浅谈伯努利方程的几种解法与应用

本科毕业论文本科毕业论文 题目 浅谈伯努利方程的几种解法与应用 学院 数学与计算机科学学院 班级 数学与应用数学 2011 级专升本班 姓名 张丽传 指导教师 王 通 职称 副教授 完成日期 2013 年 5 月 25 日 浅谈伯努利方程的几种解法与应用 摘要 本文在研究已经公认的多种伯努利方程解法的前提下 把这些方法进行整合 首先 将各种解法进行分析归类 并总结出几种常见的求解伯努利方程的方法 其次 比较各种解法的优缺点 再次 利用一题多解来巩固文中所介绍的各种解法 最后 略 谈伯努利方程在求解里卡蒂方程中的重要应用 关键词 伯努利方程 变量代换法 常数变易法 积分因子法 目 录 引言 1 1 伯努利方程的解法 1 1 1 代换法 1 1 1 1 变量代换法 常数变易法的混合运用 1 1 1 2 函数代换法 2 1 1 3 求导法 3 1 1 4 恰当导数法 3 1 2 直接常数变易法 4 1 2 1 对的通解中 的常数进行常数变易 40 yxP dx dy c 1 2 2 对通解中的常数 进行常数变易 4 n yxQ dx dy c 1 3 积分因子法 5 1 4 各种方法的比较 6 1 5 解法举例 6 2 伯努利方程在里卡蒂方程中的应用 10 3 总结 11 参考文献 12 1 引言 在高等数学数学分析科学体系中 微分方程是其中非常重要的一个组成部分 而 伯努利方程又是一类很重要的一阶非线性常微分方程 在很多学科中都有广泛的应用 尤其是在物理和化工方面应用非常广 伯努利方程的表达式 n yxQyxPy 这里 是关于的连续函数 为不等于 0 和 1 的任意常数 一般地 该方 xP xQnn 程可以通过一些特殊的方法转化为线性微分方程 进而用解线性微分方程的方法来求 解 许多学者在探求伯努利方程解法这方面做出了卓著的贡献 本文在充分分析这些 贡献的基础上 根据各种解法的特点 将它们进行了归类总结 有利于我们对各种解法 进行深刻的理解和认识 在数学学习过程中 一题多解不仅能帮助学生很好地掌握所 学知识 而且还能扩散学生的思维 进而培养学生的创新精神 提高创新能力 这正符 合新课标对学生的要求 为了更进一步地掌握各种解法 在本文中我采用了一题多解 上下对比 一目了然 同时 探讨了伯努利方程在求解里卡蒂方程中的应用 本文主要 有两大板块构成 具体如下 首先 是伯努利方程的解法及举例 主要浅谈了伯努利方 程的变量代换法 常数变易法 积分因子法三种方法 其次 是伯努利方程的应用 主 要浅谈了伯努利方程在里卡蒂方程求解中的应用 1 伯努利方程的解法 1 1 代换法 1 1 1 变量代换法 常数变易法的混合运用 伯努利方程 0 1 n dy P x yQ x y dx n 1 0 求解步骤如下 1 1 0 式两端同除以得 n y 1 xQyxP dx dy y nn 2 变量代换 令即可将上式化为一阶线性非齐次微分方程 n yz 1 1 1 1 1 xQnzxPn dx dz 3 常数变易 首先 通过对 1 1 式所对应的齐次方程通解中的常数进行常数变易变为 然 1 c 1 c x 后 经过一系列的求解过程求得方程 1 1 式的通解 2 先求的通解 zxPn dx dz 1 经变量分离后对方程两边一起积分求得一阶线性齐次微分方程的通解 1 1 nP x dx zc e a 再对 a 式中的进行常数变易变为 得 1 1 式的通解 将此通解代 1 c 1 c x 入 1 1 式得 1 12 1 nP x dx c xnQ x edxc 从而得 1 1 式通解 1 1 2 1 nP x dxnP x dx zenQ x edxc 4 变量代换 令 接下来将代到上式得 1 0 式的通解 2 1 c c n n yz 1 为任意常数 1 1 1 1 cdxexQeny dxxPndxxPn n c 当时 方程还有解 0 n0 y 1 1 2 函数代换法 定理 若是 1 0 式的通解且 则 1 0 式的 xgxfy dxxP exg 通解为 1 1 1 1 cdxexQeny dxxPndxxPn n 证明 对两边求导得 xgxfy xgxfxgxfy 将上式代入 1 0 式得 xgxfxQxgxfxPxgxfxgxf nn 整理得 1 2 xgxfxQxgxPxgxfxgxf nn 因为 