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流体力学 主讲 孟祥铠 第二章流体静力学 2 1平衡流体上的作用力 2 2流体平衡的微分方程式 2 3重力场中的平衡流体 2 4静压强的计算与测量 2 5平衡流体对壁面的作用力 2 7液体的相对平衡 引言 平衡 静止 绝对平衡 流体整体对于地球无相对运动 相对平衡 流体整体对于地球有相对运动 但流体质点间无相对运动 平衡流体内不显示粘性 所以不存在切应力 式中 单位质量力 数值等于流体加速度 2 1平衡流体的作用力 一 质量力 质量力 与流体的质量有关 作用在某一体积流体的所有质点上的力 如重力 惯性力 fx fy fz 单位质量力在直角坐标系中x y z轴上的投影 单位质量力 单位质量流体所受到的质量力 对应的微分形式为 2 1平衡流体的作用力 二 表面力 取出图中的流体微团作为分离体时 须将周围流体或固体对它的作用以力的形式加于分离体微团表面上 才能维持微团原来的平衡状态 2 1平衡流体的作用力 表面力 由于 V流体与四周包围它的物体相接触而产生 分布作用在该体积流体的表面 沿表面内法线方向的压力沿表面切向的摩擦力 流体几乎不能承受拉力 在静止流体内部 切应力为零 只有沿作用面内法线方向的应力 即压强 在流体微团上取微元面积 作用在表面上的总压力大小为当时 流体微团极限成为某一个坐标点上的流体质点 则平均流体静压强的极限 2 1平衡流体的作用力 流体静压力的表达式 称为一点的流体静压强 作用在某个有限表面A上的流体静压力矢量为 2 1平衡流体的作用力 三 流体静压强的重要特性 1 流体静压强的方向总是沿着作用面的内法线方向 2 平衡流体内任一点处的静压强的数值与其作用面的方向无关 它只是该点空间坐标的函数 证明 在平衡流体中取出一微小四面体ABOC 考察其在外力作用下的平衡条件 2 1平衡流体的作用力 三 流体静压强的重要特性 表面力 ABC 斜面面积 质量力若 2 1平衡流体的作用力 则 质量力在三个坐标方向上的投影 x方向上的力平衡方程式 Fx 0px1 2dydz pn ABC cos n x 1 6dxdydzfx 0 2 1平衡流体的作用力 因 ABC cos n x 1 2dydz ABC在yoz平面上的投影 则 1 2dydz px pn 6 dxdydzfx 0略去三阶微量dxdydz 可得 px pn 同理 在y方向上有py pn在z方向上有pz pn 2 1平衡流体的作用力 则有 px py pz pn即 平衡流体中某点处所受的静压强是各向同性的 静压强是标量 其大小由该点所处的空间位置决定 p p x y z 2 2流体平衡的微分方程式 一 欧拉平衡方程式 平衡规律 在静止条件下 流体受到的静压力与质量力相平衡 平衡微分方程的推导 从平衡流体中取出一微小正平行六面体微团 设AB dx AC dy AD dz 体积 2 2流体平衡的微分方程式 分析微小正平行六面体微团受力 质量力dFmx dxdydzfxdFmy dxdydzfydFmz dxdydzfz 表面力先讨论沿x轴方向的表面力 形心O x y z 处的静压强为pO x y z 距O点x轴方向上 1 2dx处的前 后两个面上的表面力分别为 2 2流体平衡的微分方程式 平衡微分方程沿x轴方向有 Fx 0即 化简整理后 将方程两边同除以微小六面体的质量 dxdydz得 2 2流体平衡的微分方程式 静止流体的平衡微分方程 欧拉平衡微分方程 方程的物理意义 在静止流体中 作用在单位质量流体上的质量力与作用在该流体表面上的压力相平衡 同理 2 2流体平衡的微分方程式 二 质量力的势函数 将平衡微分方程的三个表达式分别乘以dx dy dz然后相加得 静压强的全微分 则 欧拉平衡微分方程的综合表达式 2 2流体平衡的微分方程式 此式便于积分 对于各种不同质量力作用下流体内的压强分布规律 均可由它积分得到 对于不可压缩流体 常数 令p w 因p p x y z 则 w w x y z 由综合式有 d p fxdx fydy fzdz dw w x dx w y dy w z dz 2 