第九章-重积分

1 第九章重积分 一 基础题 1 设其中 又 1 22 3 1 D Ixyd 1 11 22 Dx yxy 其中试利用二重积分的几何意义说 2 22 3 2 D Ixyd 2 01 02 Dx yxy 明与之间的关系 1 I 2 I 解 由二重积分的几何意义知 表示底为 顶为曲面的曲顶柱体 1 I 1 D 22 3 zxy 的体积 表示底为 顶为曲面的曲顶柱体的体积 图 9 1 由 1 2 I 2 D 22 3 zxy 2 于位于上方的曲面关于面和面均对称 故面和面将 1 D 22 3 zxy yOzzOxyOzzOx 分成四个等积的部分 其中位于第一卦限的部分既为 由此可知 1 2 12 4II 2 设积分区域 D 由圆所围成 22 2 1 1xy 且 k k D Ixydxdy 1 2 3 k 试讨论 的大小关系 1 I 2 I 3 I 图图 9 1 解 因为当时 因此 x yD 13x 05y 故有 由15xy 23 1 xyxyxy 二重积分的保号性便得 1 I 2 I 3 I 利用二重积分的性质估计下列积分的值 1 其中 D Ixy xy d 01 01Dx yxy 2 其中 22 49 D Ixyd 22 4 Dx yxy 解 1 在积分区域上 从而 又的面积D01 01xy 0 2xy xy D 等于 1 因此 0 2 D xy xy d 因为在积分区域上有 所以有D 22 4xy 又的面积等于 因此 2222 9494 925xyxy D4 22 36 49 100 D xyd 证明不等式 22 1 cossin 2 D yxd 其中 D01 x 01y 证 由对称性知 22 coscos DD y dx d 于是 22 cossin D yxd 22 cossin D xxd 2 2sin 4 D xd 由于 所以 因此01 x 2 2 sin 1 24 x 2 22 1 cossin 2 D yxd 改换下列积分的次序 1 2 2 22 0 y y dyf x y dx 2 2 11 01 y y dyf x y dx 解 所给二次积分等于二重积分 D f x y d 1 其中 可改写为 2 2 02Dx y yxyy D 因此 04 2 x x yxyx 2 22 0 y y dyf x y dx 4 0 2 x x dxf x y dy 2 由于 22 11 01Dx yyxyy 又可表示为 D 2 01 11x yyxx 因此 原式 2 11 10 x dxf x y dy 用直角坐标求下列二重积分 1 其中 22 D xy d 1 1 Dx yxy 2 其中是有两坐标轴及直线所围成的闭区域 32 D xy d D2xy 3 其中 323 3 D xx yy d 01 01 Dx yxy 4 其中是顶点分别为 0 0 0 和 的三角形cos D xxy d D 闭区域 解 1 11 2222 11 D xy ddxxy dy 3 11 212 1 11 28 2 333 y x ydxxdx 2 可用不等式表示为 D02yx 02x 于是 22 00 32 32 x D xy ddxxy dy 21 2 22 0 01 20 3 422 3 x xyydxxx dx 3 323 3 D xx yy d 11 323 00 3 dyxx yy dx 4 11 3313 0 00 1 1 44 x x yy x dyyy dy 4 可用不等式表示为 D0 0yxx 于是 00 cos cos D xxy dxdxxy dy 0 1 coscos2 2 xdxx 0 0 11 coscos2 coscos2 22 xxxx dx 13 1 0 22 3 7 证明 00 ay m a x dyef x dx 0 a m a x ax ef x dx 证 左边 00 ay m a x dxef x dy 0 a x a m a x ef xydx 0 a m a x ax ef x dx 右边 已知 D 是由圆周所围成的闭区域 用极坐标计算积分 22 4xy 22 xy D ed 解 在极坐标系中 积分区域 02 02 D 于是 22 xy D ed 2 24 0 2 1 2 e e A 化二重积分为二次积分 其中积分区域 