第七章 第二节

第二节空间几何体的表面积与体积1圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式圆柱圆锥圆台侧面展开图侧面积公式S圆柱侧2rlS圆锥侧rlS圆台侧(rr)l2空间几何体的表面积与体积公式名称几何体表面积体积柱体(棱柱和圆柱)S表面积S侧2S底VSh锥体(棱锥和圆锥)S表面积S侧S底VSh台体(棱台和圆台)S表面积S侧S上S下V(S上S下)h球S4R2VR31判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)圆柱的一个底面积为S，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是2S.()(2)锥体的体积等于底面面积与高之积()(3)台体的体积可转化为两个锥体的体积之差()(4)球的体积之比等于半径之比的平方()答案：(1)(2)(3)(4)2一个球的表面积是16，那么这个球的体积为()A.B.C16 D24解析：选B设球的半径为R，则由4R216，解得R2，所以这个球的体积为R3.3如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为()A20 B24C28 D32解析：选C由三视图知该几何体是圆锥与圆柱的组合体，设圆柱底面圆半径为r，周长为c，圆锥母线长为l，圆柱高为h.由图得r2，c2r4，h4，由勾股定理得：l4，S表r2chcl416828.4(教材习题改编)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为_解析：由三视图可知，该几何体是一个直三棱柱，其底面为侧视图，该侧视图是底边为2，高为的三角形，正视图的长为三棱柱的高，故h3，所以该几何体的体积VSh33.答案：35正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为2，侧棱长为，D为BC的中点，则三棱锥AB1DC1的体积为_解析：如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，ADBC，ADBB1，BB1BCB，AD平面B1DC1.VAB1DC1SB1DC1AD21.答案：1空间几何体的表面积在高考中的考查多以三视图的形式给出，考查的载体多为柱体、锥体、球和简单组合体.题型为选择题或填空题，难度中等.求表面积问题的思路是将立体几何问题转化为平面图形问题，即空间图形平面化，这是解决立体几何问题的主要出发点.典题领悟1(2016全国卷)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为()A1836B5418C90 D81解析：选B由三视图可知该几何体是底面为正方形的斜四棱柱，其中有两个侧面为矩形，另两个侧面为平行四边形，则表面积为(333633)25418.2.(2015全国卷)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示若该几何体的表面积为1620，则r()A1 B2C4 D8解析：选B如图，该几何体是一个半球与一个半圆柱的组合体，球的半径为r，圆柱的底面半径为r，高为2r，则表面积S4r2r24r2r2r(54)r2.又S1620，(54)r21620，r24，r2，故选B.解题师说1三类几何体表面积的求法求多面体的表面积只需将它们沿着棱“剪开”展成平面图形，利用求平面图形面积的方法求多面体的表面积求旋转体的表面积可以从旋转体的形成过程及其几何特征入手，将其展开后求表面积，但要搞清它们的底面半径、母线长与对应侧面展开图中的边长关系求不规则几何体的表面积时通常将所给几何体分割成基本的柱体、锥体、台体，先求出这些基本的柱体、锥体、台体的表面积，再通过求和或作差，求出所给几何体的表面积2避免两类失误(1)因对几何体的结构特征认识不准，混淆几何体侧面的边长与三视图中有关数据的关系而导致解题错误一定要熟记三视图中的数据反应的是空间几何体的长、宽、高，而不一定是空间几何体的棱长(如典题领悟第1题，易误认为侧棱长为6而导致解题错误)(2)在审视组合体的图形时，图形结构特征审视不准致误(如典题领悟第2题中的几何体是一个半球和一个半圆柱的组合体，求表面积时，应去掉两几何体的接触面)冲关演练1(2018沈阳质检)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积是()A366 B363C54 D27解析：选A由三视图知该几何体的表面积为S2(24)3234323366.2(2018湖南五市十校联考)如图，小方格是边长为1的正方形，一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为()A496 B(26)96C(44)64 D(44)96解析：选D由三视图知，该几何体为一个圆锥和一个正方体的组合体，正方体的棱长为4，圆锥的高为4，底面半径为2，所以该几何体的表面积S642222(44)96.3(2018安徽江南十校联考)某几何体的三视图如图所示，其中侧视图的下半部分曲线为半圆弧，则该几何体的表面积为()A4164 B5164C4162 D5162解析：选D由三视图可知该几何体是一个正三棱柱和一个半圆柱的组合体，三棱柱的两个侧面面积之和为24216，两个底面面积之和为222；半圆柱的侧面积为44，两个底面面积之和为212，所以几何体的表面积为5162，故选D.