职高数学基础模块各章节复习提纲

1 第一章第一章 集合与充要条件集合与充要条件 一 集合的概念 一 概念 1 集合的概念 将某些 的对象看成一个 就构成一个集合 简称为 一般用 表示集合 组成集合的对象叫做这个集合的 一般用 表示集合中的元素 2 集合与元素之间关系 如果 a 是集合 A 的元素 就说 a A 记作 如果 a 不是集合 A 的元素 就说 a A 记作 3 集合的分类 含有 的集合叫做有限集 含有 的集合叫做无限集 的集合叫做空集 记作 二 常用的数集 数集就是由 组成的集合 1 自然数集 所有 组成的集合叫做自然数集 记作 2 正整数集 所有 组成的集合叫做正整数集 记作 3 整数集 所有 组成的集合叫做整数集 记作 4 有理数集 所有 组成的集合叫做有理数集 记作 5 实数集 所有 组成的集合叫做实数集 记作 三 应知应会 1 自然数 由 和 构成的实数 2 整数 由 和 构成的实数 偶数 被 2 整除的数叫做偶数 奇数 被 2 整除的数叫做奇数 3 分数 把 平均分成若干份 表示这样的 或 的数叫做分数 分数中间的 叫做分数线 分数线 的数叫做分母 表示把一个物体 分数线 的数叫做分子 表示 4 有理数 和 统称有理数 5 无理数 的小数叫做无理数 6 实数 和 统称实数 二 集合的表示法 表 示 法列 举 法描 述 法 定 义 将集合中的元素 表示集合的方法 利用元素的 来表示 集合的方法 具体方法 1 将集合中的元素 2 用 分隔 3 用 括为一个整体 1 在 中画一条 2 左侧写上集合的 并标出元素的 如果 上下文中能够明显看出集合中的元 素为实数 可以不标出元素的取值 范围 3 右侧写出元素所具有的 注 在使用描述法表示某些集合 时 可以用 来叙述集 合的 再用 括起来 优 点明确 直接看到集合中的元素 清晰地反映出元素的特征性质 不 足能表示的集合有限 抽象 不能直接看出元素 适用类型一般用来表示有限集 一般用来表示无限集 几个常用集合的表示方法 1 数集 集 合列举法描述法 偶数集合 正偶数集合 负偶数集合 奇数集合 正奇数集合 2 负奇数集合 2 点集 在平面直角坐标系中 由 x 轴上所有点组成的集合 由 y 轴上所有点组成的集合 由第一象限所有点组成的集合 由第二象限所有点组成的集合 由第三象限所有点组成的集合 由第四象限所有点组成的集合 三 集合之间的关系 集合间的 关系 子 集真子集相 等 定 义 一般地 如果集合 B 的元素 集合 A 的元素 那么把集 合 B 叫做集合 A 的子 集 如果集合 B 是集合 A 的 并且 A 中 有 元 素 属于 B 那么 把 B 叫做 A 的真子集 一般地 如果两个 集合的元素 那么就说这两个集 合相等 符号表示B A 或 A B B A 或 A B B A 或 A B 读 作 B A 或 A B B A 或 A B 图 示 明 确 1 任何一个集合都是它自身的 2 空集是任何集合的 是任何 集合的 3 一个集合中有 n 个元素 则它的子集的数目为 真子集的数目为 四 集合的运算 一 交集 1 定义 一般地 对于两个给定的集合 A B 由 的 所有元素组成的集合叫做 A 与 B 的交集 2 记作 A B 读作 A B 3 集合表示 BA 4 图示 用阴影表示出集合 A 与 B 的交集 5 性质 由交集的定义可知 对任意的两个集合 A B 有 1 2 BA AAA 3 BBAABA 二 并集 1 定义 一般地 对于两个给定的集合 A B 由 的 所有元素组成的集合叫做 A 与 B 的并集 2 记作 A B 读作 A B 3 集合表示 BA 4 图示 用阴影表示出集合 A 与 B 的并集 A B A B A B 3 5 性质 由并集的定义可知 对任意的两个集合 A B 有 1 2 BA AAA 3 BABBAA 二 补集 1 全集 1 定义 在研究某些集合时 这些集合常常是一个给定集合的 这个给定的集合叫做全集 2 表示 一般用 来表示全集 3 在研究数集时 经常把 作为全集 2 补集的定义 如果集合 A 是全集 U 的 那么 由 U 中 A 的所有元素组成的集合叫做 A 的补集 3 记作 读作 4 集合表示 5 图示 用阴影表示出集合 A 在全集 U 中的补集 6 性质 由补集的定义可知 对任意的集合 A 都有 1 2 ACA U ACA U 3 ACC UU 4 5 BACU BACU 五 充要条件 一 相关概念 1 命题 判断一件事情的语句叫做命题 2 命题的表示方法 使用小写英语字母 p q r s 等表示命题 3 真命题 成立 正确 的命题是真命题 4 假命题 不成立 错误 的命题是假命题 5 如果 那么 命题 一般形式为 如果 p 那么 q 6 题设 条件 如果 后接的 p 7 结论 那么 后接的 