D 是 D If x y d 1 由直线及抛物线所围成的区域 yx 2 4yx 2 由直线 及双曲线所围成的闭区域 yx 2x 1 y x 解 1 直线及抛物线的交点为和 于是yx 2 4yx 0 0 4 4 D If x y d 44 0 x x dxf x y dy 或 2 4 0 4 y y Idyf x y dx 2 三条边界两两相交 先求得 3 个交点为 1 1 2 2 2 于是 1 2 2 1 1 x x Idxf x y dy 或 1222 11 1 2 y y Idyf x y dxdyf x y dx 1 利用极坐标计算下列各题 1 其中 D 是由圆周及坐标轴所围成的在第一象限 22 ln 1 D xy d 22 1xy 内的闭区域 2 其中 D 是由圆周 及直线 arctan D yd x 22 4xy 22 1xy 0y 所围成的在第一象限内的闭区域 yx 解 1 在极坐标系中 积分区域 01 0 2 D 于是 22 ln 1 D xy d 1 22 2 00 ln 1 ln 1 D d ddd 1 22 0 1 ln 1 1 22 d 221 0 1 ln 1 2 2ln2 1 44 d 2 在极坐标系中 积分区域 12 0 4 D arctan y x 于是 arctan D yd x 2 4 01 D d ddd 设平面薄片所占的闭区域 D 由螺线上一段2 4 弧与直线所围成 它的面密度为 求这薄片的质量 0 2 2 22 x yxy 解 薄片的质量为它的面密度在薄片所占的闭区域 D 上的二重积分 图 9 2 即 图图 9 2 22 DD Mx y dxy d 2 23 2 00 D d ddd A 3 4 2 0 4 40 d 求由抛物线及直线所围成的薄片 面密度为常数 对于直线 2 yx 1y 的转动惯量 1y 解 设所求的转动惯量为 则I 2 1 D Iydxdy 2 11 2 1 1 x dxydx 1 2 1 3 1 1 1 3 x ydx 3571 1 131 7 357 xxxx 1368 335 368 105 积分区域是由双曲抛物线面及平面所围成的闭区 xyz 10 0 xyz 域 化三重积分为三次积分 D If x y z dxdydz 解 的顶和底面的交线为轴和轴 故在面上的投影区域由 zxy 0z xy xOy 轴和轴和直线所围成 于是可用不等式表示为 xy10 xy 0 zxy 因此 01 yx 01 x 11 000 xxy Idxdyf x y z dz 利用三重积分计算由曲面及所围成的立体的体 22 6zxy 22 zxy 积 解 用直角坐标计算 由和消去 解得 22 6zxy 22 zxy z 22 2xy 即在面上的投影区域为 于是 xOy xy D 22 4xy 222222 6 4 x y zxyzxyxy 因此 22 22 6 xy xy xy D Vdvdxdydz 用极坐标 2222 6 xy D xyxy dxdy 22 2 00 6 drr rdr 43 32 0 32 2 3 433 rr r 计算其中是由锥面与平面 所围成的闭 D zdxdydz 22 h zxy R zh 0R 区域 解法一 由与消去 得 22 h zxy R zh z 222 xyR 故在面上的投影区域 xoy 222 xy Dx yxyR 5 于是 22 xy h x y zxyzh x yD R D zdxdydz 22 xy h h xy R D dxdyzdz 222 1 2 xy D h hxydxdy R 2 222 2 1 2 xyxy DD h hdxdyxy dxdy R 图图 9 3 22 2 2322 2 00 1 242 R hh RddR h R 解法二 用球面坐标进行计算 在球面坐标系中 圆锥面的方程为 22 h zxy R 平面的方程为 因此可表示为arctan R h zh secrh 于是02 0 0secrh D zdxdydz 2 cossinrrdrd d 2sec 3 000 cossin h ddr dr 4 3 0 sin 2 4cos h d 代入 4 3 0 cos 4cos hd 4 2 1 1 4cos h arctan R h 422 22 2 1 1 