自考线性代数试卷及答案汇集

线性代数试卷第 1 页共 20 页 2014 年 10 月高等教育自学考试全国统一命题考试 04184 线性代数 经管类 试卷线性代数 经管类 试卷 本试卷共 8 页 满分 100 分 考试时间 150 分钟 说明 本试卷中 表示矩阵的转置矩阵 表示矩阵的伴随矩阵 是单位矩 T AA AAE 阵 表示方阵的行列式 表示矩阵的秩 AA ArA 1 单项选择题 本大题共 5 小题 每小题 2 分 共 10 分 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的 请将其代码填写在题后的 括号内 错选 多选或未选均无分 1 设 3 阶行列式 2 若元素的代数余子公式为 i j 1 2 3 则 111 232221 131211 aaa aaa ij a ij A 333231 AAA A B 0 C 1 D 21 2 设为 3 阶矩阵 将的第 3 行乘以得到单位矩阵 AA 2 1 E 则 A A B C D 22 2 1 2 1 3 设向量组的秩为 2 则中 321 321 A 必有一个零向量 B B 任意两个向量都线性无关 C 存在一个向量可由其余向量线性表出 D 每个向量均可由其余向量线性表出 4 设 3 阶矩阵 则下列向量中是的属于特征值的特征向量为 466 353 331 AA2 A B C D 0 1 1 1 0 1 2 0 1 2 1 1 5 二次型的正惯性指数为 21 2 3 2 2 2 1321 4 xxxxxxxxf A 0 B 1 C 2 D 3 2 填空题 本大题共 10 小题 每小题 2 分 共 20 分 请在每小题的空格中填上正确答案 错误 不填均无分 6 设 则方程的根是 13 12 x xf0 xf 线性代数试卷第 2 页共 20 页 7 设矩阵 则 02 10 A A 8 设为 3 阶矩阵 则行列式 A 2 1 A 1 2 A 9 设矩阵 若矩阵满足 则 43 21 B 20 01 PABPA A 10 设向量 则由线性表出 T 4 1 1 T 2 1 2 T 2 4 3 3 21 的表示式为 11 设向量组线性相关 TTT k 0 1 0 1 4 1 1 3 321 则数 k 12 3 元齐次线性方程组的基础解系中所含解向量的个数 0 0 32 21 xx xx 为 13 设 3 阶矩阵满足 则必有一个特征值为 A023 AEA 14 设 2 阶实对称矩阵的特征值分别为和 1 则 A1 2 A 15 设二次型正定 21 2 2 2 121 2 xtxxtxxxf 则实数 的取值范围是 t 3 计算题 本大题共 7 小题 每小题 9 分 共 63 分 16 计算 4 阶行列式的值 3100 1310 0131 0013 D 17 已知矩阵 求 0001 001 01 1 2 23 a aa aaa A 1 A 线性代数试卷第 3 页共 20 页 18 设矩阵 且矩阵满足 求 110 011 111 AXXAEAX 3 X 19 设向量 试确定当取何 TTTT kkkk 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 2 321 k 值时能由线性表出 并写出表示式 321 20 求线性方程组的通解 要求用其一个特解和导出组的基础解 1332 122 0 4321 432 4321 xxxx xxx xxxx 系表示 21 设矩阵与对角矩阵相似 求数与可逆矩阵 使 11 131 111 x A 200 020 001 BxP 得 BAPP 1 22 用正交变换将二次型化为标准形 写出标准形和 31 2 3 2 2 2 1321 22 xxxxxxxxf 所作的正交变换 四 证明题 本题 7 分 23 设向量组线性相关 且其中任意两个向量都线性无关 证明 存在全不为零 321 的常数使得 321 kkk0 332211 kkk 线性代数试卷第 4 页共 20 页 2014 年 10 月高等教育自学考试全国统一命题考试 线性代数 经管类 试题答案及评分参考线性代数 经管类 试题答案及评分参考 课程代码 04184 1 单项选择题 本大题共 5 小题 每小题 2 分 共 10 分 1 D 2 A 3 C 4 B 5 C 2 填空题 本大题共 10 小题 每小题 2 分 共 20 分 6 5 7 02 10 8 