2流体平衡的微分方程式 则有 fx w x fy w y fz w z 由于坐标函数w x y z 与质量力之间存在着上述关系 则称函数w为质量力的势函数 这样的质量力称为有势质量力 三 等压面微分方程式 流体中压强相等各点所组成的平面或曲面叫作等压面 等压面的微分方程式 2 2流体平衡的微分方程式 等压面有下面三个性质 等压面也是等势面 等压面与单位质量力矢量垂直 两种不相混合平衡液体的交界面必然是等压面 等压面上任意微元线段 2 2流体平衡的微分方程式 2 2流体平衡的微分方程式 2 2流体平衡的微分方程式 将上述结果代入欧拉平衡微分方程的综合表达式得 移项后得 2 3重力场中的平衡流体 一 不可压缩流体的静压强基本公式 重力场中的不可压缩流体 或 对于均质的不可压缩流体 常数 积分上式 则 式中 C为积分常数 2 3重力场中的平衡流体 在静止液体铅直坐标为z的A点处连接一个顶部抽成完全真空的玻璃闭口测压管 对于连续均质平衡流体中的A B两点列静压强基本公式 可得 1 静压强基本公式的物理意义 2 3重力场中的平衡流体 所以 z 单位重力流体对某一基准面的位置势能 位置水头 单位重力流体的压强势能 压强水头 物理意义 重力作用下 静止流体中任意点处单位重力流体的位置势能与压强势能之和 总势能 为一常数 2 3重力场中的平衡流体 如图左部的闭口测压管所示 但 所以两闭口测压管中的液面是水平的 取流体中任意一点A 考察该点处静压强 对A点和液面上的一点C列写出静压强基本公式 2 静压强分布规律 或 gz p gz0 p0整理得 p p0 g z0 z p0 gh式中 h A点处的液深 上式表示了不可压缩均质流体在重力作用下的压强分布规律 是流体静力学中最常用的公式 静压强分布规律 2 3重力场中的平衡流体 2 3重力场中的平衡流体 对公式的几点说明 1 任意一点的静压强由两部分组成 液面压强p0和液重产生的压强 gh 2 任意点处的压强都包含了液面压强 帕斯卡原理 3 h p 呈直线规律分布 4 距液面深度相同各点处的压强均相等 等压面为一簇水平面 2 4静压强的计算与测量 一 静压强的计算标准 绝对压强 以绝对零值 绝对真空 为计算标准 所表示的压强 计示压强 相对压强 表压强 以当地大气压为计算标准 所表示的压强 真空度 以当地大气压为计算基准 小于大气压的部分 绝对压强 大气压强 计示压强计示压强 绝对压强 大气压强真空度 大气压强 绝对压强 2 4静压强的计算与测量 一 静压强的计算标准 用不同介质的液柱高表示压强时的换算关系 2 4静压强的计算与测量 二 静压强的计量单位 1 应力单位 Pa N m2 KPa MPa 法定计量单位 2 液柱高单位 国外 bar 巴 1bar 105Papsi 巴斯 1psi 6 89KPa mH2O mmHg等 3 大气压单位 1标准大气压 atm 760mmHg 1 01325bar 例题2 2 2 4静压强的计算与测量 三 静压强的测量 2 4静压强的计算与测量 三 静压强的测量 液柱式测压计 基于以静压强基本公式 1 测压管 如图2 11 1 可测水中大于大气压的计示压强 图2 11 2 可测空气中小于大气压的真空度 在左支管中 2 4静压强的计算与测量 2 U型测压计 在右支管中 于是 由此可得测点上的绝对压强为 其计示压强为 2 4静压强的计算与测量 3 压差计 水管下部为U形管式汞差压计 计算公式为 管道上部为倒U形管式水柱差压计 忽略空气密度 则其计算公式为 右边测管可以绕枢轴转动从而倾斜成较小的锐角 当待测的气体压强引入容器后 可使容器中液面下降 测管中液面上升h 形成平衡 于是 2 4静压强的计算与测量 4 微压计 2 4静压强的计算与测量 4 微压计 从原始液面算起 上下变动的液体体积应该相等 得到待测的计示压强 例题2 3 2 5平衡流体对壁面的作用力 一 任意空间壁面上的流体静压力 在与平衡液体相接触的空间壁面A上任取一个微元面积 假定它的淹没深度是h 则微元面积上的流体静压力为 整个受压面积A上的流体静压力为 2 5平衡流体对壁面的作用力 将微元面积上的流体静压力dF投影在x y z三个坐标轴上 可得 