44 hRh R h h 求三重积分 其中是由曲面与平面 和 23 xy z dxdydz zxy yx 1x 所围成的闭区域0z 解 如图 9 4 可用不等式表示为 0zxy 0yx 01x 因此 23 xy z dxdydz 1 23 000 xxy xdxy dyz dz 11 4612 000 111 428364 x xdxx y dyx dx 求由平面以及抛物面和柱面xoy 22 zxy 图图 9 4 22 4xy 所围成的区域的体积 解 2 2 2 000 4Vdddz 8 二 提高题 单项选择题 1 积分的值是 2 22 22 00 aax x dxxydy A B C D 4 1 4 a 4 a 4 5 4 a 4 3 4 a 2 设 则 1 D1xy 0 x y 2 D1xy k xy k D Iedxdy 1 2 3 k 6 A B 2 1 I 2 I 1 I 2 I C 2 D 4 1 I 2 I 1 I 2 I 3 设 则二重积分的值为 1 D34x 02y 2 D dxdy xy A B C D 10 ln 9 16 ln 9 5 ln 4 25 ln 16 4 由及直线所围成的均匀薄片 密度 对直线 的转动惯 2 yx 1y l1y 量为 2 1 D ydxdy 2 1 D ydxdy 2 1 D xdxdy 2 1 D xdxdy 5 设是锥体 介于和之间的部分 则三重积分 22 zxy 0 z 1z 2z 化为三次积分为 222 D f xyz dv 22 22 10 z a dzdf rz rdr 22 22 4 001 sinddf r rdr 221 22 010 drdrf rz dz 22 22 2 01 4 sinddf r rdr 解 C 积分区域 在极坐标系中 02 cos 0 2 Da 原式 2 2 cos 22 cos 22 0 000 4 a a ddd 4444 2 0 313 4cos4 4224 adaa 2 D 因为被积函数 为的偶函数 而正好是的 xy f x ye x y 1 D 2 D 1 4 3 A 2 D dxdy xy 42 2 30 dy dx xy 4 3 11 2 dx xx 4 3 ln 2 x x 10 ln 9 4 5 先用截面法 再对二重积分利用极坐标化为累次积分 计算由四个平面所围成的柱体被平面及0 0 1 1xyxy 0z 截得的立体的体积 236xyz 解 此立体为一曲顶柱体 它的底是面上的闭区域xOy 01 01 Dx yxy 顶是曲面 图 9 5 因此所求立体的体积 623zxy 11 00 623 623 D Vxy dxdydxxy dy 7 图图 9 5 1 0 97 2 22 x dx 注 求类似与第 1 题中这样的立体体积时 并不一定要画出立体的准确图形 但一定 要会求出立体在坐标面上的投影区域 并知道立体的底和顶的方程 3 选用适当的坐标计算下列各题 1 其中 D 是由直线所围成 22 D xy d 3 0 yx yxa ya ya a 的闭区域 2 其中 D 是圆环形的闭区域 22 D xy d 2222 x yaxyb 解 1 选用直角坐标 根据 D 的边界曲线的情况 采用先对后对的积分次序 xy 于是 3 2222 ay ay a D xy ddyxy dx 3 3 224 2 14 3 a a a aya ydya 2 选用极坐标计算 02 Dab 2 222 0 b a DD xy dd ddd A 3333 12 2 33 baba 4 求由平面以及球心在原点 半径为 R 的上半球面所围成0 0 0yykx kz 的在第一卦限内的立体的体积 解 如图 9 6 22222 DD VRxy dRd d 222222 000 1 2 aRR dRdaRd R A 33 arctan 33 aRR k 设面密度为 1 的薄片所占区域为 D 求 22 22 1 xy ab 它绕轴的转动惯量 y 图图 9 6 解 令 y I 2 D x dxdy 22 2 00 4 b aax a x dxdy 222 0 4 a b xax dx a sinxa 422 2 0 4 sincos b ad a 3 1 4 a b 设有一等腰直角三角形薄片 腰长为 