高中数学函数解题技巧方法总结(高考)-学生版

1 高中数学函数知识点总结高中数学函数知识点总结 一 函数的三要素是什么 如何比较两个函数是否相同 定义域 对应法则 值域 相同函数的判断方法 表达式相同 定义域一致 两点必须同时具备 二 求函数的定义域有哪些常见类型 例 函数的定义域是y xx x 4 3 2 lg 函数定义域求法 分式中的分母不为零 偶次方根下的数 或式 大于或等于零 指数式的底数大于零且不等于一 对数式的底数大于零且不等于一 真数大于零 正切函数 xytan kkxRx 2 且 当以上几个方面有两个或两个以上同时出现时 先分别求出满足每一个条件的自变量的范围 再取他 们的交集 就得到函数的定义域 三 如何求复合函数的定义域 的定 则函数 的定义域是如 函数 0 xfxfxFabbaxf 义域是 复合函数定义域的求法 已知的定义域为 求的定义域 可由 xfy nm xgfy 解出 x 的范围 即为的定义域 nxgm xgfy 例例 若函数的定义域为 则的定义域为 xfy 2 2 1 log2xf 四 函数值域的求法 1 直接观察法 对于一些比较简单的函数 其值域可通过观察得到 例 求函数 y 的值域 x 1 2 配方法 配方法是求二次函数值域最基本的方法之一 例 求函数 y 2x 5 x 1 2 的值域 2 x 3 判别式法 对二次函数或者分式函数 分子或分母中有一个是二次 都可通用 但这类题型有时也可以用其他方 法进行化简 不必拘泥在判别式上面 2 1 1 2 2 2 2 2 2 2 22 b a y型 直接用不等式性质 k x bx b y型 先化简 再用均值不等式 xm xn x1 例 y 1 x x x xmxn c y型 通常用判别式 xm xn xm xn d y型 xn 法一 用判别式 法二 用换元法 把分母替换掉 xx1 x 1 x 1 1 1 例 y x 1 12 11 x1x1x1 4 反函数法 直接求函数的值域困难时 可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域 例 求函数 y 值域 65 43 x x 5 函数有界性法 直接求函数的值域困难时 可以利用已学过函数的有界性 来确定函数的值域 我们所说的单 调性 最常用的就是三角函数的单调性 例 求函数 y 的值域 1 1 x x e e2sin1 1sin y 2sin1 1cos y 6 函数单调性法 通常和导数结合 是最近高考考的较多的一个内容 例求函数 y 2 x 10 的值域 2 5x log3 1 x 7 换元法 通过简单的换元把一个函数变为简单函数 其题型特征是函数解析式含有根式或三角 函数公式模型 换元法是数学方法中几种最主要方法之一 在求函数的值域中同样发 挥作用 例 求函数 y x 的值域 1 x 3 8 数形结合法 其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义 如两点的距离公式直线斜率等等 这 类题目若运用数形结合法 往往会更加简单 一目了然 赏心悦目 例 已知点 P x y 在圆 x2 y2 1 上 2 2 2 20 1 的取值范围 2 y 2 的取值范围 解 1 令则是一条过 2 0 的直线 d为圆心到直线的距离 R 为半径 2 令y 2即也是直线d d y x x y kyk x x R d xbyxbR 例求函数 y 的值域 2 2 x 8 2 x 例求函数 y 的值域136 2 x x 54 2 x x 9 不等式法 利用基本不等式 a b 2 a b c 3 a b c 求函数的最值 其题型特征解ababc3 R 析式是和式时要求积为定值 解析式是积时要求和为定值 不过有时须要用到拆项 添项和两边平 方等技巧 例 3 3 1 3 3 2 x 3 2x 0 x 1 5 xx 3 2x x x 3 2x 应用公式abc时 应注意使3者之和变成常数 abc 10 倒数法 3 3 2 0 1111 33 33 2 22 x xx 应用公式a b c时 注意使者的乘积变成常数 x x xxxx abc 4 有时 