q 二 充要条件 1 充分条件 如果 p 那么 q 是 命题 而 如果 q 那么 p 是 命题 则称 p 是 q 的充分条件 记作 p q 读作 由条件 p 结论 q 2 必要条件 如果 p 那么 q 是 命题 而 如果 q 那么 p 是 命题 则称 p 是 q 的必要条件 记作 p q 读作 由结论 q 条件 p 3 充要条件 如果 并且 那么称 p 是 q 的 且 条件 简 称充要条件 记作 p q 读作 p 与 q 4 既不充分又不必要条件 如果 并且 那么称 p 是 q 的既不充分又不必要条件 第二章第二章 不等式不等式 一 比较实数大小的方法 一 实数的大小与正负 1 正数 零 负数 零 正数 负数 2 两个正数 绝对值大的数 两个负数 绝对值大的数 3 正数的和为 数 负数的和为 数 4 同号相乘 除 得 数 毅号相乘 除 得 数 5 互为相反数的两个数之和为 互为倒数的两个数之积为 二 数轴 1 定义 数轴是一条规定了 的直线 2 意义 数轴上的点与实数是 的关系 A B A U B A B A 4 3 在数轴上 原点所代表的实数是 原点右边的点所代表的实数是 数 原点左边的点所代表的实数是 数 4 在数轴上 右边的点代表的数总比左边的点代表的数 即 越往右的点代表的数越 越往左的点代表的数越 5 在数轴上 表示下列数的范围 1 x 3 2 x 2 3 x 3 1 三 比较两个实数大小的方法 比较法 一般地 对于两个任意的实数 a 和 b 有 0 0 0 ababab 二 不等式的基本性质 1 对称性 ab 2 传递性 ab bc 3 加法性质 ab ab cd 4 乘法性质 0 ab c 0 ab c 0 0 abcd 0 N abn 0 N abn 三 区间 一 区间表示的对象 由 上两点间的一切 所组成的集合叫做区间 这两个点叫做区间 二 区间的分类及定义 1 有限区间 1 开区间 端点的区间 2 闭区间 端点的区间 3 右半开区间 端点的区间 4 左半开区间 端点的区间 2 无限区间 至少有一个端点 的区间 1 不存在右端点时 可以用符号 表示 读作 2 不存在左端点时 可以用符号 表示 读作 三 区间 集合与图像的关系 设 a b 为任意实数 且 a b 则各种区间表示的集合如下表 区 间集 合图 像 a b a b a b a b b b a a 5 四 一元一次不等式 1 定义 含有 个未知数且未知数的最高次数是 的不等式 2 一般形式 0 或 0 其中 0axb 0axb 0a 3 一元一次不等式在各种情况下的解集 解集 0 a 方程或 不等式 0a 0a yaxb 的图像 x y O x y O 0axb 描述法 描述法 0axb axb 0 区间表示 区间表示 0axb axb 0 描述法 描述法 区间表示 区间表示 五 一元二次不等式 1 定义 含有 个未知数且未知数的最高次数是 的不等式 2 一般形式 或 其中 3 一元二次不等式在各种情况下的解集一元二次不等式在各种情况下的解集 解集 2 12 0 4 abac xx 方程或不等式 0 0 0 2 yaxbxc 的图像x y O x y O x y O 2 0axbxc 2 0axbxc 2 axbxc 0 2 0axbxc 2 axbxc 0 4 解一元二次不等式的基本步骤 1 将不等式化为一元二次不等式的 形式 并 2 设 并解方程 2 0axbxc 6 3 根据上表 写出一元二次不等式的解集 六 含绝对值的不等式 一 绝对值的概念 1 绝对值的含义 在 上 任意一个数所对应的点到 的 叫 做该数的绝对值 2 正数的绝对值是 负数的绝对值是它的 数 0 的绝对值是 3 任意实数的绝对值是 数 任意两个相反数的绝对值 4 绝对值的符号表示 0 x 0 0 0 x xx x 5 将方程的解表示在数轴上 2x 将不等式的解表示在数轴上 2x 将不等式的解表示在数轴上 2x 二 含绝对值的不等式 1 解题步骤 1 将不等式化为含有绝对值的不等式的一般形式 即 或 或 或 xc xc xbc xbc axbc axbc 一般形式为 不等号左侧是 右侧是 2 去掉绝对值符号 解出不等式 含绝对值 的不等式 x 0 c c 描述法 描述法 解 集 区间表示 区间表示 数轴表示 x 0 x 0 含绝对值 的不等式 xb 0 c c 去符号 含绝对值 的不等式 axb 0 c c 去符号 第三章第三章 函函 数数 一 函数的概念 一 函数的概念 1 概念 在某一个变化过程中有 个变量 和 设变量 的取值范围为 如果对于 内的每一个 值 按照某个 都有 的值与它对应 那么把 叫做 把 叫做 的 记作 2 明确 1 x 叫做 它的取值范围是 叫做函数的 2 y f x 叫做 时 函数对应的值叫做函数在点处的 