 ug xxaxa 2 logyu 在区间上递减 且满足 解得 2 ug xxaxa 13 0u 13 2 13 0 a g 22 32a 所以 的取值范围为 a 22 3 2 对数函数对数函数 1 如图 曲线是对数函数 的图象 已知 的取值 则相应于曲线 的 值依次为 A B C D 2 函数 y logx 1 3 x 的定义域是 如果对数有意义 求 x 的取值范围 56 log 2 7 xx x 解 要使原函数有意义 则 2 650 70 71 xx x x 解之得 7 x 6 6 x 原函数的定义域为 7 6 6 5 1 函数的定义域为一切实数 求 k 的取值范围 4 5 2 lg 2 xkxy 5252k 利用图像判断方程根的个数 3 已知关于的的方程 讨论的值来确定方程根的个数 xax 3 loga 解 因为在同一直角坐标系中 10 log 1 log log 3 3 3 xx xx xy 作出函数与的图象 ay 如图可知 当时 两个函数图象无公共点 所以原方程根的0 a个数为 0 个 当时 两个函数图象有一个公共点 所以原方程根的个0 a数为 1 个 当时 两个函数图象有两个公共点 所以原方程根的个0 a数为 2 个 4 若关于的方程的所有解都大于 1 求的x4 lg lg 2 axaxa 取值范围 解 由原方程可化为 变形整理有4 lg2 lglg lg xaxa 04lglglg3lg2 22 axax 由于方程 的根为正根 则1 x 0lg x 解之得 从而 0 4 lg 2 1 0lg 2 3 0 4 lg8lg9 2 22 a a aa 2lg a 100 1 0 a 5 求函数的单调区间 32 log 2 2 1 xxy 解 设 由得 知定义域为uy 2 1 log 32 2 xxu0 u032 2 xx 又 则当时 是减函数 当时 是增函数 而 3 1 4 1 2 xu 1 xu 3 xu 在上是减函数uy 2 1 log R 的单调增区间为 单调减区间为 33 2 1 2 log xx y 1 3 题目 2 求函数的单调区间 1 2 log yx x 215 3 22 正解 由得 x 1 或 x 5 即函数的定义域为 x x 1 或 x 5 0 x x 215 3 22 1 2 log yx x 215 3 22 当 x 1 时 是减函数 是减函数 所以是增函数 tx x 215 3 22 1 2 log yt 1 2 log yx x 215 3 22 当 x 5 时 是增函数 是减函数 所以是减函数 tx x 215 3 22 1 2 log yt 1 2 log yx x 215 3 22 所以的增区间是 1 减区间是 5 1 2 log yx x 215 3 22 6 设函数 若 的值域为 求实数 的取值范围 分析 由值域为 和对数函数的单调性可将问题转化为 能取遍所有正实数的问题 解 令 依题意 应取遍一切正实数即函数值域是正实数集的子集 则有 或 解得 已知函数f x lg a2 1 x2 a 1 x 1 1 若f x 的定义域为 R 求实数a的取值范围 2 若f x 的值域为 R 求实数a的取值范围 解 1 a2 1 x2 a 1 x 1 0 对x R 恒成立 a2 1 0 时 a 1 经检验a 1 时恒成立 a2 1 0 时 a 1 或a a 1 或a 2 a2 1 0 即a 1 时满足值域为 R a2 1 0 时 1 a 1 a 7的定义域为 R 求 a 的取值范围 2 log yx x 2 a a1 正解 当 a 0 时 y 0 满足条件 即函数 y 0 的定义域为 R 当 a 0 时 由题意得 2 0 04 40 a a a a 由 得 a 的取值范围为 0 4 评注 参数问题 分类要不重不漏 对于不等式不一定是一元二次不等式 xc x 2 a b 0 8 函数y log 1 x x 3 的递减区间是 2 1 A 3 1 B 1 C 3 D 1 解析 设t 1 x x 3 x2 2x 3 x 1 2 4 由 1 x x 3 0 得 3 x 1 当x 3 1 时 t 1 x x 3 递 增 y log 1 x x 3 的递减区间是 3 1 2 1 9 已知函数y loga 2 ax 在 0 1 上是x的减函数 则a的取值范围是 A 0 a 1 B a 1 C 1 a 2D 1 a 2 解析 若 0 a 1 则函数在定义域上是增函数 若a 1 则当 0 x 1 时 2 ax 0 恒成立即x 因此 1 1 a 2 a 2 a 2 10 求函数 y loga 2 ax a2x 的值域 解 由于 2 ax a2x 0 得 2 ax1 时 y logat 递增 y loga2 当 0 aloga2 故当 a 1 时 所求的值域为 loga2 当 0 a 1 时 所求的值域为 loga2 11 求函数y log2 log2 x 1 8 的最大值和最小值 2 x 4 x 解 令t log2x x 1 8 则 0 log2x log28 即t 0 3 y log2x 1 log2x 2 t 1 t 2 t2 3t 2 t 2 t 0 3 2 3 4 1 当t 即 log2x x 2 2时 y有最小值 2 3 2 3 2 3 2 4 1 当t 0 或t 3 即 log2x 0 或 log2x 3 也即x 1 或x 8 时 y有最大值 2 12 设函数 y f x 且 lg