各点处面密度等于该点到直角顶点的距离的a 平方 求这薄片的质心 解 面密度 由对称性 22 x yxy xy 22 22 DD DD x dx xyd dxyd 22 00 22 00 aa x aa x dxx xy dy dxxy dy 5 4 1 15 1 6 a a 2 5 8 所求质心为 xy 2 5 a 2 5 a 2 5 a 计算三重积分 其中为球面及三个坐标面所围成xyzdxdydz 222 1xyz 的在第一卦限内的闭区域 解 利用直角坐标计算 由于 222 01 01 01 x y zzxyyxx 故 222 111 000 xxy xyzdxdydzxdxydyzdz 2 22 11 00 1 2 x xy xdxydy A 2 1 24 1 2 0 0 1 1 224 x yy xxdx 1 22 0 11 1 848 xxdx 利用柱面坐标计算下列三重积分 1 其中是由曲面及所围成的闭区域 zdv 22 2zxy 22 zxy 2 利用柱面坐标计算下列三重积分 其中是由曲面及 22 xydv 22 2xyz 平面所围成的闭区域 2z 解 1 由和消去 得 22 2zxy 22 zxy z 即 从而知在面上的投影区域为 22222 2 xyxy 22 1xy xOy 图 9 7 利用柱面坐标 可表示为 22 1 xy Dx yxy 22 2 01 02 z 于是 zdv 2 2 212 00 z d d dzddzdz 21 24 00 1 2 2 dd 46 21 0 17 2 24612 A 2 由及消去得 从而知 22 2xyz 2z z 22 4xy 图图 9 7 在面上的投影区域为 利用柱xOy 22 4 xy Dx yxy 面坐标 可表示为 2 2 02 02 2 z 于是 2 222 2223 00 2 xydvd d dzdddz A 246 22 32 0 00 16 2 2 22123 dd 选用适当的坐标计算下列三重积分 9 1 其中是由球面所围成的闭区域 222 xyz dv 222 xyzz 2 其中是由曲面及平面所围成的闭区 22 xydv 222 425 zxy 5z 域 解 1 在球面坐标系中 球面的方程为 即 222 xyzz 2 cosrr cosr 可表示为 图 9 8 2 0cos 0 02 2 r 于是 2222 sinxyz dvr rdrd d A 2cos 3 2 000 sinddr dr 4 2 0 cos 2sin 4 d 5 2 0 cos 2510 图图 9 8 图图 9 9 2 利用柱面坐标进行计算 可表示为 图 9 9 于是 5 5 02 02 2 z 222 xydvd d dz A 225 3 5 00 2 dddz 22 345 2 0 00 551 5 2 8 242 dd 利用三重积分计算由曲面及所围成的立体的体积 22 zxy 22 zxy 解 用柱面坐标计算 曲面和的柱面坐标方程分别为和 22 zxy 22 zxy z 消去 得 故它们所围的立体在面上的投影区域为 图 9 10 2 z z1 xOy1 因此 2 01 02 zz 于是 2 21 00 Vdvd d dzdddz 10 图图 9 10 1 2 0 2 6 d 求球面含在圆柱面内部的那部分面积 2222 xyza 22 xyax 解 如图 9 11 半球面的方程为 222 zaxy 222 zx x axy 222 zy y axy 22 222 1 zza xy axy 由曲面的对称性得所求面积为 22 222 41 4 DD zza Adxdydxdy xy axy 图图 9 11 cos 2 222200 1 44 a D ad dadd aa 22 2 0 4 1 sin 2 2 ada 利用三重积分计算由曲面及直线所围立体的质心 设密度 222 zxy 1z 1 解 曲面所围立体为圆锥体 其顶点在原点 并关于轴对称 又由于它是匀质的 因此它z 的质心位于轴上 既有 立体的体积为 z0 xy 1 3 V 22 22 1 1 11 xy xy zzdvdxdyzdz VV 22 22 1 11 1 2 xy xydxdy V 21 2 00 11 1 2 dd V 24 1 0 313 2 