0 xx yf x 0 y 0 x 记作 的集合 叫做函数的 3 函数定义中的两个要素是 和 3 函数定义域的求法 如果函数的对应法则是用代数式表示的 那么函数的定义域就是使得这个代数式 的 的取值范围 1 当为整式时 函数的定义域是 f x 2 当为分式时 函数的定义域是 f x 3 当为偶次根式时 函数的定义域是 f x x 1 2 31230 x 1 2 31230 x 1 2 31230 7 4 分段函数的定义域是各段自变量取值集合的 5 当函数是实际问题给出时 其定义域不仅要考虑使解析式有意义 还要考虑自变 量的 4 函数值及值域的求法 1 求函数值 只要将 x 的各个值 函数解析式中进行 即可 2 求函数的值域 所有函数值组成的集合 2 函数的表示法 1 解析法 利用 表示函数的方法叫做解析法 这个 叫做函数的 明确 求函数解析式的常用方法 待定系数法 已知函数的类型 可根据函数类型 设其解析式 再由其他已知条件确定其系数 正比例函数的一般形式 反比例函数的一般形式 一次函数的一般形式 二次函数的一般形式 2 列表法 利用 表示函数的方法叫做列表法 3 图像法 利用 表示函数的方法叫做图像法 1 函数的图像 在 中 以函数的自变量 x 为 坐标 yf x 函数值 y 为 坐标的点 的集合 明确 图像上每一点的坐标都 函数解析式 x y yf x 以的每一组对应值 x y 为坐标的点都 yf x x y 2 作函数图像常用的方法 其步骤是 二 函数的性质 A 函数的单调性 一 函数的单调性的概念 随着 的 而 或 的性质叫做函 数的单调性 设函数在 内有意义 yf x a b 如果对任意的 当 时 1 x 2 xa b 1 都有 成立 那么函数叫做 内的增函数 yf x 叫做函数的 yf x 2 都有 成立 那么函数叫做 内的减函数 yf x 叫做函数的 yf x 如果函数在区间内是增函数或减函数 那么称函数在区间内具 yf x a b a b 有 区间叫做函数的 a b yf x 2 函数的单调性的理解 1 函数的单调性是与 紧密相关的 即函数的 一个函数在 定义域内的不同区间内可以有 的单调性 2 注意关键词 1 对 任意 的 即 取特殊值 且必须 1 x 2 xa b 2 都有 即只要 就一定有 或 3 不是所有函数都有单调性 函数是没有单调性的 有些函数在整个定义域内是单调性 的 有些函数在整个定义域的不同区间上的单调性 有些函数在整个定义域的不同区间上的单调性 3 函数的单调性的图像特点 对于给定区间上的函数 yf x 1 函数图像从 到 则称函数在该区间上单调递增是增函数 2 函数图像从 到 则称函数在该区间上单调递减是减函数 4 判断函数的单调性 1 图像法 作出函数的 根据图像的 判断函数的单调性 2 定义法 根据函数的单调性的定义判断函数的单调性 其步骤为 1 设定自变量 设 8 2 作差变形 作 并通过 等方法 向有利于判断差的符号的方向变形 3 确定大小 确定 与 的大小 4 得出结论 根据 得出结论 5 函数的单调性的应用 1 根据 比较 的大小 2 根据 比较 的大小 3 在给定区间内求函数的 值或 值 B 函数的奇偶性 1 函数的奇偶性的概念 设函数的定义域为 D 如果对于任意的 都有 则 yf x xD 1 那么函数叫做偶函数 yf x 2 那么函数叫做奇函数 yf x 2 函数的奇偶性的理解 1 函数按奇偶性可分为 和 2 讨论函数的奇偶性的一个前提条件 函数的 1 若函数的 再讨论 2 若函数的 则这个函数 3 函数 是既奇又偶函数 3 函数的奇偶性的图像特点 1 如果一个函数是偶函数 则这个函数的图像 如果一个函数的图像 则这个函数是偶函数 2 如果一个函数是奇函数 则这个函数的图像 如果一个函数的图像 则这个函数是奇函数 3 一般地 设点为平面内的任意一点 则 P a b 1 点关于 x 轴的对称点的坐标为 P a b 2 点关于 y 轴的对称点的坐标为 P a b 3 点关于原点 O 的对称点的坐标为 P a b 4 判断函数的奇偶性 1 图像法 作出函数的 根据图像的 判断函数的奇偶性 2 定义法 根据函数的奇偶性的定义判断函数的奇偶性 其步骤为 1 求出函数的 2 判断定义域的对称性 若定义域 则函数为 若定义域 则进行 3 比较与 确定 则函数为 fx f x 或 则函数为 或 则函数为 3 在公共定义域内 1 若函数解析式中只含有 x 的偶次方 则函数为 函数 2 若函数解析式中只含有 x 的奇次方 且 则函数为 函数 若函数解析式中只含有 x 的奇次方 且 则函数为 函数 5 函数的奇偶性的应用 1 利用函数图像的对称性解决问题 2 求函数关于原点对称的区间上的函数值或解析式 3 函数的奇偶性与单调性的综合问题 