二元一次方程组优秀课件PPT.ppt

第八章二元一次方程组 一切问题都可以转化为数学问题 一切数学问题都可以转化为代数问题 而一切代数问题又都可以转化为方程问题 因此 一旦解决了方程问题 一切问题将迎刃而解 法国数学家笛卡儿 二元一次方程组 篮球联赛中 每场比赛都要分出胜负 每队胜一场得2分 负一场得1分 如果某队为了争取较好名次 想在全部22场比赛中得40分 那么这个队胜负场数应分别是多少 引言 用学过的一元一次方程能解决此问题吗 这可是两个未知数呀 篮球联赛中 每场比赛都要分出胜负 每队胜一场得2分 负一场得1分 如果某队为了争取较好名次 想在全部22场比赛中得40分 那么这个队胜负场数应分别是多少 那么 能设两个未知数吗 比如设胜x场 负y场 你能根据题意列出方程吗 用方程表示为 依题意有 两个耶 是我国古代较为普及的算书 许多问题浅显有趣 其中下卷第31题 鸡兔同笼 问题流传尤为广泛 飘洋过海传到了日本等国 今有鸡兔同笼 上有三十五头 下有九十四足 问鸡兔各几何 鸡兔同笼 设鸡有x只 兔y只 根据题意 得 著名的 鸡兔同笼 问题 今有鸡兔同笼 上有三十五头 下有九十四足 问鸡兔各几何 则有 两个方程 1 2个未知数 2 未知数的项的次数是1 含有两个未知数 并且所含未知数的项的次数都是1次的方程叫做二元一次方程 两个 1次 观察上面四个方程 有何共同特征 二元一次方程 像这样把两个二元一次方程合在一起 就组成了一个二元一次方程组 把两个方程写在一起 1 2个未知数 2 未知数的项的次数是1 含有两个未知数 并且所含未知数的项的次数都是1次的方程叫做二元一次方程 两个 1次 观察上面四个方程 有何共同特征 二元一次方程 1 一次 是指含未知数的项的次数是1 而不是未知数的次数 2 方程的左右两边都是整式 牛刀小试 哪些是二元一次方程 组 为什么 你猜 5 我们该称什么 012345 18 22 222120191817 4 0 我们再来看引言中的方程 符合问题的实际意义的x y的值有哪些 若不考虑实际意义你还能再找出几个方程的解吗 一般地 一个二元一次方程有无数个解 如果对未知数的取值附加某些限制条件 则可能有有限个解 课堂练习 1 下面4组数值中 哪些是二元一次方程2x y 10的解 2 找出上述方程的所有正整数解 鸡兔同笼 解 设鸡有x只 兔y只 根据题意 得 著名的 鸡兔同笼 问题 今有鸡兔同笼 上有三十五头 下有九十四足 问鸡兔各几何 两个方程 两个二元一次方程所组成的一组方程叫做二元一次方程组 牛刀小试 哪些是二元一次方程组 为什么 其中 3 也是二元一次方程组 只要两个一次方程合起来共有两个未知数 那么他们就组成一个二元一次方程组 你猜 2 我们该称什么 三元一次方程组 012345 18 22 222120191817 4 0 1 满足方程且符合问题的实际意义的x y的值有哪些 把它们填入下表中 012345 18 22 403836343230 4 4 2 满足方程且符合问题的实际意义的x y的值有哪些 把它们填入下表中 不难发现x 18 y 4既是x y 22的解 也是2x y 40的解 也就是说是这两个方程的公共解 我们把它们叫做方程组的解 记作 使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值 叫做二元一次方程的解 它的解有无数个 二元一次方程组的两个方程的公共解 叫做二元一次方程组的解 显然二元一次方程组只有一对解 记作 二元一次方程 组 的解 综上所述 1 方程2x 3y 8的解 A 只有一个B 只有两个C 只有三个D 有无数个 练一练 2 下列4组数值中 哪些是二元一次方程的解 4 方程组的解是 3 下列属于二元一次方程组的是 练一练 作业 第八章二元一次方程组 一切问题都可以转化为数学问题 一切数学问题都可以转化为代数问题 而一切代数问题又都可以转化为方程问题 因此 一旦解决了方程问题 