lgy lg 3x lg 3 x 1 求 f x 的表达式及定义域 2 求 f x 的值域 解 1 若 lg lgy lg 3x lg 3 x 有意义 则又 lg lgy lg 3x lg 3 x lgy 3x 3 x y 103x 3 x 0 x 3 1 30 0lg 03 0 y x y x x 即 2 3x 3 x 3x2 9x 3 x 2 0 x 3 0 3x2 9x 1 y 10 2 3 4 27 4 27 4 27 y f x 的定义域为 0 3 值域为 1 10 4 27 13 函数 在区间 上的最大值比最小值大 2 则实数 或 14 已知函数 判断函数的单调区间及在每一个单调区间内的单调性 当 时 求 的最大值 最小值及相应的 值 在 上单调递减 在 上单调递增 当 时 当 时 15 已知函数y loga 1 ax a 0且a 1 1 求函数的定义域和值域 2 证明函数图象关于直线y x对称 1 当a 1时 函数的定义域和值域均为 0 当0 a 1时 函数的定义域和值域均为 0 2 由y loga 1 ax 得1 ax ay 即ax 1 ay x loga 1 ay f 1 x loga 1 ax f x f x 与f 1的图象关于直线y x对称 函数y loga 1 ax 的图象关于直线y x对称 16 设 求函数的最大值 9 1 27 1 x 3 log 27 log 33 x x xf 12 17 已知函数 log 1 log 1 1 log 222 xpx x x xf 1 求函数f x 的定义域 2 求函数f x 的值域 1 函数的定义域为 1 p 2 当p 3时 f x 的值域为 2log2 p 1 2 当1 p 时 f x 的值域为 1 log2 p 1 18 已知 求函数 4 log 2 log 2 12 x x y 的最大值和最小值 03log7 log2 2 1 2 2 1 xx 4 1 2 19 已知的减函数 则的取值范围是 yaxx a log 201在 上是a A 0 1 B 1 2 C 0 2 D 答案 B 2 解析 本题作为选择题 用排除法求解较简 由于这里虽然有 故在 0 1 上定为减函数 依题设必aa 01 uax 2 有 故应排除 A 和 C 在 B D 中要作选择 可取 则已知函数为 但是此函数的定义域为a 1a 3yx log 3 23 它当然不可能在区间 0 1 上是减函数 故又排除了 D 从而决定选 B 2 3 20 函数 图象的对称轴方程为 求 的值 解 解法一 由于函数图象关于 对称 则 即 解得 或 又 解法二 函数 的图象关于直线 对称 则函数 的图象关于 轴对称 则它 为偶函数 即 21 已知f x 3 x 1 2 求f x 的值域及单调区间 分析 分清内层与外层函数 解 令u x x 1 2 3 3 则f x 3 1 f x 值域为 1 f x 的定义域u x 0 即 x 1 2 3 0 x 1 1 u x 在 1 1 上递增 在 1 1 上递减 0 1 f x 在 1 1 上递减 在 1 1 上递增 22 已知y log0 5 x2 ax a 在区间 上是增函数 求实数a的取值范围 解 函数y log0 5 x2 ax a 由y log0 5t与t x2 ax a复合而成 其中y log0 5t为减函数 又y log0 5 x2 ax a 在 上是增函数 故t x2 ax a在区间 上是减函数 从而 a 1 23 已知函数f x loga ax2 x 是否存在实数a 使它在区间 2 4 上是增函数 如果存在 说明a可取哪些值 如果不存在 说明 理由 解 设g x ax2 x 当a 1 时 为使函数y f x loga ax2 x 在x 2 4 上为增函数 只需g x ax2 x在 2 4 上为增函数 故应满足 得a a 1 当 0 a 1 时 为使函数y f x loga ax2 x 在x 2 4 上为增函数 只需g x ax2 x在x 2 4 上为减函数 故 无解 a不存在 当a 1 时 f x loga ax2 x 在 x 2 4 上为增函数 对数函数的图象变换及在实际中的应用对数函数的图象变换及在实际中的应用 对数函数图象是对数函数的一种表达形式 形象显示了函数的性质 为研究它的数 量关系提供了 形 的直观性 它是探求解题途径 获得问题结果的重要途径 一 利用对数函数图象的变换研究复杂函数图象的性质 一 图象的平移变换 例 1 画出函数与的图像 并指出两个 2 log2 xy 2 log2 xy 图像之间的关系 解 函数的图象如果向右平移 2 个单位就得到的图像 如果向左平移 2 个单位就得到xy 2 log 2 log2 xy 的图像 所以把的图象向右平移 4 个单位得到的图象 2 log2 xy 2 log2 xy 2 log2 xy 注 图象的平移变换 1 水平平移 函数 的图像 可由的图像向左 或向右平移个单位 bxfy 0 a xfy a 而得到 2 竖直平移 函数 的图像 可由的图像向上 或向下平移个单位而得到 bxfy 0 b xfy b 二 图像的对称变换 例 2 画出函数的图像 并根据图像指出它的单调区间 2 2 log xy 解 当时 函数满足 所以是偶函数 它的图象关于0 x 2 2 log xy log log 2 2 2 2 xfxxxf 2 2 log xy 轴对称 当时 因此先画出y0 xxxy 2 2