主要体现在两个重要的性质 1 奇函数在关于原点对称的区间上的单调性 2 偶函数在关于原点对称的区间上的单调性 三 函数的实际应用举例 一 分段函数 1 定义 函数在自变量的 取值范围内 需要用 的 来表 示 这种函数叫做分段函数 9 2 分段函数的定义域 就是自变量的各个不同取值范围的 3 分段函数的图像 在同一个坐标系中 分别在自变量的各个不同的取值范围内 根 据相应的式子作出相应部分的图像 二 函数的实际应用 1 关键问题 1 根据已知条件建立 2 进行最值计算 3 函数的定义域要受到 的制约 2 主要类型 1 图形的面积 矩形的面积 S 圆的面积 S 2 营销问题 成本 收入 利润 第四章第四章 指数函数与对数函数指数函数与对数函数 一 实数指数幂 一 n 次方根 一般地 如果 且 那么 x 叫做 a 的 n N n1 n 次方根 1 当 n 为偶数时 正数 a 的偶次方根有 个 分别用 和 表示 其中 叫做 a 的 n 次算术根 负数的 n 次方根 2 当 n 为奇数时 实数 a 的奇次方根只有 个 记作 3 无论 n 为奇数还是偶数 零的 n 次方根是 2 n 次根式 形如 且 的式子叫做 a 的 n 次根式 N n1 n 其中 n 叫做 a 叫做 三 整数指数幂 当且时 N n0 a n a n a 0 a 1 a 2 a 四 分数指数幂 利用分数指数幂来表示 1 规定 当有意义 且时 n m a n m a0 a n m a 其中 且 N nm1 n 2 1 a 3 1 a 2 1 a 3 1 a 2 当 n 为奇数时 a 的取值范围是 当 n 为偶数时 a 的取值范围是 五 实数指数幂的运算法则 0 aR qp qp aa q p a a qp a p ab 二 对数 一 对数定义 如果 那么 b 叫做 Nab 1 0 aa 记作 其中 a 叫做 N 叫做 二 指数式与对数式 形如 的式子叫做指数式 形如 的式子叫做对数式 当且 时 在下式中标出相应字母与名称 0 a1 a0 N log 10 三 常用对数与自然对数 1 常用对数 以 为底的对数叫做常用对数 简记为 2 自然对数 以 为底的对数叫做自然对数 简记为 四 对数的性质 且0 a1 a 1 1log a log a a log n aa 2 1lg 10lg 10lg n 3 1ln eln eln n 4 即 和 没有对数 0 N 五 对数的运算法则 且 0 a1 a0 M0 N 1 lg NM lg N M lg n M 1 lg N 2 ln NM ln N M ln n M 1 ln N 3 log NM a log N M a log n aM 1 log N a log m a a n 三 幂函数 指数函数 对数函数 一 幂函数 1 概念 形如 a 的函数称为幂函数 明确 幂函数的自变量是 数 数是常数 2 性质 1 定义域 看 当 a 是正整数时 当 a 是负整数时 当 a 是正分数 且分母为偶数 分子为奇数时 当 a 是正分数 且分母为偶数 分子为偶数时 当 a 是正分数 且分母为奇数时 当 a 是负分数时 2 值域 由 和 决定 3 单调性和奇偶性 看 具体问题 具体分析 二 指数函数 1 概念 形如 a 的函数称为指数函数 明确 指数函数的自变量是 数 数是常数 2 性质 函 数 定义域值 域 底 数10 a1 a 图 像 指数函数的图像一定经过点 单调性 在 上是 函数 当时 y 0 x 当时 0 x 在 上是 函数 当时 0 x 当时 y 0 x 奇偶性指数函数是 函数 三 对数函数 1 概念 形如 a 的函数称为对数函数 明确 对数函数的自变量是 数 数是常数 2 性质 函 数 定义域值 域 底 数10 a1 a 11 图 像 对数函数的图像一定经过点 单调性 在 上是 函数 当时 y 10 x 当时 y 1 x 在 上是 函数 当时 y 10 x 当时 y 1 x 奇偶性对数函数是 函数 四 指数函数与对数函数的应用 1 指数模型 其中 c 为 a 为 一般情况下 已知起始数据 变化百分数和变化的时间求结果时 用指数模型 2 对数的应用 一般情况下 已知起始数据 变化百分数和变化后的数据或数据变化的倍数 用 对数求变化的时间 即 数据变化的倍数 变化百分数 log 第五章第五章 三角函数三角函数 一 角的概念的推广 一 任意角的概念 1 角的概念 一条 绕着它的 旋转旋转到另一位置形成的图形叫做角 旋转开始的位置叫做角的 终止的位置叫做角的 端 点叫做角的 正角 按 方向旋转所形成的角 负角 按 方向旋转所形成的角 零角 旋转所形成的角 2 终边相同的角 与角终边相同的角 包括角在内 都可以写成 与角终边相同的角有 个 与角终边相同的角所组成的集合为 3 象限角和界限角 将角的 与 