递推公式求通项公式的几种方

1 由递推公式求通项公式的常用方法由递推公式求通项公式的常用方法 由数列的递推公式求通项公式是高中数学的重点问题 也是难点问题 它是历年高考 命题的热点题 对于递推公式确定的数列的求解 通常可以通过递推公式的变换 转化为 等差数列或等比数列问题 有时也用到一些特殊的转化方法与特殊数列 方法一 累加法方法一 累加法 形如an 1 an f n n 2 3 4 且f 1 f 2 f n 1 可求 则用累加 法求 an 有时若不能直接用 可变形成这种形式 然后利用这种方法求解 例例 1 1 07 年北京理工农医类 已知数列 an 中 a1 2 an 1 an cn c是常数 n 1 2 3 且a1 a2 a3成公比不为 1 的等比数列 1 求c的值 2 求 an 的通项公式 解 1 a1 a2 a3 成公比不为 1 的等比数列 2 02 2 2 2 3 2 1 1111 1 31 2 2 c c accaaca ncnaa aaa nn 因此 舍去 或解得 又 2 由 1 知 将n 1 2 n 1 分别代入naanaa nnnn 2 2 11 即 1 2 32 22 12 1 34 23 12 naa aa aa aa nn 将上面n 1 个式子相加得an a1 2 1 2 3 n 1 n2 n 又a1 2 an n2 n 2 方法二方法二 累乘法累乘法 形如 g n n 2 3 4 且f 1 f 2 f n 1 可求 则用累乘法求an 有时 a an n 1 1 a an n 若不能直接用 可变形成这种形式 然后用这种方法求解 2 例例 2 设 an 是首项为 1 的正项数列 且 n 1 an 12 nan2 an 1an 0 n 1 2 3 求它的通项公式 解 由题意知a1 1 an 0 n 1 2 3 由 n 1 an 12 nan2 an 1an 0 得 an 1 an n 1 an 1 nan 0 因为an 0 则an 1 an 0 所以 将n 1 2 n 1 分别代入得 an 1 an n n 1 a2 a1 1 2 a3 a2 2 3 an an 1 n 1 n 将上面n 1 个式子相乘得 an a1 1 2 2 3 n 1 n 又a1 1 则an 1 n 点评 本题先由已知求出递推公式 化成了 g n 的类型 再利用累乘法求通 an 1 an 项公式 方法三 构造新数列法方法三 构造新数列法 构造新数列法 将递推关系经过适当的恒等变形转化为特殊数列的递推关系 等差数构造新数列法 将递推关系经过适当的恒等变形转化为特殊数列的递推关系 等差数 列 等比数列 常数列或等差数列和等比数列的求和形式 以下类型均采用这种解法 列 等比数列 常数列或等差数列和等比数列的求和形式 以下类型均采用这种解法 类型一类型一 an 1 Aan B A B R A 0 线性递推关系线性递推关系 当A 0 B 0时 an 1 Aan是以A为公比的等比数列 3 当A 0 B 0时 an 1 Aan B可变形为an 1 A an 此 B A 1 B A 1 时就构造出了 an 这样一个以a1 为首项 以 A 为公比的新的等比数列 从 B A 1 B A 1 而求出an 例例 3 07 年全国理科卷 已知数列 an 中 a1 2 an 1 1 an 2 2 n 1 2 3 求 an 的通项公式 解 由题设 an 1 1 an 2 变形为an 1 1 an 2222 所以数列 an 是首项为2 公比为 1的等比数列 则 222 an 1 n 即 an 的通项公式为an 1 n 1 22222 类型二类型二 an 1 pan cqn 其中其中 p q cp q c 均为常数均为常数 方法一 观察所给的递推公式 它一定可以变形为an 1 xqn 1 p an xqn 将递推 关系an 1 pan cqn待入得pan cqn xqn 1 p an xqn 解得x 则由原递推公 c p q 式构造出了an 1 qn 1 p an qn 而数列 an qn 是以为首相以 c p q c p q c p q 为公比的等比数列 方法二 将an 1 pan cqn两边分别除以qn 1 则有 然后利 an 1 pn 1 an pn cqn pn 1 用累加法求得 可见对于同一个题型的构造的新数列类型可能不唯一 所以要注意巧妙构造 例例 4 4 07 年唐山二摸 在数列 an 中 a1 an an n n n 2 求 1 6 1 2 1 2 1 3n an 的通项公式 解 由an an 可变形为an an 则数列 an 是以为 1 2 1 2 1 3n 1 3n 1 2 1 3n 1 1 3n a1 首项以 为公比的等比数列 根据等比数列的通项公式得an n 1 3 1 2 1 2 1 3n 1 2 因此an 1 2n 1 3n 类型三 类型三 an 2 pan 1 qan 其中其中 p q 均为常数均为常数 方法 先把原递推公式转化为an 2 san 1 t an 1 san 其中 s t 满足 s t p s t q 再利用等比数列来求解 4 例例 5 5 已知数列 an 中 a1 1 a2 2 an 2 an 1 an 求 an 的通项公式 2 3 1 3 解 由an 2 an 1 an可转化为an 2 san 1 t an 1 san 2 3 1 3 即an 2 s t an 1 s tan 解得或这里不妨选用 当然也可以选用 an 2 an 1 an 1 an 1 3 所以 an 1 an 是以a2 a1 1为首项 为公比的等比数列 1 3 所以an 1 an n 1 再用累加法an a1 0 1 n 2 又 1 3 1 3 1 3 1 3 a1 1 因此an n 1 7 4 3 4 1 3 上面给大家介绍了由递推公式求通项公式常用的三种方法 累加法 累乘法和构造新 数列法 以及几种典型类型题 构造新数列法比较简捷 但如果观察不到结构的特殊性 就想不到构造的新数列 所以仔细观察结构的特征是运用这种方法解决求通项公式的问题 的关键所在 如果构造新数列难度较大时也可采用迭代法迭代法求通项公式 迭代法即根据递推 公式循环代入 一直代到首项为止 上面这些类型的问题大都也可采用此种方法求解 有 时由递推公式求通项公式还可以用猜想归纳法猜想归纳法 即利用数列的递推公式求出前几项 根据 前几项猜想出通项公式 然后运用数学归纳法证明其正确性 需要说明的是以上这些方法 都有一定的局限性 求解时要注意灵活运用 配套练习 1 已知数列 an 满足 a1 an 1 an 求 an 1 2 1 n2 n 2 04 年唐山 已知数列 an 满足 a1 1 2n 1an an 1 n N n 2 求 an 3 06 年福建卷 已知数列 an 满足 a1 1 an 1 2an 1 n 2 求 an 4 已知数列 an 中 a1 an