dxxP exg 所以 0 xgxPxg 将上式代入 1 2 式得 xgxfxQxgxf nn 整理得 dxxPn n exQxfxf 1 两边积分得 3 1 1 1 cdxexQnxf dxxPn n 则 1 0 式的通解为 为任意常数 1 1 1 1 cdxexQeny dxxPndxxPn n c 当时 方程还有解 0 n0 y 1 1 3 求导法 令 则 1 xNyxMz n 1 xM xNz y n 对上式两边求导得 1 1 xNyyxMnyxMz nn 即有 1 1 1 nn yyzN xM x y n M x 代入 式得 0 1 1 1 xMxQnxNyxMxPxMnz n 令 0 1 xMxPxMn0 1 xMxQnxN 则上式变为 解得 0 z 1 zc 解得 dxxPn exM 1 dxexQnxN dxxPn 1 1 从而 1 1 1 1 1 nP x dxnP x dx n yenQ x edxc 令则 1 0 式的通解为 1 1 c c n 为任意常数 1 1 1 1 cdxexQeny dxxPndxxPn n c 当时 方程还有解 0 n0 y 1 1 4 恰当导数法 令 有 即 dxxP exv dxxP exPxv xv xv xP 则 1 0 式变形为 1 1 xv y xvxQy xv xv y n n n 11 nn xv y xvxQ xv xv y y 4 11 lnln nn xv y xvxQxvy 11 ln nn xv y xvxQ xv y 设得zxvy 11 ln nn zxvxQz 1 xvxQ z z n n 两边积分解之得 1 11 cdxxvxQnz nn 则 1 0 式的通解为 为任意常数 1 1 1 1 cdxexQeny dxxPndxxPn n c 当时 方程还有解 0 n0 y 1 2 直接常数变易法 1 2 1 对的通解中的常数进行常数变易 0 yxP dx dy 的通解为 0 dy P x y dx 1 P x dx yc e 经常数变易得 1 P x dx yc x e 令上式为 1 0 式的通解 将其代入 1 0 式得 11 P x dxn P x dx n c x ecx eQ x 即得 1 1 1 nP x dx n cx eQ x cx 两边同时积分得 1 1 1 1 nP x dx n cxnQ x edxc 则 1 0 式的通解为 为任意常数 1 1 1 1 cdxexQeny dxxPndxxPn n c 当时 方程还有解 0 n0 y 1 2 2 对通解中的常数进行常数变易 n yxQ dx dy c 该方法的独特之处是先解方程 1 3 再 n yxQ dx dy 5 经常数变易求 1 0 式的通解 基本步骤为 1 利用变量分离法解式 1 3 得 1 1 1 n ynQ x dxc 2 经常数变易后 1 0 式的通解为 1 4 1 1 1 n ynQ x dxc x 3 同时对 1 4 式两边进行求微分得 1 5 1 n dc xdy yQ x dxdx 4 将 1 4 1 5 代入 式得 1 1 1 dc x nP xQ x dxc x dx 5 仔细观察后发现上式为关于的一阶线性非齐次方程 则 1 c x 1 6 1 1 1 1 nP x dxnP x dx c xenP xQ x dx edxc 6 将 1 6 式代到 1 4 式得 1 1 1 1 1 1 cdxedxxQxPnendxxQny dxxPndxxPn n 7 由数学分析中常用的分部积分公式 vduuvudv 令 dxxQu dxxPn ev 1 则 1 0 式的通解为 1 1 1 1 cdxexQeny dxxPndxxPn n 为任意常数 c 当时 方程还有解 0 n0 y 1 3 积分因子法 对 1 0 式两端同乘以 经过一系列的整理得 n y 1 7 0 1 dyydxxQyxP nn 从而有 1 xQyxPyxM n n yyxN 则 1 1 xPn x yxN y yxM yxN 则由课本所学知 1 7 式的积分因子为 6 dxxPn exu 1 将乘以 1 7 式得 dxxPn exu 1 1 8 dxexPydyeydxexQ dxxPn n dxxPn n dxxPn 1 1 1 1 对 1 8 式右边进行凑微分得 1 1 1 