重合 与 重合 1 象限角 角的 在 的角就叫做第几象限的角 第一象限的角的集合是 第二象限的角的集合是 第三象限的角的集合是 第四象限的角的集合是 锐角 钝角 明确 锐角 是第一象限的角 而第一象限的角 是锐角 钝角 是第二象限的角 而第二象限的角 是钝角 2 界限角 角的 在 的角就叫做界限角 直角 的角 平角 的角 周角 的角 终边在 x 轴正半轴上的角的集合是 终边在 x 轴负半轴上的角的集合是 终边在 x 轴上的角的集合是 终边在 y 轴正半轴上的角的集合是 终边在 y 轴负半轴上的角的集合是 终边在 y 轴上的角的集合是 二 弧度制 1 弧度制 1 弧度 把等于 长的 所对的 叫做 1 弧度的角 12 记作 或 规定 正角的弧度为 负角的弧度为 零角的弧度为 2 弧度制 以 为单位来度量角的单位制叫做弧度制 3 弧度的计算 公式 角度与弧度的转换 1 1 rad 2 常用特殊角的弧度与角度之间的转换 角度 0 30 45 60 90 120 135 150 180 弧度 角度 210 225 240 270 300 315 330 360 弧度 2 三角函数 一 三角函数的定义 1 定义 一般地 设角是平面直角坐标系中的一个任意角 点 为角 上任意一点 点到 的距离为 且 那P 么角的正弦 余弦和正切分别定义为 tan cos sin 2 三角函数包括 和 3 三角函数的正负号 点 P 的坐标 所在的 象限 xy sin cos tan 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限 记忆要点 第一象限 正 第二象限 正 第三象限 正 第四象限 正 4 特殊角三角函数值 0 30 45 60 90 180 270 360 弧度 sin cos tan 二 同角三角函数的基本关系式 1 平方关系 1 转化一 当角是第 象限的角时 取 号 即 当角是第 象限的角时 取 号 即 若没有说明角终边所在象限 则 1 转化二 当角是第 象限的角时 取 号 即 当角是第 象限的角时 取 号 即 若没有说明角终边所在象限 则 2 比例关系 转化 明确 1 单位圆 在平面直角坐标系中 以 为圆心 为半径的圆 叫做单位圆 2 必须是同角才具备以上关系式 13 3 角的终边与单位圆的交点 P 的坐标为 3 诱导公式 1 终边相同的角的同名同名三角函数值 2 设角是第一象限的角 一般为 则有 900 四 三角函数的图像和性质 1 正弦函数 1 解析式 2 定义域 3 值 域 4 周期性 周期性 最小正周期是 5 单调性 正弦函数在每一个区间 上分别是增函数 函数值 Zk 由 增大到 正弦函数在每一个区间 上分别是减函数 函数值 Zk 由 减小到 当 时 y 取最大值 x Zk max y 当 时 y 取最小值 x Zk min y 6 奇偶性 由诱导公式 可知正弦函数是 函数 7 函数图像 五点法 作图 x 的取值范围是 五个关键点 x xysin 正弦函数的图像 2 余弦函数 1 解析式 2 定义域 3 值 域 4 周期性 周期性 最小正周期是 14 5 单调性 余弦函数在每一个区间 上分别是增函数 函数值 Zk 由 增大到 余弦函数在每一个区间 上分别是减函数 函数值 Zk 由 减小到 当 时 y 取最大值 x Zk max y 当 时 y 取最小值 x Zk min y 8 奇偶性 由诱导公式 可知余弦函数是 函数 9 函数图像 五点法 作图 x 的取值范围是 五个关键点 x xycos 余弦函数的图像 3 正切函数 1 解析式 2 定义域 3 值 域 4 周期性 周期性 最小正周期是 5 单调性 正切函数在每一个区间上分别是增函数 kk2 2 2 2 Zk 6 奇偶性 正切函数是 函数 三 已知三角函数值求角 1 终边相同的角的三角函数值 2 已知角的大小 则相应的三角函数值是 的 3 已知三角函数值 则相应的角有 个 可根据终边相同的角求出所要求范围 内的角 第六章第六章 数数 列列 一 基本概念 一 数列的概念 按照 排成的 叫做数列 数列中的 叫做数列的 从开始的项起 自左至右排序 各项按照其 依次叫做数列的 或 其中反映各项在数列中的 的 分别叫做 对应的项的 取值范围是 2 数列的分类 有穷数列 具有 的数列 无穷数列 具有 的数列 3 数列的表示 一般形式是 简记作 通常把第 n 项叫做数列的 或 一个数列的第 n 项如果能够用 n a 关于 的一个 来表示 那么这个式子叫做这个数列的通项公式 二 等差差数列 一 等差数列的定义 如果一个数列从第 项起 每一项与 一项的 都等于 那么 这个数列叫做等差数列 这个 叫做等差数列的 一般用字母 表示 15 可知 则 1 nn aa 1 n a 2 等差数列的通项公式 