绳、杆、弹簧模型在临界和突变问题的归类解析

1 绳 杆 弹簧模型在临界和突变问题的归类解析绳 杆 弹簧模型在临界和突变问题的归类解析 内容摘要 三种模型弹力产生的机理不同 不同物理场景下力和运动情况的分析 尤其是由一种状态突变到另一种物理状态时 数学上称为 拐点 突变点的分析 以及临界 状态对应的临界条件 关键词 临界 突变 绳 杆和弹簧作为中学物理常见的理想模型 在解决力和运动 尤其在曲线运动问题 中经常出现 由于较多涉及带电粒子在复合场中的运动 关于临界和突变问题成为失分较 大的考点 因此历年成为频繁出现的热点 而问题的症结是 不太清楚这三种模型弹力产 生的机理 不清晰物理过程的分析 尤其是由一种状态突变到另一种物理状态时 数学上 称为 拐点 突变点的分析 以及临界状态对应的临界条件 故而成为学习中的一个障碍 结合复习实际 总结如下 一 产生的机理 一 产生的机理 形变的分类和弹力产生的机理 形变的分类和弹力产生的机理 物体在外力作用下的形变可分为 拉伸 压缩形 变 剪切形变 扭转和弯曲形变 但从根本上讲 形变分为 拉伸压缩和剪切形变 拉伸压缩形变的程度用线应变描述 剪切形变是指用平行截面间相对滑动的位移与截 面垂直距离之比来描述称为剪切形变 弯曲形变 以中性层为界 越近上缘发生压缩形变 的程度增加 靠近下沿拉伸越甚 即上下边沿贡献最大 中性层无贡献 实际应用中典型 的就是钢筋混凝土梁 下部钢筋多利用其抗拉能力 上部利用混凝土抗压能力 工业中的 工字钢 空心钢管等构件既安全又节省材料 扭转形变实质上是由剪切形变组成 内外层 剪切应变不同 因此应力也不同 靠外层应力较大 抵抗扭转形变的作用主要由外层承担 靠近中心轴线的材料几乎不大起作用 工业中的空心柱体就是典型的应用 区别 区别 细绳只能发生拉伸形变 即只能提供因收缩而沿轴向里的弹力 但弹力的产生依赖于 细绳受到的外力和自身的运动状态 由一种状态突变到另一种状态时 受力和运动状态将 发生突变 将此点称为 拐点 弹簧能发生拉伸和压缩形变 能提供向里和向外的弹力 弹力的产生是由于外力作用下而引起的形变 形变不发生变化 弹力不变 轻杆 拉伸 压缩 剪切形变 弯曲 扭转形变均能发生 既能产生沿轴向方向上的弹力 又能产生沿 截面方向上的弹力 取决于外力作用的情况 以上模型均不计自身的重力而引起的形变 二 问题归类解析二 问题归类解析 一 平衡态发生在瞬时突变时的问题 一 平衡态发生在瞬时突变时的问题 1 1 弹簧与细绳模型 弹簧与细绳模型 如图 1 所示 一条轻弹簧和一根细绳共同拉住一个质量为的小球 平衡时细线是水m 平的 弹簧与竖直方向的夹角是 若突然剪断细线瞬间 弹簧拉力大小是多少 将弹簧 改为细绳 剪断的瞬间上张力如何变化 BO 解析 绳未断时处于平衡态 即 mgtgTmgT mg TTT AB BAB 解得 cos cos sin 剪断的瞬间 瞬时消失 但弹簧上的形变没有改变 所以OA A T 弹力不变 则和的合力与相平衡 即 B T B Tmg A T AA TmgT 22 2 换为细绳 张力随外界条件的变化发生瞬时突变 如图 2 所示 OB 则沿绳方向瞬态平衡 重力的分力使物体向最低OB cos 1 mgFTB 2 F 位置运动 即 从而使物体沿圆周运动 遵循机 22 sinmamgF 械能守恒定律 cosmgTB 细绳和杆的平衡类问题 细绳和杆的平衡类问题 例 2 如图 3 所示 一块长木板长为 距端处由一个固定的轴m12NG200 Am3 o 1 若另一端用轻绳拉住 使木板呈水平状态 绳和木板的夹角 轻绳能承B 0 30 受的最大拉力 如果一个重为的人在该木板上行走 求活动范围为多少 N200NW600 2 若其它条件都不变 端用轻杆拉住 且轻杆承受的最大拉力也为 求BN200 人的活动范围是多少 解析 从向行走 人对地板的压力和板自身的重力产生的力矩OB 与绳拉力产生的力矩相平衡 设人距端为 Ax 代入数据解得 0 30sin 2 OBTWOA AB G MX mx5 0 向运动 在之间 临界状态是绳中张力为零 即 AOA mxOA AB GWx1 2 22 解得 人的活动范围点右侧 左侧Om5 0m1 换成细杆 人向点运动和绳相同 向左侧运动有别与绳模型 因为杆可提供斜向下B 的压力 从而使人的活动范围增加 mxOBTOA AB GW mx 5 230sin 2 3 0 3 解得 人的活动范围点右侧 左侧Om5 0m5 2 