2224 AA 故所求质心为 3 0 0 4 13 在上连续 证明 f x g x a b 2 b a f x g x dx 22 bb aa fx dxgx dx 注意 有三个基本积分公式在这个证明和其它二重积分中常用到 它们是 bb aa f x dxf y dy 2 b a f x dx b a f y dy b a f x dx D f x f y d 11 其中 D axb aby 若 D 关于对称 则 yx D f x y d D f y x d 证 22 bb aa fx dxgx dx 22 bb aa fx dxgy dy 22 D fx gy d 其中 D axb aby 又 2 b a f x g x dx b a f x g x dx b a f y g y dy D f x g x f y g y d 将两式相减 得 22 bb aa fx dxgx dx 2 b a f x g x dx 22 DD fx gy df x g x f y g y d 2 1 2 22 D fx gy d 22 D fy gx d D f x g x f y g y d 1 2 D f x g yf y g x d 0 所以 2 b a f x g x dx 22 bb aa fx dxgx dx 14 已知在上连续 证明 f x 0 a 0 2 aa x f x dxf y dy 2 0 a f x dx 证 2 0 a f x dx 0 a f x dx 0 a f x dx 00 aa f x dxf y dy D f x f y dxdy 其中 D D 关于对称 被分为两个区域 而0 x 0aya yx yx 12 D D 有 由对称性 f x yf x f y f x yf y x 12 DD f x y dxdyf x y dxdy 即 D f x f y dxdy 12 DD f x f y dxdyf x f y dxdy 2 1 D f x f y dxdy 0 2 aa x dxf y dy 故 2 0 a f x dx 0 2 aa x f x dxf y dy 15 设在上连续 试利用二重积分 f x a b 2 D f xf ydxdy 证明 D axb 0yb 2 2 bb aa f x dxbafx dx 证 在连续 则 在上也连续 故积分 f x a b f x f y a b 存在且非负 2 D f xf ydxdy 12 即 0 2 D f xf ydxdy 22 2 DDD fx dxdyf x f y dxdyfy dxdy 由于积分区域 D 关于对称 yx 2 D fx dxdy 2 D fy dxdy 又 D f x f y dxdy bb aa dxf x f y dy bb aa f x dxf y dy 2 b a f x dx 于是 2 2 D fx dxdy 2 2 b a f x dx 0 即 2 D fy dxdy 2 b a f x dx 即 2 bb aa dxfx dy 2 b a f x dx 故 2 2 bb aa bafx dxf x dx 三 考研题 1 91 3 分 设 D 是平面上以 1 1 1 1 和 1 1 为顶点的 三角形 是它的第一象限部分 则等于 1 D cos sin D xyxy dxdy A 2 B 2 1 cos sin D xydxdy 1 D xydxdy C 4 D 0 1 cos D xyxsiny dxdy 解 A 图图 9 12 分析 看起来 这是一道考查被积函数的奇偶性与积分区域的对称性在计算二重积分中的 应用的题目 D 关于 x y 轴不对称 但添加辅助线可变成分块有对称性的情形 见图 9 11 连 BO 把 D 分成 即三角形 AOB 即三角形 COB 12 DD 1 D 2 D 因为关于 y 轴对称 被积函数 xy 对 x 为奇函数 关 2 1 0 DD D xydxydxyd 1 D 2 D 于 x 轴对称 xy 对 y 为奇函数 类似地 2 cos sin D xyd 1 cos sin D xyd 2 cos sin D xyd 1 cos sin D xyd 故选 A 2 00 3 分 设 S z0 是 S 在第一卦限中的部分 则有 