各坐标轴上的分量为 2 5平衡流体对壁面的作用力 压力体液重 静压力的大小为 其矢量作用线与曲面A的交点称为压力中心D 二 平面 柱面 封闭曲面上的流体静压力 特例1 平面上的流体静压力 1 平面上的作用力假定平面有一个对称袖LL 面积的形心C及压力中心D都在对称轴上 2 5平衡流体对壁面的作用力 微元面积dA上的压强 p p0 gh微元面积dA上的微小作用力为dFdF p0 gh dA p0 glsin dA 整个平板AB上的作用力F应为 F AdF Ap0dA A glsin dA p0A gsin AldA 式中 AldA lCA 面积矩定理lC 平面A形心C点的l轴坐标 2 5平衡流体对壁面的作用力 则F p0A gsin lCA p0 ghc A pCA式中 hC 平面A形心C处的液深 pC C点处的压强 上式表明 重力作用下 静止液体对平面壁的作用力等于平面形心处的静压强与平面面积的乘积 2 5平衡流体对壁面的作用力 2 压力中心 因FlD AldF式中 lD 平面A压力中心D点的l轴坐标 将F和dF的表达式代入上式得 p0 ghc AlD A p0 glsin ldA 或 p0 glCsin AlD p0 AldA gsin Al2dA式中 Al2dA Im Icm lC2A 平行移轴定理 2 5平衡流体对壁面的作用力 Im 平面A对m轴的惯性矩 ICm 平面A对通过其形心C并与m轴平行的C C轴的惯性矩 典型平面的ICm值可查表获得 2 5平衡流体对壁面的作用力 若p0 0 液面为大气压 则可得到很简单的形式 可见总有 lD lC 二者之间的距离为 压力中心D 作用点 液深 2 5平衡流体对壁面的作用力 若平面A关于l轴不是对称的 尚需求出点D的m轴坐标 才能确定压力中心D的位置 则D mD lD 式中 Iml 平面A对m轴和l轴的惯性积 2 5平衡流体对壁面的作用力 特例2 柱面上的流体静压力 讨论如图所示的二维曲面 柱面 上的静止液体的作用力F 设有一个承受液体压力的二维曲面ab 其面积为A 曲面在xoz坐标平面上的投影为曲线ab 液深为h处的微小曲面积dA上的液体微小作用力为dF dF p0 gh dA 2 5平衡流体对壁面的作用力 1 作用力的水平分力为Fy微小水平分力为 dFy dFcos p0 gh dAcos p0 gh dAy式中 dAy 微小曲面积dA在y轴方向 或xoz坐标平面 上的投影面积 则Fy AydFy Ay p0 gh dAy p0Ay g AyhdAy 2 5平衡流体对壁面的作用力 式中 AyhdAy hCAy 曲面A在yoz平面上的投影面积Ay对y轴的面积矩 hC 投影面积Ay形心处C的液深 所以 Fy p0Ay ghCAy p0 ghC Ay 作用力的水平分力 2 作用力的垂直分力Fz微小垂直分力为 dFz dFsin p0 gh dAsin p0 gh dAz式中 dAz 微小曲面积dA在z方向上的投影面积 则 Fz AzdFz Az p0 gh dAz p0Az g AzhdAz显然 式中 AzhdAz VF 曲面ab上方的液体体积 称为压力体 2 5平衡流体对壁面的作用力 液体对曲面的作用力 所以 Fz p0Az gVF 作用力的垂直分力 F的方向与垂直方向的夹角 F的作用方向 2 5平衡流体对壁面的作用力 特例3 封闭曲面上的流体静压力 铅直母线与物面接触点的连线将物面分割成上 下两个部分 上半部曲面acd上的铅直分压力等于压力体acbef的液重 下半部曲面adb上的铅直分压力等于压力体adbef的液重 整个潜体铅直方向的流体静压力为 方向向上 压力中心也就是潜体的形心 2 5平衡流体对壁面的作用力 三 压力体 积分式 AzhdAz 纯几何体积 定义 由所研究的曲面A 通过曲面A的周界 外缘 所作的垂直柱面 以及对曲面A有作用的液体自由液面 或其延伸面 所围成的封闭体积 用VF表示 称为压力体 压力体液重 gVF 例题2 4 2 5 例题 某水坝用一长方形闸门封住放水口 闸门高L 3m 宽B 4m 闸门两边水位分别为H1 5m H2 2m 闸门垂直放置 试确定 1 开启闸门时绳索的拉力 绳索与水平面的夹角为60 