高考中空间几何体体积的考查是几何体相关问题中出现频率较高的，主要考查由三视图求相关几何体的体积.高考中主要以选择题或填空题形式出现，难度中等.典题领悟1(2017全国卷)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为()A90B63C42 D36解析：选B法一：由题意知，该几何体由底面半径为3，高为10的圆柱截去底面半径为3，高为6的圆柱的一半所得，故其体积V321032663.法二：由题意知，该几何体由底面半径为3，高为10的圆柱截去底面半径为3，高为6的圆柱的一半所得，其体积等价于底面半径为3，高为7的圆柱的体积，所以它的体积V32763.2(2017浙江高考)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm3)是()A.1 B.3C.1 D.3解析：选A由几何体的三视图可得，该几何体是一个底面半径为1，高为3的圆锥的一半与一个底面为直角边长为的等腰直角三角形，高为3的三棱锥的组合体，故该几何体的体积V12331.3(2017山东高考)由一个长方体和两个圆柱体构成的几何体的三视图如图，则该几何体的体积为_解析：该几何体由一个长、宽、高分别为2,1,1的长方体和两个底面半径为1，高为1的四分之一圆柱体构成，故该几何体的体积V21121212.答案：2解题师说1处理体积问题的思路2求体积的常用方法直接法对于规则的几何体，利用相关公式直接计算割补法首先把不规则的几何体分割成规则的几何体，然后进行体积计算；或者把不规则的几何体补成规则的几何体，不熟悉的几何体补成熟悉的几何体，便于计算等体积法选择合适的底面来求几何体体积，常用于求三棱锥的体积，即利用三棱锥的任一个面可作为三棱锥的底面进行等体积变换.冲关演练1(2017北京高考)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为()A60 B30C20 D10解析：选D如图，把三棱锥ABCD放到长方体中，长方体的长、宽、高分别为5,3,4，BCD为直角三角形，直角边分别为5和3，三棱锥ABCD的高为4，故该三棱锥的体积V53410.2一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示，则该几何体的体积为()A.B.C. D1解析：选C由三视图知，四棱锥是底面边长为1，高为1的正四棱锥，结合三视图可得半球半径为，从而该几何体的体积为1213.3某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为()A. B.C. D3解析：选A根据几何体的三视图，得该几何体是下部为直三棱柱，上部为三棱锥的组合体，如图所示则该几何体的体积是V几何体V三棱柱V三棱锥211211.题点全练角度(一)球与柱体的切、接问题1已知直三棱柱ABC-A1 B1 C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB=3，AC=4，ABAC，AA1 =12，则球O的半径为( )A.B2C. D3解析：选C如图，由球心作平面ABC的垂线，则垂足为BC的中点M.又AMBC，OMAA16，所以球O的半径ROA .2.(2017江苏高考)如图，在圆柱O1O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切记圆柱O1O2的体积为V1，球O的体积为V2，则的值是_解析：设球O的半径为R，因为球O与圆柱O1O2的上、下底面及母线均相切，所以圆柱的底面半径为R、高为2R，所以.答案：角度(二)球与锥体的切、接问题3已知正三棱锥的高为1，底面边长为2，内有一个球与四个面都相切，则棱锥的内切球的半径为()A. B.1C. D.1解析：选D如图，过点P作PD平面ABC于点D，连接AD并延长交BC于点E，连接PE，ABC是正三角形，AE是BC边上的高和中线，D为ABC的中心AB2，SABC3，DE1，PE.S表32333.PD1，三棱锥的体积V31.