椭圆题型总结(较难)

2017 届数学补充材料 每天都有好心情 1 椭圆题型总结椭圆题型总结 一 焦点三角形一 焦点三角形 1 设 F1 F2是椭圆的左 右焦点 弦 AB 过 F2 求的面积的最大值 1 23 22 yx 1 ABF 法一 解 如图 设 2 0 xF B 22 AFm BFn 根据椭圆的定义 又 1 2 3AFm 1 2 3BFn 12 2FF 在 AF2F1和 BF2F1中应用余弦定理 得 22 22 2 3 44cos 2 3 44 cos mmm nnn 2 3cos m 2 3cos n 1 12 11 2 sin 22 F ABBA SFFyymn 22 sin 3cos3cos 2 4 3sin 2sin 令 所以 在上是增函数sint 01t 2 1 2 2 t g t t t t 0 1 当 即时 故的面积的最大值为 1t 2 max 1 3 g t 1 ABF 4 3 3 法二 解 解 设 AB x my 1 与椭圆 2x2 3y2 6 联立 消 x 得 2m2 3 y2 4my 4 0 AB 过椭圆内定点 F2 恒大于 0 设 A x1 y1 B x2 y2 则 48 m2 1 y1 y2 1 ABF S 4 3 2 2 1 23 m m 4 3 2 22 1 23 m m 令t m2 1 1 m2 t 1 则 t 1 1 ABF S 4 3 1 1 44t t f t 在 t 1 上单调递增 且 f t 9 1 44t t t 1 即 m 0 时 ABF1的面积的最大值为 4 3 3 注意 注意 上述 AB 的设法 x my 1 方程中的 m 相当于直线 AB 的斜率的倒数 但又包含斜率不存在的情 况 即 m 0 的时候 在直线斜率不等于零时都可以这样设 往往可使消元过程简单化 而且避免了讨论 F2F1 A O B x y F2F1 A O B x y 2017 届数学补充材料 每天都有好心情 2 2 如图 M 2 0 和 N 2 0 是平面上的两点 动点 P 满足 6 PMPN 1 求点 P 的轨迹方程 2 若 求点 P 的坐 2 1 cos PMPN MPN 标 解 1 由椭圆的定义 点 P 的轨迹是以 M N 为焦点 长轴长 2a 6 的椭 圆 因此半焦距 c 2 长半轴 a 3 从而短半轴 b 所 22 5ac 以椭圆的方程为 22 1 95 xy 2 由得 2 1 cos PMPN MPN Acos2 PMPNMPNPMPN AA 因为不为椭圆长轴顶点 故 P M N 构成三角形 cos1 MPNP 在 PMN 中 4 MN 由余弦定理有 222 2cos MNPMPNPMPNMPN A 将 代入 得 22 2 42 2 PMPNPMPN A 故点 P 在以 M N 为焦点 实轴长为的双曲线上 2 3 2 2 1 3 x y 由 知 点 P 的坐标又满足 所以由方程组 解得 22 1 95 xy 22 22 5945 33 xy xy 3 3 2 5 2 x y 即 P 点坐标为 3 353 353 353 35 22222222 或 二 点差法二 点差法 定理定理 在椭圆在椭圆 0 0 中 若直线 中 若直线 与椭圆相交于与椭圆相交于 M N 两点 点两点 点是弦是弦1 2 2 2 2 b y a x abl 00 yxP MN 的中点 弦的中点 弦 MN 所在的直线所在的直线 的斜率为的斜率为 则 则 l MN k 2 2 0 0 a b x y kMN 3 直线 l 经过点 A 1 2 交椭圆于两点 P1 P2 22 1 3616 xy 1 若 A 是线段 P1P2的中点 求 l 的方程 2 求 P1P2的中点的轨迹 2017 届数学补充材料 每天都有好心情 3 解 1 设 P1 x1 y1 P2 x2 y2 则 1 1636 1 1636 2 2 2 2 2 1 2 1 yx yx 0 16 36 21212121 yyyyxxxx A 1 2 是线段 P1P2的中点 x1 x2 2 y1 y2 4 即 0 16 4 36 2 2121 yyxx 9 2 21 21 xx yy l 的方程为 即 