明确 等差数列的通项公式中 可以把 看作 的函数 3 等差数列的前 n 项和公式 4 等差数列的应用 1 已知三个数成等差数列 一般可以将这三个数设为 2 银行存款的年利率与月利率的关系是 月利率 三 等比比数列 一 等比数列的定义 如果一个数列从第 项起 每一项与 一项的 都等于 那么 这个数列叫做等比数列 这个 叫做等比数列的 一般用字母 表示 可知 则 1 n n a a 1 n a 3 等比数列的通项公式 明确 在等比数列中 和 都不能为 4 等比数列的前 n 项和公式 5 等比数列的应用 1 已知三个数成等比数列 一般可以将这三个数设为 2 贷款一般采用 含义是将前期的本金及利息的和 简称本利和 作 为后一期的本金来计算利息 俗称 利滚利 第七章第七章 平面向量平面向量 一 平面向量的有关概念 一 向量的概念 1 向量的定义 既有 又有 的量叫向量 2 向量的要素 和 3 向量的表示方法 1 图形表示 即带有 的线段来表示向量 2 字母表示 以点 A 为起点 点 B 为终点的向量记作 也可以记作 4 向量的模 向量的 即有向线段的 叫做向量的模 向量的模记作 向量的模记作 ABa 二 特殊的向量 1 零向量 为 的向量叫做零向量 记作 零向量的方向是 的 2 单位向量 为 的向量叫做单位向量 3 非零向量的负向量 与非零向量的模 且方向 的向量叫做向a a 量的负向量 记作 a 规定 零向量的负向量为 三 相等的向量与共线向量 1 相等的向量 当向量与向量的模 且方向 时 称向量与向a b a 量相等 记作 b 2 共线向量 1 互相平行的向量 方向 或 的两个 向量叫做互相平行的 向量 向量与向量平行记作 a b 2 向量的平移 在同一平面内 保持向量的 和 不变 可以将 向量平移至任何需要的位置 3 共线向量 任意一组互相平行的向量都可以平移到 上 所以 互相平行的向量又叫做共线向量 4 规定 与任何一个向量都平行 二 平面向量的线性运算 一 向量的加法 1 向量的加法运算 求向量的 的运算叫做向量的加法 运算的结果是 2 向量的加法运算法则 16 1 向量加法的三角形法则 已知向量 在平面上任取一点 A 作 a b aAB 作向量 则向量叫做向量与的和 记作 bBC ACACa b a b b 2 向量加法的平行四边形法则 已知向量 在平面上任取一点 A 作 a b aAB 以 为邻边平行四边形 则以 A 为起点的对角线 bAD ABADABCDbaAC b 3 向量加法运算律 1 零向量 0 a 2 交换律 ba 3 结合律 cba 2 向量的减法 1 向量的减法运算 求向量的 的运算叫做向量的减法 运算的结果是 2 向量的减法运算法则 1 起点起点相同的两个向量 它们的差向量是由 向量的终点指向 向量的 终点 即若设 则 aAB bAC ACABba 2 终点终点相同的两个向量 它们的差向量是由 向量的起点指向 向量的 起点 即若设 则 aAC bBC BCACba 3 向量减法运算律 减去一个向量等于加上它的 即 ba 3 向量的数乘运算 1 向量的数乘运算 与 的 运算叫做向量的数乘运算 与 的 仍然是一个 记作 a 2 向量的数乘运算法则 1 的大小 即它的 为 a 2 的方向 当时 a 0 a 若 与 若 与 0 a a 0 a a 3 向量数乘运算的运算律 若 为实数 则 1 a 2 a 3 ba 4 向量的数乘运算的集合意义 就是把向量沿它的 方向或 方向a 放大放大或缩小缩小到原来的 倍 4 平面向量的线性运算 1 平面向量的线性运算包括 向量的 向量的 和向量的 运算 2 向量的线性组合 叫做向量 与 的一个线性组合 其中 均ba 为 3 平面向量的内积 1 两个向量的夹角 1 向量夹角的定义 设向量与向量都是非零向量 作 则 a b aOA bOB 叫做向量与向量的夹角 记作 a b 2 明确 1 作向量的夹角时 两个向量必须在 起点出发 2 向量的夹角的取值范围是 2 向量的内积 1 向量的内积的定义 两个向量与向量的 与它们的 的 a b 的 叫做向量与向量的内积 记作 a b 明确 向量的内积的运算结果是 量 a a 17 2 运算公式 ba 3 几个重要的结果 1 cos ba 2 22 aaa 3 a 4 0 ba 四 平面向量的坐标表示 1 用坐标表示平面向量 1 用起点与终点的坐标表示 设起点为 终点为 则向量的坐标 11 yxA 22 yxBAB 可以表示为 即 坐标 坐标 AB 2 用单位坐标表示 设 分别是平面直角坐标系内 x 轴和 y 轴上的单位向量 对i j 任何一个平面向量 都存在着一对有序实数对 使得 则这个有a yxj yi xa 序实数对 就叫做向量的坐标 记作 a a 2 向量运算的坐标表示 在平面直角坐标系中 