设球的半径为r，以球心O为顶点，三棱锥的四个面为底面把正三棱锥分割为四个小棱锥，则r1.4(2017全国卷)已知三棱锥S ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径若平面SCA平面SCB，SAAC，SBBC，三棱锥S ABC的体积为9，则球O的表面积为_解析：如图，连接AO，OB，SC为球O的直径，点O为SC的中点，SAAC，SBBC，AOSC，BOSC，平面SCA平面SCB，平面SCA平面SCBSC，AO平面SCB，设球O的半径为R，则OAOBR，SC2R.VS ABCVASBCSSBCAOAO，即9R，解得 R3，球O的表面积为S4R243236.答案：36题“根”探求1解决与球有关的切、接问题，其通法是作截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题的思维流程是：2有关几何体外接球、内切球计算问题的常用结论(1)球(半径为R)与正方体(设棱长为a)有以下三种特殊情形：球内切于正方体，此时2Ra；球与正方体的棱相切，此时2Ra；球外接于正方体，此时2Ra.(2)长、宽、高分别为a，b，c的长方体的体对角线长等于其外接球的直径，即2R.(3)棱长为a的正四面体，斜高为a，高为a，其外接球的半径为a，内切球的半径为a.(4)三条侧棱互相垂直的三棱锥的外接球：如果三棱锥的三条侧棱互相垂直并且相等，那么可以补形为一个正方体，正方体的外接球的球心就是三棱锥的外接球的球心；如果三棱锥的三条侧棱互相垂直但不相等，那么可以补形为一个长方体，长方体的外接球的球心就是三棱锥的外接球的球心(5)求一个棱锥内切球的半径，可以根据球心到各个面的距离相等以及棱锥的体积列式得出也可以先找准切点，通过作截面来解决，作截面时主要抓住棱锥过球心的对角面来作(6)求一个几何体的外接球的半径，可以结合球心到各个顶点的距离相等列式得出(7)球与旋转体的组合通常作轴截面解题，球与多面体的组合通过多面体的一条侧棱和球心(或“切点”“接点”)作截面解题此类问题在计算时，经常用到截面圆如图所示，设球O的半径为R，截面圆O的半径为r，M为截面圆上任一点，球心O到截面圆O的距离为d，则在RtOOM中，OM2OO2OM2，即R2d2r2.冲关演练1(2017天津高考)已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为_解析：由正方体的表面积为18，得正方体的棱长为.设该正方体外接球的半径为R，则2R3，R，所以这个球的体积为R3.答案：2一块石材表示的几何体的三视图如图所示，将该石材切削、打磨、加工成球，则能得到的最大球的半径等于_解析：该几何体为直三棱柱，底面是边长分别为6,8,10的直角三角形，侧棱长为12，故能得到的最大球的半径等于底面直角三角形内切圆的半径，其半径为r2.答案：23已知一个四面体的一条边长为，其余边长均为2，则此四面体的外接球的半径为_解析：由题意画出几何体的图形如图所示，取BC的中点为O，连接AO，DO，则AOBC，DOBC.AODOO，BC平面AOD.又OAOD，AD，OA2OD2AD2，AODO，该四面体的外接球的球心在AD的中点E与点O的连线上，设球心为G，球的半径为R，即GAGBGCGD，又G在线段OE上，AG2AE2EG2，BG2BO2GO2，EOEGGO，解得R，故此四面体的外接球的半径为.答案：(一)普通高中适用作业A级基础小题练熟练快1(2018江西七校联考)若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是()A48B48C482 D482解析：选A该几何体是正四棱柱挖去了一个半球，正四棱柱的底面是正方形(边长为2)，高为5，半球的半径是1，那么该几何体的表面积为S2224251221248，故选A.2如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径若该几何体的体积是，则它的表面积是()A17 B18C20 D28解析：选A由几何体的三视图可知，该几何体是一个球体去掉上半球的，得到的几何体如图设球的半径为R，则R3R3，解得R2.因此它的表面积为4R2R217.3.九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有()A14斛 B22斛C36斛 D66斛解析：选B设米堆的底面半径为r尺，则r8，所以r，所以米堆的体积为Vr2525(立方尺)故堆放的米约有1.6222(斛)4一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如下图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为()A. B.C. D.解析：选D由三视图知该几何体是由一个正方体截去了一个“大角”后剩余的部分，如图所示，截去部分是一个三棱锥设正方体的棱长为1，则三棱锥的体积为V1111，剩余部分的体积V213.所以.5一个多面体的直观图和三视图如图所示，点M是AB上的动点，记四面体EFMC的体积为V1，多面体ADFBCE的体积为V2，则()A. B.C. D.