4 1 9 2 2 3 21 10 213 3 11 1 12 1 13 2 3 14 E 15 0t1 3 计算题 本大题共 7 小题 每小题 9 分 共 63 分 16 解 3 分 3100 1310 0131 0013 D 3100 1310 0013 0131 9 分55 55000 3100 1310 0131 17 解 2 分 00011 001001 0100001 10000001 10000001 0100001 001001 00011 23 2 2 23 aaa aa a a aa aaa 线性代数试卷第 5 页共 20 页 7 分 0011000 0100100 1000010 10000001 a a a 从而 9 分 001 010 100 1000 1 a a a A 18 解 由 得 2 分XAEAX 3 EAXEA 3 又由可逆 5 分 010 001 110 100 010 001 110 011 111 EA 由 可得EAXEA 3 2 EAAEAXEA 两边左乘 得到 1 EA 9 分 331 123 322 100 010 001 110 011 111 121 102 210 2 EAAX 19 解 设 2 分 332211 xxx 该线性方程组的增广矩阵为 6 分 2 2 2 22 000 100 10 1111 1111 111 1121 1111 k k kk kk k k kk A 由于能有线性表出 则必有 321 3 ArAr 此时 方程组有唯一解0 k0 1 321 xxx 表示式为 9 分 1 20 解 方程组的增广矩阵 2 分 00000 12210 11101 13321 12210 01111 A 线性代数试卷第 6 页共 20 页 可知 4 方程组有无穷多解 4 分2 ArAr 由同解方程组 432 431 221 1 xxx xxx 求出方程组的一个特解 T 0 0 1 1 导出组的一个基础解系为 7 分 TT 1 0 2 1 0 1 2 1 21 从而方程组的通解为 TTT cccc 1 0 2 1 0 1 2 1 0 0 1 1 212211 为任意常数 9 分 21 cc 21 解 由条件可知矩阵的特征值为 2 分A2 1 321 由 得 4 分01 01 121 110 x x AE1 x 对于 由线性方程组求得一个特征向量为1 1 0 xAE T 1 1 1 1 对于 由线性方程组求得两个线性无关的特征向量为2 32 0 2 xAE TT 1 1 0 1 0 1 32 令 则 9 分 111 101 011 321 PBAPP 1 22 解 二次型的矩阵 2 分 101 020 101 A 由0 2 101 020 101 2 AE 故的特征值为 4 分A0 2 321 对于 求解齐次线性方程组 得到基础解系2 21 0 xA 线性代数试卷第 7 页共 20 页 T 1 0 1 3 将其单位化 得 7 分 T 2 1 0 2 1 3 令 则为正交矩阵 2 1 2 1 0 001 2 1 2 1 0 321 PP 经正交变换 化二次型为标准形 9 分 3 2 1 3 2 1 y y y P x x x 2 2 2 1 22yy 4 证明题 本题 7 分 23 证 由于向量组线性相关 故存在不全为零的常数 使得 321 321 kkk 2 分0 332211 kkk 其中必有 否则 如果 则上式化为0 1 k0 1 k0 3322 kk 其中不全为零 由此推出线性相关 与向量组中任意两个向量都线性无关的 32 k k 32 条件矛盾 5 分 类似地 可证明 7 分0 0 32 kk 2015 年年 4 月高等教育自学考试全国统一命题考试月高等教育自学考试全国统一命题考试 线性代数 经管类 试卷线性代数 经管类 试卷 课程代码 课程代码 04184 1 单项选择题 本大题共 5 小题 每小题 2 分 共 10 分 1 设行列式 D1 D2 则 D2 22 11 ba ba 222 111 32 32 aba aba A D1 B D1 C 2D1 D 3D1 线性代数试卷第 8 页共 20 页 2 若 A B 且 2A B 则 1 x 1 0 2 1 y24 202 A x 1 y 2 B x 2 y 1 C x 1 y 1 D x 2 y 2 3 已知 A 是 3 阶可逆矩阵 则下列矩阵中与 