2 关闭闸门时A点处的支承力 解 1 作用在闸门右侧的总压力为 2 5平衡流体对壁面的作用力 2 5平衡流体对壁面的作用力 总压力F1的作用点 作用在闸门左侧的总压力为 总压力F2的作用点 2 5平衡流体对壁面的作用力 将闸门两侧的水压力及绳索拉力对转轴O点取矩 应有 即 求得绳索的拉力T 348 9KN 2 即 解得 FA 174 4KN 2 5平衡流体对壁面的作用力 例题 一圆柱形压力水罐 压力容器 半径R 0 5m 长l 2m 压力表读数pM 23 72KPa 试求 1 两端部平面盖板所受的水压力 2 上 下半圆筒所受的水压力 解 1 端盖板所受的水压力 2 上 下半圆筒所受的水压力 2 5平衡流体对壁面的作用力 或 压力表用测压管代替时 2 7液体的相对平衡 除了重力场中的流体平衡问题以外 还有一种在工程上常见的所谓液体相对平衡问题 液体质点彼此之间固然没有相对运动 但盛装液体的容器或机件却对地面上的固定坐标系有相对运动 如果我们把运动坐标取在容器或机件上 则对于这种所谓的非惯性坐标系来说 液体就成为相对平衡了 工程上常见的流体的相对平衡有两种 1 作匀加速直线运动容器中的液体 2 作等角速旋转运动容器中的液体 2 7液体的相对平衡 一 容器作匀加速直线运动 盛有液体的容器沿着与水平基面成 角的斜面向下以加速度a作作直线运动将运动坐标系取在容器上 并使坐标原点在自由液面上 x轴垂直纸面 成相对平衡的液体的每个质点均受有两种质量力 一种是与运动方向相反的虚构惯性力 一种是重力 2 7液体的相对平衡 则单位质量力分力为 1 等压面 在等压面上p C则dp 0 将上式代入等压面微分方程式即得 于是 等压面 包括自由表面 是与水平基面成倾角 的一簇平行平面 这簇平面必然与单位质量力am的方向互相垂直 2 7液体的相对平衡 2 静压强分布规律 将单位质量分力代入压强微分公式即得 当时 自由表面上的压强 则 2 7液体的相对平衡 作不定积分得 这就是流体静压强在不同点 y z 上的分布现律 特例1 即容器沿水平基面向左作匀加速运动 2 7液体的相对平衡 其等压面方程为 与单位质量力相垂直的平面簇的斜率等于运动加速度与重力加速度之比 静压强分布规律为 2 7液体的相对平衡 取液体中任意两点 对m点来说 对m 点来说 代表任何一点在倾斜自由液面下的铅直淹没深度 统以H表示 静压强可写为 特例2 即容器沿铅直方向向下作匀加速运动 2 7液体的相对平衡 其等压面方程为 即等压面为水平面 静压强分布规律为 2 7液体的相对平衡 当容器向上加速运动时 铅直向下的单位质量力大于重力 液体处于超重状态 式中 称为超重系数 说明 当容器向下加速运动时 铅直向下的单位质量力小于重力 液体处于失重状态 令 称为失重系数 2 7液体的相对平衡 二 容器作等角速回转运动 如图 盛有液体的圆柱形容器绕铅垂轴z以角速度 作旋转运动 当旋转角速度 稳定不变时 液体形成自由表面 液体质点之间不再有相对运动 将运动坐标系固结在回转容器上 且坐标原点取在自由液面的最低点 此时作用在液体上的质量力有两种 重力 W mg虚构的离心惯性力 F m 2r 方向与向心加速度的方向相反 2 7液体的相对平衡 下面讨论其静压强分布规律和等压面方程 单位质量力 2 7液体的相对平衡 单位质量液体所受质量力的各分量为 fx 2rcos 2xfy 2rsin 2yfz g式中 r流体质点到旋转轴的距离 x yr在两水平坐标轴上的投影 1 等压面 由平衡微分方程式的综合表达式可得等压面微分方程式 fxdx fydy fzdz 0 2 7液体的相对平衡 将各单位质量力的分量代入等压面微分方程式 可得 2xdx 2ydy gdz 0 作不定积分得 或 等角速旋转容器中液体的等压面方程 可见等压面是一簇绕z轴的旋转抛物面 2 7液体的相对平衡 在自由表面上 当r 0时 z 0 可得积分常数C 0 故自由表面方程为 上式中 z0 超高 自由表面上任一点的z坐标 即自由表面上的点比抛物面顶点所高出的铅直距离 式中 该点的圆周速度 则 或 液面的最大超高为 式中 R容器的内半径 vc容器内半径处的圆周速度 2 7液体的相对平衡 在Oxy坐标平