直接看不出函数的值域时 把它倒过来之后 你会发现另一番境况 例 求函数 y 的值域 3 2 x x 2 3 20 12111 220 2 22 20 1 2 时 时 0 0 x y x x x xy y xx xy y 多种方法综合运用 总之 在具体求某个函数的值域时 首先要仔细 认真观察其题型特征 然后再选择恰当的方法 一般优先考虑直接法 函数单调性法和基本不等式法 然后才考虑用其他各种特殊方法 五 如何用定义证明函数的单调性 取值 作差 判正负 判断函数单调性的方法有三种 1 定义法 根据定义 设任意得 x1 x2 找出 f x1 f x2 之间的大小关系 可以变形为求的正负号或者与 1 的关系 12 12 f xf x xx 1 2 f x f x 2 参照图象 若函数 f x 的图象关于点 a b 对称 函数 f x 在关于点 a 0 的对称区间具有相同的单调性 特例 奇函数 若函数 f x 的图象关于直线 x a 对称 则函数 f x 在关于点 a 0 的对称区间里具有相反的单调 性 特例 偶函数 3 利用单调函数的性质 函数 f x 与 f x c c 是常数 是同向变化的 函数 f x 与 cf x c 是常数 当 c 0 时 它们是同向变化的 当 c 0 时 它们是反向变化的 如果函数 f1 x f2 x 同向变化 则函数 f1 x f2 x 和它们同向变化 函数相加 如果正值函数 f1 x f2 x 同向变化 则函数 f1 x f2 x 和它们同向变化 如果负值函数 f1 2 与 f2 x 同向变化 则函数 f1 x f2 x 和它们反向变化 函数相乘 函数 f x 与在 f x 的同号区间里反向变化 1 f x 若函数 u x x 与函数 y F u u 或 u 同向变 化 则在 上复合函数 y F x 是递增的 若函数 u x x 与函数 y F u u 或 u 反向变化 则在 上复合函数 y F x 是递 减的 同增异减 f g g x f g x f x g x f x g x 都是 5 如 求的单调区间yxx log1 2 2 2 六 如何利用导数判断函数的单调性 在区间 内 若总有则为增函数 在个别点上导数等于abf xf x 0 零 不影响函数的单调性 反之也对 若呢 f x 0 值是 如 已知 函数在 上是单调增函数 则 的最大af xxaxa 01 3 七 函数 f x 具有奇偶性的必要 非充分 条件是什么 f x 定义域关于原点对称 若总成立为奇函数函数图象关于原点对称fxf xf x 若总成立为偶函数函数图象关于 轴对称fxf xf xy 注意如下结论 1 在公共定义域内 两个奇函数的乘积是偶函数 两个偶函数的乘积是偶函数 一个偶函数 与奇函数的乘积是奇函数 若是奇函数且定义域中有原点 则 2f x f 0 0 如 若 为奇函数 则实数f x aa a x x 22 21 又如 为定义在 上的奇函数 当 时 f xxf x x x 1101 2 41 求在 上的解析式 f x 11 正数 增增增增增 增减减 减增减 减减增减减 6 八 判断函数奇偶性的方法 1 定义域法 一个函数是奇 偶 函数 其定义域必关于原点对称 它是函数为奇 偶 函数的必要条件 若函数 的定义域不关于原点对称 则函数为非奇非偶函数 2 奇偶函数定义法 在给定函数的定义域关于原点对称的前提下 计算 然后根据函数的奇偶性的定义判断其奇偶 xf 性 这种方法可以做如下变形 f x f x 0 奇函数 f x f x 0 偶函数 f x 1 偶函数 f x f x 1 奇函数 f x 3 复合函数奇偶性 九 你熟悉周期函数的定义吗 若存在实数 在定义域内总有 则为周期TTf xTf xf x 0 函数 T 是一个周期 如 若 则f xaf x 我们在做题的时候 经常会遇到这样的情况 告诉你 f x f x t 0 我们要马上反应过来 这时说这 个函数周期 2t 推导 0 2 2 0 f xf xt f xf xt f xtf xt 同时可能也会遇到这种样子 f x f 2a x 或者说 f a x f a x 其实这都是说同样一个意思 函 数 f x 