一切问题将迎刃而解 法国数学家笛卡儿 复习旧知 我们都学习了一元一次方程的哪些知识 2 篮球联赛中 每场比赛都要分出胜负 在一次比赛中 甲队参加了22场比赛 那么在这次比赛中甲队胜 负场数分别是多少场 1 文具盒中有红 黄两种颜色的彩笔共10支 猜一猜红色 黄色彩笔个多少支 一 问题情境 设红色彩笔有x支 黄色彩笔有y支 则得方程 设甲胜的场数是x 负的场数是y 则得方程 x y 10 x y 22 x y 10 x y 22 注意 1 次数为1 方程 2 两边都是整式 方程 3 方程不含有xy项 方程 不是二元一次方程 不是二元一次方程 不是二元一次方程 1 每个方程都含有两个未知数 2 并且所含未知数的次数都是1 3 整式方程 叫做二元一次方程 8 4xy 5 0 1 x y 11 3 x2 y 5 2 m 1 2 4 3X 11 5 5x 4y 2 6 7 a 2b 11c 二元一次方程 不是二元一次方程 1 判断下列方程是不是二元一次方程 2 如果 a 1 x1a1 5y 100是二元一次方程 求a的值 解 方程 a 1 x1a1 5y 100是二元一次方程 1a1 1且a 1 a 一1 变式 1 若mxy 9x 3yn 1 7是关于x y的二元一次方程 则m n 2 若9x2m 1 3y3n 2m 7是关于x y的二元一次方程 则m n 甲队胜一场得2分 负一场得1分 比赛结束后甲队一共得到40分 用方程怎样表示呢 思考 这两个方程中的x y的含义相同吗 篮球联赛中 每场比赛都要分出胜负 在一次比赛中 甲队参加了22场比赛 那么在这次比赛中甲队胜 负场数分别是多少场 设甲胜的场数是x 负的场数是y 则得方程 x y 22 2x y 40 我们把这两个方程合在一起 就组成一个方程组 写成 像这样 把具有相同未知数的两个 或两个以上 二元一次方程合在起 就组成了一个二元一次方程组 注意 方程组中的各个方程 同一字母必须代表同一数量 注意 1 在方程组中 一共含有两个未知数 2 方程组中的方程可以是一元一次方程 比如 是二元一次方程组 不是二元一次方程组 下列方程组是二元一次方程组的有 A E 试一试你能行 使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫这个一元一次方程的解 怎样判断x 4是否为一元一次方程3x 4 8的解 回忆 探究 满足方程x y 22 且符合问题的实际意义的x y的值有哪些 请你把它们填入下表 二元一次方程的解 22 21 20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 5 6 4 3 2 1 0 一般地 使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值 叫做二元一次方程的解 注意 1 二元一次方程的解有无数组 除此之外 如果不考虑实际意义 x 1 y 23 x 0 5 y 21 5 也都是方程的解 2 二元一次方程的每一个解是一对数值 记为 二元一次方程组的解 一般地 二元一次方程组中的两个方程的公共解 叫做二元一次方程组的解 探究二元一次方程组的解 在上两表中 有一对值既满足x y 22也满足2x y 40 你能把它找出来吗 满足方程x y 22的解 满足方程2x y 40的解 我们发现是这两个方程的公共解 注意 1 二元一次方程组的解有且只有一组 把叫做二元一次方程组的解 2 二元一次方程组的每一个解是一对数值 记为 思考 1 判断是二元一次方程2x y 10的解 2 判断是二元一次方程组的解 是 不是 带入检验法 例1 连一连 把下列方程组的解和相应的方程组用线段连起来 x 1y 2 x 3y 2 x 2y 1 y 3 x3x 2y 8 y 2xx y 3 y 1 x3x 2y 5 例2 已知是二元一次方程2x 4y 2a 2的一个解 求4a 3的值 x 1y 