设 则 11 yxa 22 yxb 1 向量的模的运算 a b 2 向量的线性运算的坐标表示 ba ba a 3 向量内积的坐标表示 ba 若向量与向量都是非零向量 则 a b cos ba 可以用这个公式求两个向量的 的大小 4 向量的平行 共性向量 与垂直 若向量与向量都是非零向量a b 1 a b 2 ba 第第 8 章章 直线和圆的方程直线和圆的方程 1 直线方程 1 两点间距离公式 设平面直角坐标系中有任意两点和 111 yxP 222 yxP 1 两点间的距离公式 21 PP 2 当这两个点都在 x 轴上时 所以 21 yy 21 PP 3 当这两个点都在 y 轴上时 所以 21 xx 21 PP 二 线段中点坐标公式 设线段 AB 的两个端点分别为 线段的中点为 则 11 yxA 22 yxB 00 yxM 00 yx 3 直线的重要参数 1 直线的倾斜角 直线 的方向与 轴 的夹角称为直线的 倾斜角 记作 角 规定 1 直线与 x 轴平行时 其倾斜角为 2 直线与 x 轴垂直时 其倾斜角为 3 直线倾斜角的取值范围是 2 直线的斜率 1 直线的斜率的定义 直线倾斜角的 值就叫做直线的斜率 记作 2 直线的斜率的计算方法 明确 当直线的倾斜角为 时 其正切值 故当直线的倾斜角为 时 其斜率 即当直线与 x 轴 时 其斜率 斜率的计算方法一 根据倾斜角计算 即当直线的倾斜角为时 其斜率 k 斜率的计算方法二 根据直线上任意两点的坐标计算 即当直线上有任意两点和时 其斜率为 111 yxP 222 yxP k 斜率的计算方法三 根据直线的方程计算 若直线方程为时 其斜率为 bkxy 18 若直线方程为时 其斜率 0 CByAx k 3 直线的截距 1 直线在 x 轴上的截距 即直线与 x 轴的 的 坐标 一般用 表示 直线在 y 轴上的截距 即直线与 y 轴的 的 坐标 一般用 表示 2 截距的计算 直线的斜截式方程中 ba 直线的一般式方程中 ba 4 直线的方程 名 称已知条件直线方程说 明 点斜式 直线上一点 0 P 直线的斜率 不能表示与 x 轴 的直线 斜截式 直线的斜率 直线在 轴上的截距 不能表示与 x 轴 的直线 一般式能确定系数即可 可表示任何直线 两点式 直线上任意两点 和 111 yxP 222 yxP 12 1 12 1 yy yy xx xx 不能表示平行于 x y 轴的直线 截距式 直线在 x 轴上的截距 a 直线在 y 轴上的截距 b 1 b y a x 不能表示平行于 x y 轴的直线和经 过原点的直线 5 特殊的直线方程 1 垂直于 x 轴 平行于 y 轴的直线方程 2 垂直于 y 轴 平行于 x 轴的直线方程 3 过原点的直线方程 6 点到直线的距离公式 设点为 直线为 则点到直线 的距离为 000 yxP0 CByAxl 0 Pl d 明确 点到直线的距离公式中 必须用直线的 方程计算 七 两条直线的位置关系 1 平面内 两条直线的位置关系有 种 2 两条直线的位置关系 当直线 l1 l2的斜率都存在时 设 则 111222 lyk xb lyk xb 两个方程的系数关系 两条直线的位置关系相 交平 行重 合 3 两条直线相交 1 两条直线相交的条件 如果直线 l1与 l2的斜率都存在且 那么这两条直线相交 如果两条直线的斜率只有一个 那么这两条直线相交 2 交点 交点同时在直线 l1和 l2上 两直线相交有 个交点 交点的坐标就是求对应的 的解 求两条直线与的交点 就是解方程组 1111 0lAxB yC 2222 0lA xB yC 解二元一次方程组的方法有 法和 法 3 夹角 把两条直线相交所成的 叫做两条直线的夹角 记作 取值范围是 4 两条直线垂直 当直线 l1与 l2的夹角为 时 称直线 l1与 l2垂直 记作 5 两条直线垂直的条件 如果直线 l1与 l2的斜率都存在且不等于 0 那么 19 斜率 的直线与斜率 的直线垂直 4 两条直线平行 1 两条直线平行的条件 如果直线 l1与 l2的斜率都存在 且 那么这两条直线平行 如果直线 l1与 l2的斜率都不存在且 则这两条直线都 x 轴 倾斜 角都是 它们在 x 轴上的 不相等 那么这两条直线平行 2 直线与互相平行 11 0lAxByC 22 0lAxByC 3 两条平行直线间的距离 两条平行直线中的任意一条直线上的任意一点到另外一条直线的距离都相等 求两条平行直线间的距离就是求其中一条直线上的任意 到另一条直线的 点到直线的距离公式 5 两条直线重合 两条直线重合的条件 1 如果直线 l1与 l2的斜率都存在 且 那么这两条直线重合 2 如果直线 l1与 l2的斜率都不存在且 那么这两条直线重合 二 圆 一 圆的方程 圆的标准方程圆的一般方程 圆的方程 圆心坐标 半径 