关于直线对称 对称轴可以由括号内的 2 个数字相加再除以 2 得到 比如 f x f 2a x 或 者说 f a x f a x 就都表示函数关于直线 x a 对称 f g g x f g x f x g x f x g x 奇奇奇奇偶 奇偶偶非奇非 偶 奇 偶奇偶非奇非 偶 奇 偶偶偶偶偶 7 如 2 2 2 2 2 222 22 22 2 f xxaxb f axf axf bxf bx f xfax faxfbx f xfbx taxbxtba f tf tba f xf xba f xbaa b 又如 若图象有两条对称轴 即 令则 即 所以函数以为周期因不知道的大小关系 为保守起见我加了一个绝对值 十 你掌握常用的图象变换了吗 联想点 x y x y f xfxy 与的图象关于轴 对称 联想点 x y x y f xf xx 与的图象关于轴 对称 联想点 x y x y f xfx 与的图象关于 原点 对称 联想点 x y y x f xfxyx 与的图象关于 直线对称 1 联想点 x y 2a x y f xfaxxa 与的图象关于 直线对称2 联想点 x y 2a x 0 f xfaxa 与的图象关于 点 对称 20 将图象 左移个单位 右移个单位 yf x a a a a yf xa yf xa 0 0 上移个单位 下移个单位 b b b b yf xab yf xab 0 0 注意如下 翻折 变换 x y f xf x f xfx 把轴下方的图像翻到上面 把轴右方的图像翻到上面 如 f xx log 2 1 作出及的图象yxyx loglog 22 11 8 y y log2x O 1 x 十一 你熟练掌握常用函数的图象和性质了吗 k0 y b O a b O x x a k 为斜率 b 为直线与 y 轴的交点 一次函数 10ykxb k 反比例函数 推广为是中心 200y k x kyb k xa kO ab 的双曲线 二次函数图象为抛物线30 2 4 4 2 2 2 yaxbxc aa x b a acb a 顶点坐标为 对称轴 b a acb a x b a2 4 42 2 开口方向 向上 函数ay acb a 0 4 4 2 min ay acb a 0 4 4 2 向下 max 121212 2 b x a bc xxxxxx aaa A A 根的关系 9 2 2 1212 1212 mn 2 f xaxbxc f xa xmn f xa xxxxx x f xa xxxxhx h x h 二次函数的几种表达形式 一般式 顶点式 为顶点 是方程的个根 函数经过点 应用 三个二次 二次函数 二次方程 二次不等式 的关系 二次方程 axbxcxxyaxbxcx 2 12 2 00 时 两根 为二次函数的图象与 轴 的两个交点 也是二次不等式解集的端点值 axbxc 2 00 求闭区间 m n 上的最值 2 max min 2 max min 2 2 2 4 min maxmax 4 m n 0 b nff mff n a b mff nff m a b nm a cba fff mf n a a 区间在对称轴左边 区间在对称轴右边 区间在对称轴边 也可以比较和对称轴的关系 距离越远 值越大 只讨论的情况 求区间定 动 对称轴动 定 的最值问题 一元二次方程根的分布问题 如 二次方程的两根都大于axbxck b a k f k 2 0 0 2 0 y a 0 O k x1 x2 x 一根大于 一根小于kkf k 0 10 y O x k k 0 mn22 0 0 mn 0 b mn a f m f n f m f n 在区间 内有根 在区间 内有1根 指数函数 401yaaa x 对数函数 501yx aa a log 由图象记性质 注意底数的限定 y y ax a 1 0 a1 1 O 1 x 0 a0 且a 1 f x y f x f y f f x f y y x 5 三角函数型的抽象函数 12 f x tgx f x y 1 yfxf yfxf f x cotx f x y 1 yfxf yfxf 例例 1 1 已知函数f x 