A 等价的是 A B C D 000 000 001 000 010 001 100 000 001 100 010 001 4 设 2 阶实对称矩阵 A 的全部特征值味 1 1 1 则齐次线性方程组 E A x 0 的基础 解系所含解向量的个数为 A 0 B 1 C 2 D 3 5 矩阵有一个特征值为 31 13 A 3 B 2 C 1 D 2 2 填空题 本大题共 10 小题 每小题 2 分 共 20 分 请在每小题的空格中填上正确答案 错填 不填均无分 6 设 A 为 3 阶矩阵 且 3 则 A 1 3 A 7 设 A 则 A 53 12 8 已知 A B 若矩阵 X 满足 AX B 则 X 12 01 211 111 9 若向量组 1 2 1 T k 1 4 2 T线性相关 则数 k 1 2 10 若齐次线性方程组有非零解 则数 03 02 02 321 321 321 xxx xxx axxx a 11 设向量 1 2 2 T 2 0 1 T 则内积 1 2 21 12 向量空间 V x x1 x2 0 T x1 x2 的维数为 R 13 与向量 1 0 1 T和 1 1 0 T均正交的一个单位向量为 14 矩阵的两个特征值之积为 32 21 15 若实二次型 f x1 x2 x3 正定 则数的取值范围是 21 2 3 2 2 2 2 1 2xxxaaxx a 线性代数试卷第 9 页共 20 页 3 计算题 本大题共 7 小题 每小题 9 分 共 63 分 16 计算行列式 D 的值 5111 1411 1131 1112 17 设 2 阶矩阵 A 的行列式 求行列式的值 2 1 A 1 2 2 AA 18 设矩阵 A B 矩阵 X 满足 X AX B 求 X 101 111 010 3 0 1 5 2 1 线性代数试卷第 10 页共 20 页 19 求向量组的秩和一个极 TTTT 10 1 3 6 3 1 1 5 2 1 2 1 4321 大线性无关组 并将向量组中的其余向量由该极大线性无关组线性表出 20 利用克拉默法则解线性方程组 其中两两互不相同 2 3 2 21 2 3 2 21 2 3 2 21 3 3 3 cxccxx bxbbxx axaaxx cba 线性代数试卷第 11 页共 20 页 21 已知矩阵与相似 求数的值 111 13 11 a a A b B 00 010 000 ba 22 用正交变换化二次型为标准型 并写出所作的正交变换 212121 455 xxxxxxf 4 证明题 本题 7 分 23 设 A B 均为 n 阶矩阵 且 A B E B2 B 证明 A 可逆 1 单项选择题 本大题共 5 小题 每小题 2 分类 共 10 分 1 C 2 A 3 D 4 C 5 B 二 填空题 本大题共 10 小题 每小题 2 分 共 20 分 6 9 7 23 15 8 9 3 031 111 10 2 11 0 12 2 13 TT 1 1 1 3 1 1 1 1 3 1 或 线性代数试卷第 12 页共 20 页 14 1 15 1a 3 计算题 本大题共 7 小题 每小题 9 分 共 63 分 16 解 D 4020 0320 1150 1131 5111 1411 1112 1131 74 402 032 115 17 解 由于 所以可逆 于是 2 1 AA 1 AAA 故 11 1 2 2 1 2 2 AAAAA 2 9 2 3 2 3 2 1 1 2 111 AAAA 18 解 由 化为 BAXX BXAE 而可逆 且 201 101 011 AE 110 123 120 3 1 1 AE 故 11 02 13 35 02 11 110 123 120 3 1 X 19 解 由于 0000 7510 171101 7510 7510 3121 4321 所以向量组的秩为 2 是一个极大线性无关组 并且有 21 214213 717 511 注 极大线性无关组不唯一 20 解 方程组的系数行列式 D bcacab cc bb aa 2 2 2 1 1 1 因为 a b c 两两互不相同 所以 故方程有唯一解 0 D 线性代数试卷第 13 页共 20 页 又 0 3 3 3 22 22 22 1 ccc bbb aaa D0 31 31 31 22 22 22 2 cc bb aa D D cc bb aa D3 31 31 31 