二 绳 杆模型在曲线运动中的应用 二 绳 杆模型在曲线运动中的应用 受思维定势的影响 解决力和运动问题时 往往是已知受力情况解决运动状态 但杆 模型的自身的特点 决定由运动状态判断物体的受力情况 从而判断出弹力的方向 例 3 如图 4 所示 杆和相结于处 夹角为 竖直放置 杆的ABACA 0 30ABAC 端连接一个质量为的小球 点到球心的距离 现以CKg1AmL8 0 为轴匀速转动 求 杆受到的弹力 ABs rad 5 AC 解析 球以为圆心 为半径做匀速圆周运动 弹力 TCO sinLr 是否沿杆取决于运动状态 NrmFF n 10 2 合 竖直方向上弹力的分力与相平衡 则 转化为已TmgN210 2 2 合 FmgT 知合力和一分力求另一分力的问题 与竖直方向的夹角 张力不再沿轻 n mamgT 4 3 杆 引申 1 求为何值时 弹力沿此杆 2 换用细绳 夹角为时为多大 0 45 此问题的关键是 转动半径由杆长和杆与轴之间的夹角确定 弹力随运动状态而发生 变化 绳模型的运动平面和半径及其与轴之间的夹角由运动状态而决定 原型启发是 如图 5 所示 小车上固定一个弯成角的轻杆 杆的另 一端固定一个质量为的小球 试分析下列状态下杆上的弹力 m 1 小车静止或向右匀速直线运动 2 小车以加速度水平向右运动 a 解析 球处与平衡态 则 弹力与竖直方向的夹角为 mgT 则 g a mg F tgagmmamgTmaF 合 合 2222 即弹力随加速度的变化而发生改变 绳模型在匀速圆周运动中的应用 绳模型在匀速圆周运动中的应用 根据实际物理场景 分为约束与非约束两类问题 思路 根据运动状态确定受力情况 技巧 首先三个确定 确定轨道平面 圆心 圆周半径 其次分析向心力的来源 解决问题的关键 确定临界状态 分析临界条件 以此作为分界点加以讨论 并研究 已知状态所处的运动范围 从而分析受力情况 典型的问题就是圆锥摆 即 受到约束 受到 3 个力 0 vv TmgN 处于临界状态 受到 2 个力 0 vv mgT 飘离圆锥体 受到 在新的运动状态下与轴向的夹角发生改变 0 vv mgT 例 5 长为的绳子 下端连接质量为的小球 上端悬于天花Lm 板上 当把绳子拉直时 绳子与轴向的夹角成 此时小球静 0 60 止于光滑的水平桌面上 当小球以下列情况下做圆锥摆运动时 求绳 子上的弹力和对桌面的压力 TN 1 做圆锥摆运动 2 做圆锥摆运动 l g l g4 解析 初始处于平衡状态 地面对物体竖直向上的作用力 当球以为圆心 mgN 1 o 以为半径在光滑地板上做圆周运动时 受作用 设角速度为时地 sinLr NTmg 0 面对球的弹力 则 0 N l g rmT mgT 2 sin cos 0 2 0 解得 4 1 受力如图所示 解得 0 4 l g rmFT mgNT n 2 sin cos mgT mg N 4 3 2 球将飘离桌面做匀速圆周运动 设与轴线的夹角为 受力 0 4 l g 如图所示 区别于杆模型是半径不变 解得 mgTrmFT mgT n 4sin cos 2 引申练习 1 长为的轻绳 两端分别固定于一根竖直棒上 相l 2 距为 的两点 一个质量为的光滑小圆环套在绳子上 当竖直棒lABm 以一定的角速度转动时 圆环以为圆心在水平面内做匀速圆周运动 B 求此绳上的弹力 解析 设半径为 r 则 解得 0222 37 4 3 2 l rlrrl 解得 2sin 1cos 2r mTTF mgT n l gmg T 3 8 4 5 此题的关键是圆环与绳光滑相套连接 随运动状态的不同 而使运动的平面 圆心 半径而发生变化 如图所示的场景是特定条件下的临界情况 2 两绳系一个的小球 两绳另两端分别固定于轴上两处 上面绳长kgm1 0 AB 两绳都拉直时与轴之间的夹角分别是问球的角速度在ml2 45 30 00 什么范围内两绳始终张紧 当角速度为时 上下两绳的拉力分s rad 3 别为多少 解析 半径不变时 临界条件是刚好拉直 张力为零 BC 上的张力的分力提供向心力 最小 刚好拉直 张力为零 AC AC 上的张力的分力提供向心力 最大 BC 绳 杆模型在非匀速圆周运动中的应用 绳 杆模型在非匀速圆周运动中的应用 运动学特征 的大小随位置而发生改变 包括两部分 合不再指向圆心 va aan和 合 a 动力学特征 包括两部分 合外力不再指向圆心 弹力不做功 整个过 合 F F n和 F 程遵循机械能守恒定律 