2x 9y 20 0 2 1 9 2 xy 2 设 P1P2的中点 M x y 则 x1 x2 2x y1 y2 2y 代入 式 得 又直线 l 经过点 A 1 2 y x xx yy k 9 4 21 21 2 1 y k x 整理 得 4x x 1 9y y 2 0 P1P2的中点的轨迹 2 2 1 1 2 1 510 29 x y 4 在直角坐标系中 经过点且斜率为的直线 与椭圆有两个不同的交点 P 和xOy 2 0 kl1 2 2 2 y x Q 1 求的取值范围 k 2 设椭圆与轴正半轴 轴正半轴的交点分别为 A B 是否存在常数 使得向量xyk 与共线 如果存在 求的取值范围 如果不存在 请说明理由 OQOP ABk 解 1 直线 的方程为l 2 kxy 由得 直线 与椭圆有两个不同的交点 1 2 2 2 2 y x kxy 0 224 12 22 kxxk l1 2 2 2 y x 0 解之得 或 12 832 22 kkk 2 2 k 2 2 的取值范围是 k 2 2 2 2 2 在椭圆中 焦点在轴上 1 2 2 2 y x x1 2 ba 1 2 1 0 0 2 ABBA 设弦 PQ 的中点为 则 00 yxM 100 yxOM P2 P1 y x A O 2017 届数学补充材料 每天都有好心情 4 由平行四边形法则可知 与共线 与共线 2OMOQOP OQOP AB OMAB 从而 12 00 yx 2 2 0 0 x y 由得 2 2 0 0 a b x y kPQ 2 1 2 2 k 2 2 k 由 1 可知时 直线 与椭圆没有两个公共点 不存在符合题意的常数 2 2 kl k 三 最值问题三 最值问题 5 已知 P 为椭圆上任意一点 M m 0 m R 求 PM 的最小值 2 2 1 4 x y 目标 目标 复习巩固定点与圆锥曲线上的点的连线段的最值问题 提示 提示 设 P x y 用距离公式表示出 PM 利用二次函数思想求最小值 解 解 设 P x y PM 22 xmy 2 2 1 4 x xm 2 3 21 4 x mx x 2 2 结合相应的二次函数图像可得 2 2 34 1 433 mm x 1 2 即 m2 即 m 时 PM min m 2 4 3 m3 2 说明 说明 1 类似的 亦可求出最大值 2 椭圆上到椭圆中心最近的点是短轴端点 最小值为 b 最远 的点是长轴端点 最大值为 a 3 椭圆上到左焦点最近的点是长轴左端点 最小值为 a c 最远的点是 长轴右端点 最大值为 a c 6 在椭圆求一点 P 是它到直线 l x 2y 10 0 的距离最小 并求最大最小值 2 2 1 4 x y 目标 目标 复习研究圆锥曲线上的点与直线的距离问题的一 般处理方法 提示 提示 1 可等价转化为与直线 l 平行的椭圆的切线与 直线 l 之间的距离 1 也可以用椭圆的参数方程 解法一 解法一 设直线 m x 2y m 0 与椭圆 2 2 1 4 x y 2017 届数学补充材料 每天都有好心情 5 相切 则 消去 x 得 8y2 4my m2 4 0 2 2 20 1 4 xym x y 0 解得 m 2 2 当 m 时 直线与椭圆的切点 P 与直线 l 的距离最近 最近为 此时点 P 的2 2 102 2 5 2 10 2 5 5 坐标是 2 2 2 当 m 时 直线与椭圆的切点 P 与直线 l 的距离最远 最远为 此时点 P2 2 102 2 5 2 10 2 5 5 的坐标是 2 2 2 解法二 解法二 设椭圆上任意一点 P 2cos sin 0 2 则 P 到直线 l 的距离为 2cos2sin10 5 2 2sin 10 4 5 当 时 P 到直线 l 的距离最大 最大为此时点 P 的坐标是 4 2 10 2 5 5 2 2 2 当 时 P 到直线 l 的距离最小 最小为 此时点 P 的坐标是 5 4 2 10 2 5 5 2 2 2 说明 说明 在上述解法一中体现了 数形结合 的思想 利用数形结合顺利把点与直线的距离问题迅速转化成两 平行线间的距离 在解法二中 利用椭圆的参数方程可迅速达到消元的目的 而且三角形式转换灵活多 