3 2 1 4 3 2a 2 解得 a 6 所以4a 3 4 6 3 27 例3 x 1y 3 2x ay 7bx 3y 4 已知 是方程组 的解 求4a b的值 所以 4a b 4 3 13 1 练习 已知是方程4x my 10和mx ny 11的公共解 求m2 2n的值 x 3y 1 小结 含有两个未知数 x和y 并且未知数的次数都是1的整式方程 使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值 有且只有1个 无穷多个 代入使方程成立 代入使方程组成立 二元一次方程组中的两个方程的公共解 把具有相同未知数的两个二元一次方程合在起组成的方程组 1 1 若方程2x2m 3 3y3n 7 4是关于x y的二元一次方程 则m n 练习 2 已知是方程2x 4y 2a 2一个解 则a x 1y 3 8 8 2消元 用代入法解二元一次方程组 第1课时 学校准备建设一个周长为60米的长方形游泳池 要求游泳池的长是宽的2倍 为了帮建筑工人计算出长和宽各是多少米 请你列出相应的方程组 解 设游泳池的宽为x米 长为y米 则 2x 2y 60 y 2x 问题情境 想一想如何求解 2x 4x 60 上面的解方程组的基本思路是什么 基本步骤有哪些 上面解方程组的基本思路是把 二元 转化为 一元 消元 主要步骤是 将含一个未知数表示另一个未知数的代数式 代入另一个方程中 从而消去一个未知数 化二元一次方程组为一元一次方程 这种解方程组的方法称为代入消元法 简称代入法 归纳 将未知数的个数由多化少 逐一解决的想法 叫做消元思想 解 把 代入 得 2y 3 y 1 1 2y 3y 3 1 2y 3y 1 3 y 2 y 2 把y 2代入 得 x y 1 2 1 1 2y 3x 1 x y 1 y 1 谈谈思路 谈谈思路 解 把 代入 得 2y 3 y 1 1 2y 3y 3 1 2y 3y 1 3 y 2 y 2 把y 2代入 得 x y 1 2 1 1 例2解方程组 解 由 得 x 3 y 把 代入 得 3 3 y 8y 14 把y 1代入 得 x 2 1 将方程组里的一个方程变形 用含有一个未知数的式子表示另一个未知数 2 用这个式子代替另一个方程中相应的未知数 得到一个一元一次方程 求得一个未知数的值 3 把这个未知数的值代入上面的式子 求得另一个未知数的值 4 写出方程组的解 变 代 求 写 9 3y 8y 14 5y 5 y 1 说说方法 解二元一次方程组 1 2 3 4 2 用代入法解二元一次方程组 1 2 1 二元一次方程组 这节课我们学习了什么知识 代入消元法 一元一次方程 2 代入消元法的一般步骤 3 思想方法 转化思想 消元思想 方程 组 思想 变 代 求 写 1 转化 基础 目标 41页1 6题 42页9 11题 提高 目标 41页7题 42页12题 3 已知是二元一次方程组的解 则a b 4 已知 a 2b 5 2 4a b 6 0 求a和b的值 3 1 5 已知钢笔每只5元 圆珠笔每只2元 小明用16元钱买了这两种笔共5支 试求小明买钢笔和圆珠笔各多少支 解 设小明买钢笔x支 买圆珠笔y支 根据题意列出方程组得 x y 55x 2y 16 解得 x 2y 3 答 小明买钢笔2支 买圆珠笔3支 6 如图所示 将长方形 的一个角折叠 折痕为 BAD比 BAE大48 设 BAE和 BAD的度数分别为x y度 那么x y所适合的一个方程组是 A B C D C 探索与实践 小组竞赛 设甲数为x 乙数为y 根据下列语句 列二元一次方程 1 甲数的3倍比乙数大5 2 甲数比乙数的2倍少2 3 甲数的2倍与乙数的3倍的和是20 4 甲乙两数之差为2 3x y 5 x 2y 2 2x 3y 20 x y 2 探索与实践 1 甲数的3倍比乙数大5 2 甲数比乙数的2倍少2 3 甲数的2倍与乙数的3倍的和是20 4 甲乙两数之差为2 x y 