1 dxxPn n dxxPn eyddxexQn 两边同时积分得 dxxPn n dxxPn eycdxexQn 1 1 1 1 1 整理得 1 1 1 1 1 cdxexQney dxxPndxxPn n 令 则 1 0 式的通解为 1 1 n c c 为任意常数 1 1 1 1 cdxexQeny dxxPndxxPn n c 当时 方程还有解 0 n0 y 1 4 各种方法的比较 由上述讲解可以看出 总的来说讲解了三种方法 1 1 1 所介绍的解法的解题思 路是 首先 将伯努利方程 一阶非线性微分方程 化为我们比较熟悉的一阶线性非 齐次方程 其次 通过一阶线性非齐次方程的求解步骤求其通解 然后再将变量回代 求伯努利方程的通解 1 2 1 介绍的解法解题思路是把伯努利方程所对应的齐次方程 的通解中的常数变成 将其代到 1 0 式 经过一系列的计算求出 再把c xc xc 带回去求出伯努利方程的通解 1 2 2 介绍的解法关键是利用分部积分法将通解 xc 简化 1 3 介绍的解法关键就是找到积分因子 将伯努利方程进行凑微分 然后再求解 在 前面七种解法中 最容易先想到的就是 1 1 1 和 1 2 1 所介绍的解法 1 1 1 介绍的 方法计算过程稍微有点复杂 1 2 1 介绍的方法则相对简单一些 1 2 2 介绍的这种方 法虽然简单 但一般由于思维定势我们不容易想到这种方法 而 1 1 4 所介绍的方法 计算过程复杂且不易想到 1 1 2 1 1 3 所介绍的这两种方法虽然计算过程稍微简 单些但技巧性比较强 1 3 所介绍的方法使用比较巧妙 它的巧妙之处在于将 1 0 式化为 1 7 式 其计算过程简洁 方法简单 本人推荐大家使用积分因子法和第一 种常数变易法 或者第一种方法 1 5 解法举例 例 1 利用上面所介绍的不同方法求的通解 2 yyxy 7 解 现将方程变为标准型的伯努利方程 2 yyxy 即 x y x y dx dy 2 则有 x xP 1 x xQ 1 解法一 变量代换法 常数变易法的混合运用 在 两边同除以得 2 y xxydx dy y 111 2 令 则 y z 1 xx z dx dz1 将通解中的常数变易后得的通解0 x z dx dz xx z dx dz1 cdxe x ez dx x dx x 11 1 即 1 cx x z 故原方程的通解 为任意常数 cx x y c 解法二 函数代换法 令为 式的通解 xgxfy 由上述讲解知 xexg dx x 1 1 1 1 1 cdxe x xf dx x 令 则 1 cc cxxf 1 故原方程的通解 为任意常数 cx x y c 解法三 求导法 令 1 xNyxMz 8 由上述讲解知 xexM dx x 1 xdxe x xN dx x 1 1 从而 x cx xM xNc y 1 故原方程的通解 为任意常数 cx x y c 解法四 恰当导数法 令 1 dx P x dx x v xeex 由上述讲解知 1 1 zQ x v x dxxc 令 则 1 cc cxz 1 从而 111 xc yz vx x 故原方程的通解 为任意常数 cx x y c 解法五 直接常数变易法 一 对 式所对应的齐次方程的通解中的常数进行常数变易得 式的通解 由于 的通解为0 x y dx dy cxcey dxxP 经常数变易后则为 式的通解xxcy 从而 2 xcxc 整理得 1 2 xc xc 即 cx xc 1 9 从而 cx xc 1 故原方程的通解 为任意常数 cx x y c 二 先解方程 然后经常数变易求 式的通解 x y dx dy 2 由上述讲解知 为任意常数 cx x y c 解法六 积分因子法 整理得方程 0 1 11 2 dy y dx xxy xxy yxM 11 2 1 y yxN 2 1 xyy yxM 0 y yxN 2 1 xyx yxN y yxM xyxN x yxN y yxM 1 式的积分因子为 xexu dx x 1 式乘以积分因子得 0 1 1 2 dy y x dx y 经凑微分得 cx y x 所以 为任意常数 cx x y c 注 由以上例题的各种解法的解题过程可以清晰的看出解法二 三 四的解题 步骤均很少 但它们的技巧性比较强 一般我们不容易想到 解法一 五 一 六我们 10 