2 2 2 3 由克拉默法则得到方程组的解 3 3 0 0 3 3 2 2 1 1 D D D D x D D x D D x 21 解 因为矩阵 A 与 B 相似 故 且 trBtrA BA 即 01 10131 2 a b 所以 a 1 b 4 22 解 二次型的矩阵 52 25 A 由于 所以 A 的特征值 73 AE7 3 21 对于特征值 由方程组得到 A 属于特征值的一个单位3 1 03 xAE3 1 特征向量 1 1 2 2 1 对于特征值由方程组得到 A 属于特征值的一个单位特征向量 7 2 07 xAE7 2 1 1 2 2 2 得正交矩阵 作正交变换 11 11 2 2 21 QQyx 二次型化为标准形 73 2 2 2 1 yyf 4 证明题 本题 7 分 23 证 因为 所以 又 EBA BEA BB 2 故 EAEA 2 线性代数试卷第 14 页共 20 页 化简得 于是 故 A 可逆 23 2 EAA EEAA 3 2 1 20152015 年年 1010 月高等教育自学考试全国统一命题考试月高等教育自学考试全国统一命题考试 线性代数线性代数 经管类经管类 试卷试卷 课程代码课程代码 04184 04184 本试卷共本试卷共 3 3 页 满分页 满分 l00l00 分 考试时间分 考试时间 l50l50 分钟 分钟 考生答题注意事项 考生答题注意事项 1 1 本卷所有试题必须在答题卡上作答 答在试卷上无效 试卷空白处和背面均可作草稿纸 本卷所有试题必须在答题卡上作答 答在试卷上无效 试卷空白处和背面均可作草稿纸 2 2 第一部分为选择题 必须对应试卷上的题号使用 第一部分为选择题 必须对应试卷上的题号使用 2B2B 铅笔将铅笔将 答题卡答题卡 的相应代码涂黑 的相应代码涂黑 3 3 第二部分为非选择题 必须注明大 小题号 使用 第二部分为非选择题 必须注明大 小题号 使用 0 0 5 5 毫米黑色字迹签字笔作答 毫米黑色字迹签字笔作答 4 4 合理安排答题空间 超出答题区域无效 合理安排答题空间 超出答题区域无效 说明 在本卷中 说明 在本卷中 A AT T表示矩阵表示矩阵 A A 的转置矩阵 的转置矩阵 A A 表示矩阵表示矩阵 A A 的伴随矩阵 的伴随矩阵 E E 是单位矩阵 是单位矩阵 A A 表示方阵表示方阵 A A 的行列式 的行列式 r A r A 表示矩阵表示矩阵 A A 的秩 的秩 第一部分第一部分 选择题选择题 一 单项选择题一 单项选择题 本大题共本大题共 5 5 小题 每小题小题 每小题 2 2 分 共分 共 1010 分分 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的 请将其选出并将在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的 请将其选出并将 答题卡答题卡 的相应代码涂黑 未涂 错涂或多涂均无分 的相应代码涂黑 未涂 错涂或多涂均无分 1 已知 2 阶行列式 A 2 B l C 1 D 2 3 设向量组可由向量组线性表出 则下列结论中 正确的是 A 若 s t 则必线性相关 B 若 s t 则必线性相关 C 若线性无关 则 s t D 若线性无关 则 s t 4 设有非齐次线性方程组 Ax b 其中 A 为 m n 矩阵 且 r A r1 r A b r2 则 下列结论中正确的是 A 若 r1 m 则 Ax O 有非零解 B 若 r1 n 则 Ax 0 仅有零解 C 若 r2 m 则 Ax b 有无穷多解 D 若 r2 n 则 Ax b 有惟一解 5 设 n 阶矩阵 A 满足 2E 3A 0 则 A 必有一个特征值 线性代数试卷第 15 页共 20 页 第二部分第二部分 非选择题非选择题 二 填空题二 填空题 本大题共本大题共 l0l0 小题 每小题小题 每小题 2 2 分 共分 共 2020 分分 请在答题卡上作答 请在答题卡上作答 6 设行列式中元素 aij的代数余子式为 Aij i j 1 2 则 a11A21 a12 A22 7 已知矩阵 则 A2 2A E 8 设矩阵 若矩阵 A 满足 AP B 则 A 9 设向量 则由向量组 线性表出的表示式为 10 设向量组 a1 1 2 1 T a2 1 1 0 T a3 0 2 k T线性无关 则数 k 的取值应 满足 11 设 3 元