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抛物线定义及性质 平面内到一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线 一 定义 o L F 注 如果定点F在定直线l上 所求的轨迹是 定点F叫做抛物线的焦点 定直线l叫做抛物线的准线 过定点F垂直于直线l的一条直线 x 求标准方程 如何建立直角坐标系 想一想 设 KF p 设动点M的坐标为 x y 由定义可知 K 过F做直线FK垂直于直线l 垂足为K 以直线KF为x轴 线段KF的垂直平分线为y轴 建立如图所示的直角坐标系xOy 方程y2 2px p 0 叫做抛物线的标准方程 其中p为正常数 它的几何意义是 焦点到准线的距离 二 抛物线的性质 抛物线的几何性质 p 0 它在轴的右边 向右上方和右下方无限伸展 1 抛物线的范围 2 抛物线的对称性 关于轴对称 这条对称轴叫抛物线的轴 注意 抛物线只有一条对称轴 没有对称中心 F O x y 3 抛物线的顶点 抛物线和轴的交点 原点O 0 0 4 抛物线的离心率y2 2px离心率都是1 y2 2px p 0 y2 2px p 0 x2 2py p 0 x2 2py p 0 x 0y R x 0y R y 0 x R y 0 x R 0 0 x轴 y轴 1 2 通径 通过焦点且垂直对称轴的直线 与抛物线相交于两点 连接这两点的线段叫做抛物线的通径 PF x0 p 2 F P 通径的长度 2P P越大 开口越开阔 3 焦半径 连接抛物线任意一点与焦点的线段叫做抛物线的焦半径 焦半径公式 下面请大家推导出其余三种标准方程抛物线的焦半径公式 例1求下列抛物线的焦点坐标和准线 1 2 练习1求下列抛物线的焦点坐标和准线方程 例2根据下列条件写出抛物线的标准方程 1 焦点是F 0 2 2 准线方程是 3 焦点到准线的距离是2 2 抛物线上与焦点的距离等于9的点的坐标是 a 如图 M点是抛物线上一点 F是抛物线的焦点 以Fx为始边 FM为终边的角 求 练习2 4 例4 点M与点F 4 0 的距离比它到直线l x 5 0的距离小1 求点M的轨迹方程 分析 如图可知原条件等价于M点到F 4 0 和到x 4距离相等 由抛物线的定义 点M的轨迹是以F 4 0 为焦点 x 4为准线的抛物线 所求方程
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