2222 xyza 1 S A B 1 4 SS xdSxdS 1 4 SS ydSxdS C D 1 4 SS zdSxdS 1 4 SS xyzdSxyzdS 解 C 设在分块光滑曲面 S 上连续 S 关于平面对称 则 f x y zyz 0 若关于 x 为奇函数 S f x y z dS f x y z 若关于 x 为偶函数 S f x y z dS 1 2 S f x y z dS f x y z 13 其中 其它对称情形有类似结论 1 0SSx 本题中 S 在平面上方 关于平面与平面对称 而 对均为偶函数 所以yzzx f x y zz x y 再利用变量的轮换性 S zdS 0 2 Sx zdS 1 4 S zdS 因此选 C 1 S zdS 1 S ydS 1 S xdS 3 92 3 分 交换积分次序 2 12 0 y y dyf x y dx 解 22 12 001 xx dxf x y dyf x y dy 积分区域 D 由 所围成 因此0y 1y xy 2 2xy 2 12 0 y y dyf x y dx 22 122 0011 xx dxf x y dydxf x y dy 4 90 3 分 积分的值等于 222 0 y x dxedy 解 积分区域由 所围成 交换积分次序 4 1 1 2 e 0 x 2x yx 2y 222 0 y x dxedy 22 00 y y dyedx 2 0 2 0 y y exdy 22 0 y eydy 22 0 1 2 y e 4 1 1 2 e 5 94 3 分 设 D 为圆域 则 222 xyR 22 22 D xy dxdy ab 解 4 22 11 4 R ab 解法一 用极坐标变换来计算 原式 2222 22 23 2222 0000 cossincossin RR drrdrdr dr abab 由于 22 22 00 cossindd 则 原式 4 22 111 4 R ab 4 22 11 4 R ab 解法二 由于积分区域关于对称 yx 有 对称轮换性 于是 D f x y d D f y x d 22 22 D xy dxdy ab 2222 2222 1 2 D xyxy d abab 22 22 111 2 D xy d ab 2 2 22 00 111 2 R drrdr ab 4 22 11 4 R ab 6 05 11 分 设 表示不超过 22 2 0 0Dx yxyxy 22 1xy 的最大整数 计算二重积分 22 1xy 22 1 D xyxydxdy 分析 因被积函数分块表示 要用分块积分法 14 在 D 上 xy 22 22 22 1 0 0 1 2 12 0 0 xy xyxy xy xyxyxy 将 D 分成两块 其中 12 DDD 于是 22 1 1 0 0 Dxyxy 22 2 1 2 0 0Dxyxy 解 12 2 DD Ixydxdyxydxdy 作极坐标变换 有 1 0 01 2 Dr 1 4 2 0 12 2 Dr I 1 2 2 00 cossindrrdr 1 4 2 2 2 00 2sdrin con rdr 1 2 4 22 001 224 111 sinsin 244 r 1 8 1 4 3 8 7 89 5 分 计算三重积分 其中是由曲面与 xz dV 22 zxy 所围成的区域 22 1zxy 解 关于平面 yz 对称 x 对 x 为奇函数 0 xdV I xy dV xdV 是由球心在原点半径为本的上半球面与 顶点在原点 对称轴为 z 轴 半顶角为的锥面所 4 围成 图 9 13 故可选用球坐标变换 则 图图 9 13 02 0 4 1o I 2 cossin d d d 1 2 3 4 00 0 sdconin dd 8 8 91 5 分 求 其中是由曲线绕 z 轴旋转一周而成 22 xyz dV 2 0 2 x yz 的曲面与平面 z 4 围成的立体 解 由曲线绕 z 轴旋转一周而成的旋转面方程是 2 0 2 x yz 22 2xyz 于是 是由旋转抛物面与平面 z 4 所围成 曲面与平面的交线是 22 1 2 zxy z 4 如图 9 14 22 8xy 令 z z 于是cosxr sinyr 02 r zD D 04z 