2 2x 3y 20 x 2y 2 3x y 5 小组竞赛 8 2 2解二元一次方程组 加减法 2 用代入法解方程的关键是什么 1 根据等式性质填空 思考 若a b c d 那么a c b d吗 3 解二元一次方程组的基本思路是什么 b c bc 等式性质1 等式性质2 若a b 那么ac 若a b 那么a c 消元 主要步骤 基本思路 4 写解 3 求解 2 代入 把变形后的方程代入到另一个方程中 消去一个元 分别求出两个未知数的值 写出方程组的解 1 变形 用含有一个未知数的代数式表示另一个未知数 写成y ax b或x ay b 消元 二元 1 解二元一次方程组的基本思路是什么 2 用代入法解方程的步骤是什么 一元 例1 解方程组 还有其他的方法吗 解方程组 如果把这两个方程的左边与左边相减 右边与右边相减 能得到什么结果 分析 左边 左边 右边 右边 左边与左边相减所得到的代数式和右边与右边相减所得到的代数式有什么关系 解方程组 将y 2代入 得 解方程组 解 由 得 将y 2代入 得 即 即 所以方程组的解是 例2 解方程组 分析 可以发现7y与 7y互为相反数 若把两个方程的左边与左边相加 右边与右边相加 就可以消去未知数y 用什么方法可以消去一个未知数 先消去哪一个比较方便 解方程组 解 由 得 将x 2代入 得 所以方程组的解是 1 总结 当两个二元一次方程中同一个未知数的系数相反或相等时 把两个方程的两边分别相加或相减 就能消去这个未知数 得到一个一元一次方程 这种方法叫做加减消元法 简称加减法 同减异加 分别相加 y 1 已知方程组 两个方程 就可以消去未知数 分别相减 2 已知方程组 两个方程 就可以消去未知数 x 一 填空题 只要两边 只要两边 练习 二 用加减法解二元一次方程组 做一做 例3 问题1 这两个方程直接相加减能消去未知数吗 为什么 问题2 那么怎样使方程组中某一未知数系数的绝对值相等呢 本例题可以用加减消元法来做吗 例4 上述哪种解法更好呢 通过对比 总结出应选择方程组中同一未知数系数绝对值的最小公倍数较小的未知数消元 加减法归纳 用加减法解同一个未知数的系数绝对值不相等 且不成整数倍的二元一次方程组时 把一个 或两个 方程的两边乘以适当的数 使两个方程中某一未知数的系数绝对值相等 从而化为第一类型方程组求解 1 下列方程组求解过程对吗 若有错误 请给予改正 解 一 得 2x 4 4x 0 请同学们用你所学的知识检验一下你的能力 解 一 得 2x 12x 6 解 3 得 9x 12y 16 2 得 5x 12y 66 十 得 14x 82 x 41 7 3 5x 6y 9 2 7x 4y 5 1 1 若方程组的解满足2x 5y 1 则m为多少 2 若 3x 2y 5 2 5x 3y 8 0求x2 y 1的值 你能把我们今天内容小结一下吗 1 本节课我们知道了用加减消元法解二元一次方程组的基本思路仍是 消元 主要步骤是 通过两式相加 减 消去其中一个未知数 2 把求出的解代入原方程组 可以检验解题过程是否正确 8 3实际问题与二元一次方程组 1 悟空顺风探妖踪 千里只行四分钟 归时四分行六百 风速多少才称雄 顺风速度 悟空行走速度 风速逆风速度 悟空行走速度 风速 解 设悟空行走速度是每分钟x里 风速是每分钟y里 4 x y 600 x 200y 50 答 风速是每分钟50里 4 x y 1000 解得 依题意得 列方程组解应用题的步骤 审题设未知数列方程组解方程组检验答 养牛场原有30只大牛和15只小牛 1天约需要饲料675kg克 一周后又购进12只大牛和5只小牛 这时1天约需要饲料940kg 饲养员李大叔估计平均每只大牛1天约需饲料18至20kg 每只小牛1天约需要饲料7至8kg 请你通过计算检验李大叔的估计是否正确 自主探究 1 怎样检验他的估计呢 2 题目中包含怎样的等量关系 这就是说 每只大牛约需饲料 kg 每只小牛约需饲料 kg 因此 