解析：选B由三视图可知多面体ADFBCE是直三棱柱，其底面是等腰直角三角形(直角边长为a)，且四边形DFEC与四边形ABCD都是正方形，它们的边长均为a.M是AB上的动点，且易知AB平面DFEC，点M到平面DFEC的距离等于点B到平面DFEC的距离，距离为a，V1VEFMCVMEFCaaa，又V2aaa，故.6(2018广东五校协作体第一次诊断)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为()A.1 B.C.1 D.1解析：选C由三视图可知该几何体是一个圆柱和半个圆锥的组合体，故其表面积为1221，故选C.7某四棱柱的三视图如图所示，则该四棱柱的体积为_解析：由题意知该四棱柱为直四棱柱，其高为1，底面为上底长为1，下底长为2，高为1的等腰梯形，所以该四棱柱的体积为V1.答案：8圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84，则圆台较小底面的半径为_解析：设圆台较小底面半径为r，则另一底面半径为3r.由S(r3r)384，解得r7.答案：79一个六棱锥的体积为2，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为_解析：由题意可知该六棱锥为正六棱锥，正六棱锥的高为h，侧面的斜高为h.由题意，得622h2，h1，斜高h2，S侧62212.答案：1210.已知三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形，该三棱锥的正视图如图所示，则该三棱锥的体积是_解析：由正视图知三棱锥的形状如图所示，且ABADBCCD2，BD2，设O为BD的中点，连接OA，OC，则OABD，OCBD，结合正视图可知AO平面BCD.又OC1，V三棱锥ABCD1.答案：B级中档题目练通抓牢1如图所示，网格纸上小正方形的边长为1 cm，粗线为某空间几何体的三视图，则该几何体的体积为()A2 cm3 B4 cm3C6 cm3 D8 cm3解析：选B由三视图知几何体是一个以俯视图中的直角梯形为底面，高h2 cm的四棱锥由三视图中的数据得四棱锥的底面面积S(24)26(cm2)，所以其体积VSh624(cm3)2一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为()A64 B64C6416 D64解析：选A由三视图可知，该几何体是一个正方体中间挖去两个顶点相接的圆锥，其中，两个圆锥的体积和是V锥Sh224，VV正方体V锥4364.3(2018江西七校联考)如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，点E，F分别为边BC，CD的中点，将ABE，ECF，FDA分别沿AE，EF，FA折起，使B，C，D三点重合于点P，若四面体PAEF的四个顶点在同一个球面上，则该球的表面积是()A6 B12C18 D9解析：选C因为APEEPFAPF90，所以可将四面体补成一个长方体(PA，PE，PF是从同一顶点出发的三条棱)，则四面体和补全的长方体有相同的外接球，设其半径为R，由题意知2R3，故该球的表面积S4R24218.4一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为_解析：该几何体可视为正方体截去两个三棱锥所得，如图所示，所以其体积为23222111.答案：5.已知三棱锥SABC的所有顶点都在球O的球面上，ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC2，则此棱锥的体积为_解析：由于三棱锥SABC与三棱锥OABC底面都是ABC，O是SC的中点，因此三棱锥SABC的高是三棱锥OABC高的2倍，所以三棱锥SABC的体积也是三棱锥OABC体积的2倍如图所示，在三棱锥OABC中，其棱长都是1，SABCAB2，高OD ，所以VSABC2VOABC2.答案：6已知球的半径为R，在球内作一个内接圆柱，这个圆柱的底面半径与高为何值时，它的侧面积最大？侧面积的最大值是多少？解：如图为其轴截面，令圆柱的高为h，底面半径为r，侧面积为S，则2r2R2，即h2.因为S2rh4r442R2，当且仅当r2R2r2，即rR时，取等号，即当内接圆柱底面半径为R，高为R时，其侧面积的值最大，最大值为2R2.7.如图是一个以A1B1C1为底面的直三棱柱被一平面所截得到的几何体，截面为ABC，已知A1B1B1C12，A1B1C190，AA14，BB13，CC12，求：(1)该几何体的体积；(2)截面ABC的面积解：(1)过C作平行于A1B1C1的截面A2B2C，交AA1，BB1分别于点A2，B2.由直三棱柱性质及A1B1C190可知B2C平面ABB2A2，则该几何体的体积VVA1B1C1A2B2CVCABB2A2222(12)226.(2)在ABC中，AB，BC，AC2.则SABC2.C级重难题目自主选做1.