依据运动情况分为临界极值和突变两类问题 临界极值问题 临界极值问题 物体在竖直平面内做变速圆周运动 中学物理仅研究通过最高点和最低点的两类情况 A 没有物体支撑的圆周运动 有绳模型和沿光滑内轨道运动的两类场景 本质上都 是自身的重力和指向圆心的弹力之和提供向心力 如图 9 所示 临界条件 解得 称为维持圆周运动的临界速度 R mv mgFn 2 0 Rgv 0 5 讨论 绳和光滑轨道内侧提供指向圆心 沿径向里的弹 R mv mgTFvv n 2 0 力 R mv mgFvv n 2 0 0 弹力为零 无法到达最高处 未到之前就开始做斜上抛运动 0 vv B 有物体支撑的非匀速圆周运动 典型问题是 杆和沿光滑弯管内部运动的模型 如图 10 所示 由于硬杆和弯管内壁的支撑 最高处的临界速度可以为 处于亚稳0 平衡 受到空气的扰动 便会偏离平衡位置 由于机械能守恒 仍能做完整的圆周运动 球在的条件下仍能到达最高点的原因是发生了扭转形变 弹性势能向球的动能转化 0 vv 讨论 NmgFv n 00 mgN R mv NmgFvv n 00 2 0 0F 2 0 0 N R mv mgvv n 沿径向向里 挤压外壁或拉伸细杆 R mv TmgFvv n 2 0 T 例 6 把一内壁光滑的细钢管弯成圆弧形状 竖直放置 一个小球从管口的正上 4 3 方处自由下落 小球恰好到达弯管的管口 处 若小球从处自由下落 则它能从管口 1 hc 2 h 的运动到 又飞回管口 求 ACA 2 1 h h 解析 在整个过程中机械能守恒 取过管口和圆心的平面为AO 零势能面 由于小球恰能到达处 速度刚好为 C0 小球从到过程中 做平抛运动 RhmgRmgh 11 则 CA 2 2 0 gt RytvRsx 机械能守恒5 4 2 1 21 2 2 hhmgRmvmgh c 解得 例 7 如图 12 所示 水平光滑绝缘轨道与半径为的光滑绝缘轨道平滑连ABRBCD 接 匀强电场的场强为 方向水平向左 一个质量为的带电滑块所受的电场力等与重Em 力 在点由静止释放 它能沿圆轨道运动到与圆心等高的A 点 D 6 求至少多长方能满足条件 AB 分析 原型启发 绳模型 关键 等效重力场中的最高点 隐含条件 最短 意味着带点体到达等效最高点时 对轨道的压力恰好为 向ABo 心力由等效重力来提供 解 在轨道圆心处做与的合力 对角线的反向延长线与轨道相交于处 则mgqEP 点为等效重力场的最高点 由题意分析可得 P 1 2 22 R mv qEmgF p n qEmg 2 由动能定理可得 22 2 mg mvp 4 0 2 sin1 sin 2 p AB mv mgRqERqEs 联立解得 RsAB 231 min 突变问题 在某一瞬间 物体由一种状态变化到另一种状态 从而引起运动和受力在短时间内发 生急剧的变化 物理学上称之为突变问题 在突变过程中往往伴随着能量的转移或损耗 绳模型在沿径向张紧瞬间 将其方向上的能量损耗掉 杆模型往往将其能量发生转移 例 8 轻杆长为 L 一端用光滑轴固定 另一端系一个可视为质点 质量为的小om 球 把小球拉至图 13 所示的位置 无初速度地自由释放到最低处的过程中 小球做什B 么运动 到最低处时速度多大 弹力多少 若其它条件不变 把轻杆换为细绳 则释放后 小球做什么运动 到最低处时速度多大 弹力为多少 解析 杆与球相连 做非匀速圆周运动 其轨迹为圆的一 部分 只有重力做功 故而机械能守恒 选取最低处为零势能 面 则 2 l mv mgT mv mgl 2 1 2 1 1 2 sin1 sin23 sin1 2 mgmgmgT 即只有重力势能向动能的转化 无能量损耗 绳连接时 球由到做自由落体运动 设处的速度为ACC 且方向竖直向下 选取点为零能面 关于水平线 c vCCA 对称 3 所以在处 按图示的方向分解 在绳猛然拉紧的瞬间 2 sin2 2 c mv mgl C c v 将径向的动能损耗掉 由到的过程中 只有重力做功 机械能守恒 选取点为 2 2 2 mv CBB 零能面则 3 cos 2 2 1 sin1 2 1 1 22 1 cB vvmvmgLmv 7 解得 则mgT l mv mgT gl v B B 5 3 2 5 2 解得 处是绳子张紧的突变点 C 练习 1 如图 14 所示 长为 2 米不可伸长的轻绳 一端 系于固定点 另一端系一个质量为的小球 将小球ogm100 从点正下方处水平向右抛