在学习其它微分方程时有涉略 我们很容易接受 解法五 二 虽然也是常数变易法 但 是由于我们之前都是对一阶线性齐次微分方程的通解中的常数进行常数变易 所以不 太容易想到这个办法 总之 最好用的是解法五 一 六 实在想不到就直接用解法一 2 伯努利方程在里卡蒂方程中的应用 里卡蒂方程 2 0 其 2 xRyxQyxP dx dy 中 都是连续函数 当时 2 0 式是伯努利方程 由前面 xP xQ R x0 xR 几种方法均可求得其通解 当时 若 2 0 式的一个特解为 0 xR 1 yy x 作变量替换 则 1 y xz xy x 1 dydydz dxdxdx 代入原方程得 1 2 1 1 xRyzxQyzxP dx dy dx dz 2 1 2 11 2 xRyxQyxPzxQyxPzxP 所以是原方程的特解 1 yy x 1 2 1 1 xRyxQyxP dx dy 2 1 2zxPzxQyxP dx dz 上式是一个关于的伯努利方程且 则上式的通解为z2n 1 1 1 1 1 11 cdxexQenz dxxPndxxPn n 这里 11 2 P xP x yQ x 1 Q xP x 可求得 cdxexPez dxxQyxPdxxQyxP 2 2 1 11 即 cdxexPe xyxy dxxQyxPdxxQyxP 2 2 1 11 1 从而原方程的通解为 为任意常数 1 2 2 1 11 cdxexPexyxy dxxQyxPdxxQyxP c 例 2 2 22 yyx 解 整理得 2 2 2 x y dx dy 11 由 式 1 xP0 xQ 2 2 x xR 原方程的一个特解为 x y 1 1 作变量代换 x xzy 1 则有 2 1 xdx xdz dx dy 将上式代入 得 22 2 121 xxx xz dx xdz 整理得 为伯努利方程 2 2 xzxz xdx xdz 由伯努利通解公式得 1 3 2 1 3 11 cx x xz 即 1 3 2 3 3 cx x xz 令 从而 1 3cc cx x xz 3 2 3 又由得原方程的通解为 x xzy 1 其中 是任意常数 xcx x y 13 3 2 c 3 总结 文中所阐述的解法对一般伯努利方程都适用 在使用变量代换法时 可根据实际 采用合适的变量替换 由于变量代换法 常数变易法的混合运用法我们在课本中学习 伯努利方程时就已经讲过如何使用常数变易法解一阶线性非齐次方程 从而用变量代 换法 常数变易法的混合运用法解伯努利方程也就比较容易 对于积分因子法 它对 伯努利方程来说是一种独特的方法 具有较好的实际应用价值 总之 在求解方程时 可采用简单的解法或你熟练掌握的解法 关于应用方面 本文只是给出了在求解一阶 非线性微分方程 里卡蒂方程中的应用 但在实际生活中 伯努利方程在物理和化 12 工方面都有很广泛的应用 这些都有待于我们进一步去探讨 从而进一步了解伯努利 方程在常微分方程这门学科中的重要地位 只有很好地掌握了伯努利方程的各种解法 才能很好地解决一些用到伯努利方程的实际问题 参考文献 1 艾英 伯努利 Bernoulli 方程的几种解法 J 焦作大学学报 综合版 1997 34 3 57 58 2 李信明 Bernoulli方程通解的一种简捷求法 J 昌潍师专学报 2000 19 2 87 3 常季芳 李高 关于伯努利方程的几种新解法 J 雁北师范学院学报 2007 23 2 89 91 4 王高雄 周之铭 等 常微分方程 第三版 M 北京 高等教育出版社 2006 45 48 5 王克 潘家齐 常微分方程 M 北京 高等教育出版社 2005 27 6 胡劲松 郑克龙 用 积分因子法 求解 Bernoulli 方程 J 四川理工学院学报 2005 12 3 86 87 7 张玉平 用变量替换求解几类常见的一阶线性微分方程 J 企业家天地 理论版 2010 129 4 199 8 王玮 一阶线性微分方程与贝努利方程的解法 J 焦作大学学报 综合版 1994 21 2 39 41 9 A garwal R P Bohner M Oregand etc Dynamic equations on time scales A survey J J comp Appl math 2002 141 12 22 26 10 Agarmal R P Won