r 方程表示圆 的条件 特殊的圆 圆心在原点的圆 经过原点的圆 2 直线与圆的位置关系 1 直线与圆的位置关系 有 种 2 圆心到直线的距离 设圆的圆心为 直线为 则圆心 C 到 baC0 CByAxl 直线 l 的距离是 d 3 直线与圆的位置关系 设圆的半径为 r 由 r 与 d 的关系可知 1 当 时 直线与圆相离 2 当 时 直线与圆相切 3 当 时 直线与圆相交 4 圆的切线 1 过圆外一点作圆的切线有 条 2 过圆上一点作圆的切线有 条 3 圆中的两个重要的直角三角形 1 圆上一点与一条直径形成一个直角三角形 2 圆的一条弦 过圆心作弦的垂线 设圆的半径为 r 弦长为 l 圆心到弦的距离为 d 则有 20 第第 9 章章 立体几何立体几何 1 空间中的位置关系 1 空间中直线与直线的位置关系 空间中 直线与直线的位置关系有 种 或 位置关系是否共面是否有公共点记 法 相 交 平 行 2 空间中直线与平面的位置关系 空间中 直线与平面的位置关系有 种 或 位置关系公共点情况记 法 直线 平面 直线上 直线与平面 公共点 直线与平面 且 公共点 3 空间中平面与平面的位置关系 空间中 平面与平面的位置关系有 种 或 位置关系公共部分情况记 法 相 交 有且仅有 平 行 2 空间中的平行 一 空间中直线与直线的平行 1 判定方法 1 依据 来判定 即两条直线在 且 2 空间中直线的传递性 符号表示 3 在同一平面内 的两条直线平行 2 性质定理 等角定理 如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行 那么这两 个角 或 二 空间中直线与平面的平行 1 判定方法 1 依据 来判定 即直线与平面 2 判定定理 符号表示 2 性质定理 三 空间中平面与平面的平行 1 判定方法 1 依据 来判定 即两个平面 2 判定定理 21 符号表示 3 空间中平面的传递性 符号表示 明确 空间中直线与直线 平面与平面之间 传递性 但直线与平面之间 传递性 空间中 平行于同一条直线的两个平面的位置关系是 空间中 平行于同一个平面的两条直线的位置关系是 2 性质定理 三 空间中的垂直 一 空间中直线与直线的垂直 1 定义 如果直线与直线 是 那么就称直线与直线垂直 明确 1 如果两条直线垂直 那么它们所成的角是 2 如果两条直线垂直 那么它们的位置关系是 或 2 判定方法 依据 来判定 即确定两条直线所成的角是否为 3 性质 1 在同一平面内 垂直于同一条直线的两条直线 2 在空间中 垂直于同一条直线的两条直线 二 空间中直线与平面的垂直 1 定义 如果一条直线与一个平面内所有的直线都 那么这条直线与这个 平面垂直 明确 1 如果一条直线与一个平面垂直 那么它们所成的角是 2 如果一条直线与一个平面垂直 那么它们的位置关系是 2 判定方法 1 依据 来判定 即直线 平面内的任意一条直线 2 判定定理 如果一条直线与一个平面内的 都垂直 那么这 条直线与这个平面垂直 符号表示 3 性质 1 垂直 如果一条直线与一个平面垂直 那么它就 平面内的任意一条直线 所有的直线 2 平行 垂直于同一个平面的两条直线 拓展 垂直于同一条直线的两个平面 两条平行直线中的一条直线与一个平面垂直 那么另一条直线与这个平面 也 三 空间中平面与平面的垂直 1 定义 如果两个相交平面所成的二面角是 那么这两个平面垂直 明确 1 如果两个平面垂直 那么它们所成的角是 2 如果两个平面垂直 那么它们的位置关系是 2 判定方法 1 依据 来判定 即两个平面所成二面角是 2 判定定理 如果一个平面经过另一个平面的 那么这两个平面垂直 符号表示 3 性质 如果两个平面垂直 那么在一个平面内 的直线也垂直 于另一个平面 明确 垂直于同一个平面的两个平面 四 空间中所成的角 一 空间中直线与直线所成的角 1 在同一平面内 1 两条直线平行 规定它们所成的角为 22 2 两条直线相交 则它们相交所得的 就是这两条直线所成的夹 角 取值范围是 2 异面直线 不 的两条直线 1 过空间中任意一点作两条异面直线的 那么这两条直线所成的 就是两条异面直线所成的角 2 异面直线所成的角的取值范围是 3 空间中两条直线所成的角的取值范围是 二 空间中直线与平面所成的角 1 直线在平面内和直线与平面平行时 规定它们所成的角是 2 直线与平面相交时 1 直线与平面垂直 过平面外一点作直线与平面垂直 那么 直线与平面的交点叫做 直线叫做平面的 平面叫做直线的 直线与平面所成的角为 2 直线与平面斜交 即直线与平面相交但 直线叫做平面的 直线与平面的交点叫做 斜线与平面所成的角 i 过斜线上除 外一点向平面引 交点为 ii 与 的连线为斜线在平面内的 iii 斜线与其在平面内的 所成的夹角就是