02rz 因此 I 242 2 000 z ddzrz rdr 15 2 0 42 4 0 2 42 rz r rr z dz 图图 9 14 4 2 0 4z dz 256 3 9 97 5 分 计算 I 其中为平面曲线 绕 z 轴旋转一周 22 xydV 2 0 2 x yz 而成的曲面与平面 z 8 围成的区域 解 由曲线绕 z 轴旋转一周而成的旋转面方程是 它与平面 8 围 2 0 2 x yz 22 2xyz 成 这两曲面的交线是 z 8 222 4xy 选用柱坐标变换 由于被积函数与 z 无关 可选取先积 z 的积分顺序 则 2 1 8 2 rz 04r 02 2 2484 232 000 2 1 2 8 2 r Iddrr rdzrrdr 4 46 0 81 14 2 2256 2 42 63 rr 1024 3 四 测试题 1 单项选择题 1 I D 所围 则 D xydxdy 2 yx 2yx A I B I 2 4 02 y y dxxydy 14 012 xx xx dxxydydxxydy C I D I 2 22 1 y y dyxydx 2 22 1 y y dxxydy 2 设 D 由和围成 则积分 yx 2 yx D xyd A 23 B 12 C D 6 55 35 2 3 已知 其中 则 1 D Ixyd 01 02 Dx yxy A B 2 1 8 D xyd 3 1 8 D xyd C D 3 1 5 D xyd 2 1 5 D xyd 4 积分与的大小关系是 其中ln D xy d 2 ln D xyd 35 01 Dx yxy A B 2 ln ln DD xydxy d 2 DD In xydIn xy d C 2 D In xyd D In xy d 2 D In xyd D In xy d 5 由曲面及所截下部分的面积等于 22 axyz 22 xyz 16 A B D D 3 5 6 a 3 1 6 a 3 2 3 a 3 1 2 a 2 填空题 1 交换累次积分的次序 14 012 xx xx dxf x y dydxf x y dy 2 椭球被平面 分成两部分 其中小部分的体积可用二重 222 222 1 xyz abc zh hc 积分表示为 3 化积分 I 为极坐标下的累次积分 2 12 0 y y y Idyf x y dx 4 球面包含在柱面内的面积可用二重积分表示为 222 2xyz 2 2 1 2 x y 5 的值为 11 22 0 1 y y Idydx xy 6 其中为曲面和平面 22 xydxdydz 22 2xyz 所围成的区域 2z 7 曲面被柱面所围部分的面积为 22 zxy 22 1xy 8 试用二重积分表示由曲面及所围成的立体的表面积 222 3zaxy 22 2xyaz S 等于 3 计算 其中 D 为中心在原点 半径为的圆所围成 22 2 0 1 limcos xy r D exy dxdy r r 的区域 4 计算 其中是由平面以及抛物柱面所围xyzdxdydz 0 1zzy y 2 yx 成的闭区域 5 已知 D 是由曲线 所围成的第一卦限的闭区域 4xy 8xy 3 5xy 3 15xy 求 D 的面积 6 求底圆半径相等的两个直角圆柱面及所围立体的表面积 222 xyR 222 xzR 7 计算 其中为平面 所围成的四 3 1 dxdydz xyz 0 x 0y 0z 1xyz 面体 8 设 为上具有相同增减性的连续函数 证明 f x g x 0 1 1 0 f x g x dx 11 00 f x dxg x dx 9 证明 曲面上任一点处的切平面与曲面所围成立体的体 22 4zxy 22 zxy 积为定值 四 测试题答案 1 选择题 1 C 2 C 3 A 4 B 5 B 2 填空题 1 2 22 1 y y dyf x y dx 17 2 其中 D 22 22 1 D xy ch dxdy ab 22 2 22 1 xyh abc 3 I 2sin 4 00 cos sin df rrrdr 31 4sin 0 4 cos sin df rrrdr 4 2 2 22 1 2 1 2 2 2 x y dxdy xy 5 13 ln2arctan2 222 6 1