高为4的直三棱柱被削去一部分后得到一个几何体，它的直观图和三视图中的侧视图、俯视图如图所示，则该几何体的体积与原直三棱柱的体积的比值为()A. B.C. D.解析：选C由侧视图、俯视图知该几何体是高为2、底面积为2(24)6的四棱锥，其体积为4.易知直三棱柱的体积为8，则该几何体的体积与原直三棱柱的体积的比值为.2.如图，已知球O是棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1的内切球，则平面ACD1截球O的截面面积为()A.B.C. D.解析：选C平面ACD1截球O的截面为ACD1的内切圆因为正方体的棱长为1，所以ACCD1AD1，所以内切圆的半径rtan 30，所以Sr2.(二)重点高中适用作业A级保分题目巧做快做1(2018合肥一检)一个几何体的三视图如图所示(其中正视图的弧线为四分之一圆周)，则该几何体的表面积为()A726B724C486 D484解析：选A由三视图知，该几何体由一个正方体的部分与一个圆柱的部分组合而成(如图所示)，其表面积为162(164)24(22)726.2如图是某四棱锥的三视图，则该几何体的表面积为()A346 B664C664 D176解析：选A由三视图得该几何体的直观图如图，其中，底面ABCD为矩形，AD6，AB2，平面PAD平面ABCD，PAD为等腰三角形，且此四棱锥的高为4，故该几何体的表面积等于622256264346.3某几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为3，则侧视图中线段的长度x的值是()A. B2C4 D5解析：选C分析题意可知，该几何体为如图所示的四棱锥PABCD，故其体积V4CP3，CP，x4.4一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为()A64 B64C6416 D64解析：选A由三视图可知，该几何体是一个正方体中间挖去两个顶点相接的圆锥，其中，两个圆锥的体积和是V锥Sh224，VV正方体V锥4364.5在三棱锥A BCD中，侧棱AB，AC，AD两两垂直，ABC，ACD，ADB的面积分别为，则该三棱锥外接球的表面积为()A2 B6C4 D24解析：选B设相互垂直的三条侧棱AB，AC，AD分别为a，b，c，则ab，bc，ac，解得a，b1，c.所以三棱锥A BCD的外接球的直径2R，则其外接球的表面积S4R26.6某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为_解析：由三视图可知该几何体是底面为等腰直角三角形的直三棱柱，如图则该几何体的表面积为S22242224208.答案：2087.已知三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形，该三棱锥的正视图如图所示，则该三棱锥的体积是_解析：由正视图知三棱锥的形状如图所示，且ABADBCCD2，BD2，设O为BD的中点，连接OA，OC，则OABD，OCBD，结合正视图可知AO平面BCD.又OC1，V三棱锥ABCD1.答案：8一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为_解析：该几何体可视为正方体截去两个三棱锥所得，如图所示，所以其体积为23222111.答案：9已知球的半径为R，在球内作一个内接圆柱，这个圆柱的底面半径与高为何值时，它的侧面积最大？侧面积的最大值是多少？解：如图为其轴截面，令圆柱的高为h，底面半径为r，侧面积为S，则2r2R2，即h2.因为S2rh4r442R2，当且仅当r2R2r2，即rR时，取等号，即当内接圆柱底面半径为R，高为R时，其侧面积的值最大，最大值为2R2.10已知A，B，C是球O的球面上三点，且ABAC3，BC3，D为该球面上的动点，球心O到平面ABC的距离为球半径的一半，求三棱锥D ABC体积的最大值解：如图，在ABC中，ABAC3，BC3，由余弦定理可得cos A，sin A.设ABC外接圆O的半径为r，则2r，得r3.设球的半径为R，连接OO，BO，OB，则R2232，解得R2.由图可知，当点D到平面ABC的距离为R时，三棱锥D ABC的体积最大，SABC33，三棱锥D ABC体积的最大值为3.B级拔高题目稳做准做1.高为4的直三棱柱被削去一部分后得到一个几何体，它的直观图和三视图中的侧视图、俯视图如图所示，则该几何体的体积与原直三棱柱的体积的比值为()A. B.C. D.解析：选C由侧视图、俯视图知该几何体是高为2、底面积为2(24)6的四棱锥，其体积为4.易知直三棱柱的体积为8，则该几何体的体积与原直三棱柱的体积的比值为.2(2018江西七校联考)如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，点E，F分别为边BC，CD的中点，将ABE，ECF，FDA分别沿AE，EF，FA折起，使B，C，D三点重合