饲料员李大叔对大牛的食量估计较准确 对小牛的食量估计偏高 你的答案对了吗 解得 20 5 化简得 解 设平均每只大牛和每只小牛1天各约需饲料xkg和ykg 依题意得 练一练 长18米的钢材 要锯成10段 而每段的长只能取 1米或2米 两种型号之一 小明估计2米的有3段 你们认为他估计的是否准确 为什么呢 那2米和1米的各应取多少段 解 设应取2米的x段 1米的y段 努力提高自我 答 小明估计不准确 米的应取 段 1米的应取 段 解得 依题意得 努力提高自我 试一试 某高校共有5个大餐厅和2个小餐厅 经过测试 同时开放1个大餐厅和2个小餐厅 可供1680名学生就餐 同时开放2个大餐厅和1个小餐厅 可供2280名学生就餐 1 求1个大餐厅和1个小餐厅分别可供多少名学生就餐 2 若7个餐厅同时开放 请估计一下能否供应全校的5300名学生就餐 请说明理由 解 1 设1个大餐厅和1个小餐厅分别可供x名 y名学生就餐 x 2y 1680 2x y 2280 解得 x 960 y 360 2 若7个餐厅同时开放 则有5 960 2 360 5320 答 1 1个大餐厅和1个小餐厅分别可供960名 360名学生就餐 2 若7个餐厅同时开放 可以供应全校的5300名学生就餐 5320 5300 依题意得 想一想 某蔬菜公司收购到某种蔬菜140吨 准备加工上市销售 该公司的加工能力是 每天可以精加工6吨或粗加工16吨 现计划用15天完成加工任务 该公司应安排几天精加工 几天粗加工 解 设该公司应安排x天精加工 y天粗加工 x y 156x 16y 140 解得 x 10y 5 答 该公司应安排x10天精加工 5天粗加工 拓展延伸 依题意得 哼 我从你背上拿来1个 我的包裹数就是你的2倍 累死我了 你还累 这么大的个 才比我多驮了2个 真的 谁的包裹多 解 设马驮了x个 牛驮了y个 根据题意 得 现有20人生产某种零件 每人每天可以生产螺杆2个或者做螺帽3个 如果1个螺杆和2个螺帽可以做成一个零件 那么能否把这20人分成两部分 一部分人做螺杆 一部分人做螺帽 使每天做成的螺杆和螺帽正好配套 分析 设x人生产螺杆 则可以生产2x个 y人生产螺帽 则可以生产3y个 根据题意 得 注意 此方程没有整数解 如果是28人呢 实际问题 数学问题 方程 组 数学问题的解 实际问题的答案 必做题 教科书118页到119页复习题8第3 1 7 8题 选做题 教科书119页复习题8第9题 作业布置 感悟数学 娱乐生活 谢谢大家 第八章二元一次方程组 做一做 1 把长方形纸片折成面积相等的两个小长方形 有哪些折法 2 把长方形纸片折成面积之比为1 2的两个小长方形 又有哪些折法 按面积分割长方形的问题可转化为分割边长的问题 归纳 导学提纲 1 自学课本P114探究2并完成课本中的分析 2 思考 1 甲 乙两种作物的单位面积产量的比是1 1 5 是什么意思 2 甲 乙两种作物的总产量的比是3 4 是什么意思 3 本题中有哪些等量关系 3 你还能设计其他种植方案吗 例1 据以往的统计资料 甲 乙两种作物的单位面积产量的比是1 1 5 现要在一块长200m 宽100m的长方形土地上种植这两种作物 怎样把这块地分为两个长方形 使甲 乙两种作物的总产量的比是3 4 结果取整数 应用数学 解决实际问题 甲种作物的总产量 甲的单位面积产量 甲的种植面积 乙种作物的总产量 乙的单位面积产量 乙的种植面积 解 设AE为x米 BE为y米 由题意得 A B C D E x y 答 过长方形土地的长边上离一端约106米处 把这块地分为两个长方形 较大一块地种甲种作物 较小一块地种乙种作物 A B C D E y x 解 设CE为x米 BE为y米 由题意得 答 过长方形土地的短边上离一端约53米处 把这块地分为两个长方形 较大一块地种甲种作物 较小一块地种乙种作物 据以往的统计资料 甲 乙两种作物的单位面积产量的比是1 1 5 现要在一块长200m 