对任意实数x y均有f x y f x f y 且当x 0 时 f x 0 f 1 2 求f x 在区间 2 1 上的值域 分析 先证明函数f x 在 R 上是增函数 注意到f x2 f x2 x1 x1 f x2 x1 f x1 再根据区间求其值域 例例 2 2 已知函数f x 对任意实数x y均有f x y 2 f x f y 且当x 0 时 f x 2 f 3 5 求不等式 f a2 2a 2 0 x N f a b f a f b a b N f 2 4 同时成立 若存在 求出f x 的解析式 若不存在 说明理由 分析 先猜出f x 2x 再用数学归纳法证明 例例 6 6 设f x 是定义在 0 上的单调增函数 满足f x y f x f y f 3 1 求 1 f 1 2 若f x f x 8 2 求x的取值范围 分析 1 利用 3 1 3 2 利用函数的单调性和已知关系式 例例 7 7 设函数y f x 的反函数是y g x 如果f ab f a f b 那么g a b 13 g a g b 是否正确 试说明理由 分析 设f a m f b n 则g m a g n b 进而m n f a f b f ab f g m g n 例例 8 8 已知函数f x 的定义域关于原点对称 且满足以下三个条件 x1 x2是定义域中的数时 有f x1 x2 1 12 21 xfxf xfxf f a 1 a 0 a是定义域中的一个数 当 0 x 2a时 f x 0 试问 1 f x 的奇偶性如何 说明理由 2 在 0 4a 上 f x 的单调性如何 说明理由 分析 1 利用f x1 x2 f x1 x2 判定f x 是奇函数 3 先证明f x 在 0 2a 上是增函数 再证明其在 2a 4a 上也是增函数 对于抽象函数的解答题 虽然不可用特殊模型代替求解 但可用特殊模型理解题意 有些抽象函 数问题 对应的特殊模型不是我们熟悉的基本初等函数 因此 针对不同的函数要进行适当变通 去 寻求特殊模型 从而更好地解决抽象函数问题 例例 9 9 已知函数f x x 0 满足f xy f x f y 1 求证 f 1 f 1 0 2 求证 f x 为偶函数 3 若f x 在 0 上是增函数 解不等式f x f x 0 2 1 分析 函数模型为 f x loga x a 0 1 先令x y 1 再令x y 1 2 令y 1 3 由f x 为偶函数 则f x f x 例例 1010 已知函数f x 对一切实数x y满足f 0 0 f x y f x f y 且当 x 0 时 f x 1 求证 1 当x 0 时 0 f x 1 2 f x 在x R 上是减函数 分析 1 先令x y 0 得f 0 1 再令y x 3 受指数函数单调性的启发 由f x y f x f y 可得f x y yf xf 进而由x1 x2 有 f x1 x2 1 2 1 xf xf 练习题 1 已知 f x y f x f y 对任意实数x y都成立 则 A f 0 0 B f 0 1 C f 0 0 或 1 D 以上都不对 2 若对任意实数x y总有f xy f x f y 则下列各式中错误的是 14 A f 1 0 B f f x x 1 C f f x f y D f xn nf x n N y x 3 已知函数f x 对一切实数x y满足 f 0 0 f x y f x f y 且当x 0 时 f x 1 则当x 0 时 f x 的取值范围是 A 1 B 1 C 0 1 D 1 4 函数f x 定义域关于原点对称 且对定义域内不同的x1 x2都有 f x1 x2 则f x 为 1 21 21 xfxf xfxf A 奇函数非偶函数 B 偶函数非奇函数 C 既是奇函数又是偶函数 D 非奇非偶函数 5 已知不恒为零的函数f x 对任意实数x y满足f x y f x y 2 f x f y 则函数f x 是 A 奇函数非偶函数 B 偶函数非奇函数 C 既是奇函数又是偶函数 D 非奇非偶函数 函数典型考题 1 若函数为偶函数 则的值是 127 2 1 22 mmxmxmxfm A B C D 1234