宽100m的长方形土地上种植这两种作物 从长方形边的中点出发引出一条线段怎样把这块地分为两部分 使甲 乙两种作物的总产量的比是3 4 结果取整数 变式 例2 小龙在拼图时 发现8个一样大的小长方形 恰好可以拼成一个大长方形 如图甲所示 陈晔看见了说 我来试一试 结果陈晔七拼八凑 拼成一个如图乙的正方形 中间留下一个洞 恰好是边长2mm的小正方形 你能算出小长方形的长和宽吗 甲 乙 例3 一个长方形 它的长减少4cm 宽增加2cm 所得的是一个正方形 它的面积与长方形的面积相等 求原长方形的长与宽 解 设长方形的长为xcm 宽为ycm 由题意得 实际问题 数学问题 方程 组 数学问题的解 实际问题的答案 一 回顾交流 导入课题 课前准备 某班文艺小组购买每张3元 5元的杂技票共计20张 用去76元 问其中3元票 5元票各几张 解 设3元票张 5元票张 依题意得 解方程组得 答 3元票12张 5元票8张 一 回顾交流 导入课题 1 列方程组解应用题的步骤是什么 审 审题 分析题中已知什么 求什么 明确各数量之间的关系 设 设未知数 一般求什么 就设什么为x y 注意单位 找 找出能够表示应用题全部意义的两个相等关系 列 根据这两个相等关系列出需要的代数式 进而列出两个方程 组成方程 解 解所列方程组 得未知数的值 验 检验求得的值是否正确和符合实际情形 答 写出答案 包括单位名称 2 列方程组解应用题的关键是什么 或者说让大家感觉最难的 最困惑的部分是什么 找到题中的等量关系 二 创设情景 激发兴趣 如图 长青化工厂与A B两地有公路 铁路相连 长青化工厂从A地购买原料运回工厂 每吨运费159元 再把产品从工厂运到B地销售 每吨的运费为162元 试求铁路 公路运费的单价是多少元 吨 千米 审题 2 已知的量 3 要求的量 1 运费的单位 元 吨 千米 的含义 原料从A地运回工厂 每吨运费159元 产品从工厂运到B地 每吨运费162元 铁路 公路运费的单价 已知量与未知量的关系 原料的铁路运费 原料的公路运费 每吨原料的运费 产品的铁路运费 产品的公路运费 每吨产品的运费 解 设铁路运费为元 吨 千米 公路运费为元 吨 千米 依题意得 答 铁路运费为1 2元 吨 千米 公路运费为1 5元 吨 千米 解方程组得 整理方程组得 探索分析 解决问题 例题 探究3 如图 长青化工厂与A B两地有公路 铁路相连 这家工厂从A地购买一批每吨1000元的原料运回工厂 制成每吨8000元的产品运到B地 公路运价为1 5元 吨 千米 铁路运价为1 2元 吨 千米 这两次运输共支出公路运费15000元 铁路运费97200元 这批产品的销售款比原料费与运输费的和多多少元 设问1 原料的数量与产品的数量一样多吗 不一样 设问2 那些量设为未知数 销售款与产品数量有关 原料费与原料数量有关 而公路运费和铁路运费与产品数量和原料数量都有关 因此设 产品吨重 原料吨重 设问3 如何分析题目中的数量关系 能否用列表分析 列表分析 1 5 20X 1 2 110X 1 5 10Y 1 2 120Y 1 5 20X 10Y 1 2 110X 120Y 8000X 1000Y 由上表可列方程组 解这个方程组 得 销售款为 原料费为 运输费为 8000X300 2400000 元 1000X400 400000 元 15000 97200 112200 元 所以销售款比原料费与运输费的和多 2400000 400000 112200 1887800 元 答 销售款比原料费与运输费的和多元 三 课堂练习 反馈调控 1 电力行业中峰谷的含义是用山峰和山谷来形象地比喻用电负荷特性的变化幅度一般白天的用电比较集中 用电功率比较大 而夜里人们休息时用电比较小 所以通常白天的用电称为是高峰用电 即8 00 22 00 深夜的用电是低谷用电即22 00 次日8 00 若某地的高峰电价为每千瓦时0 56元 低谷电价为每千瓦时0 28元 八月份小彬