变 利用正余弦的有界性求最值或取值范围问题是一个不错的选择 7 设 AB 是过椭圆中心的弦 F1是椭圆的上焦点 22 1 925 xy 1 若 ABF1面积为 4 求直线 AB 的方程 2 求 ABF1面积的最大值 5 解 1 设 AB y kx 代入椭圆 22 1 925 xy 得 x2 2 1 1 925 k 2 225 259k x1 x2 2 225 259k 又 S ABF1 1 2 OF1 x1 x2 2 x1 x2 45 x1 x2 25 2 225 259k 5 k 2 5 3 直线 AB 的方程为 y 2 5 3 x 2 S ABF1 1 2 OF1 x1 x2 4 2 225 259k 当 k 0 时 S ABF1 Max 12 2017 届数学补充材料 每天都有好心情 6 8 2014 金山区一模 23 题 已知曲线所围成的封闭图形的面积为 曲 0 1 1 ba b y a x C54 线的内切圆半径为 记曲线是以曲线与坐标轴的交点为顶点的椭圆 设是过椭圆中 1 C 3 52 2 C 1 CAB 2 C 心的任意弦 是线段的垂直平分线 是 上异于椭圆中心的点 lABMl 1 求椭圆的标准方程 2 C 2 若 为坐标原点 当点在椭圆上运动时 求点的轨迹方程 OAmMO OA 2 CM 3 若是 与椭圆的交点 求的面积的最小值 Ml 2 CABM 解答 1 C1是以 a 0 0 b a 0 0 b 为顶点的菱形 故 2 分 又 a b 0 解得 a2 5 b2 4 因此所求的椭圆的标准方程为 4 分 2 假设 AB 所在的直线斜率存在且不为零 设 AB 所在直线方程为 y kx k 0 A xA yA 令 得 OA 2 6 分 设 M x y 由题意得 MO 2 m2 OA 2 m 0 即 因为 l 是 AB 的垂直平分线 所以直线 l 的方程为 代入上式消去 k 得 又 x2 y2 0 整理得 m 0 9 分 当 k 0 或斜率不存在时 上式仍然成立 2017 届数学补充材料 每天都有好心情 7 综上所述 点 M 的轨迹方程为 m 0 10 分 3 当 k 存在且不为零时 由 2 得 OA 2 由 得 OM 2 13 分 AB 2 4 OA 2 故 14 分 当且仅当 4 5k2 5 4k2时 即 k 1 时 等号成 立 此时 ABM 的面积的最小值为 16 分 当 k 0 时 当 k 不存在时 综上所述 ABM 的面积的最小值为 18 分 9 设椭圆中心在坐标原点 是它的两个顶点 直线与 AB 相交于点 与 2 0 01 AB 0 kkxyD 椭圆相交于 两点 EF 1 若 求的值 2 求四边形面积的最大值 6EDDF kAEBF 1 解 依题设得椭圆的方程为 2 2 1 4 x y 直线的方程分别为 如图 设ABEF 22xy 0 ykx k 其中 且满足方程 故 001122 D xkxE xkxF xkx 12 xx 12 xx 22 14 4kx 21 2 2 14 xx k 2017 届数学补充材料 每天都有好心情 8 由知 得 6EDDF 0120 6 xxxx 0212 2 1510 6 77 7 14 xxxx k 由在上知 得 所以 DAB 00 22xkx 0 2 12 x k 2 210 12 7 14 k k 化简得 解得或 2 242560kk 2 3 k 3 8 k 2 解法一 根据点到直线的距离公式和 式知 点到的距离分别为EF AB 2 11 1 2 222 1214 5 5 14 xkxkk h k 2 22 2 2 222 1214 5 5 14 xkxkk h k 又 所以四边形的面积为 2 215AB AEBF 12 1 2 SAB hh 2 14 12 5 2 5 14 k k AA 2 2 12 14 k k 2 2 144 2 14 kk k 2 2 当 即当时 上式取等号 所以的最大值为 21k 1 2 k S2 2 解法二 由题设 1BO 2AO 设 由 得 故四边形的面积为 11 ykx 22 ykx 2 0 x 21 0yy AEBF BEFAEF SSS 22 2xy 2 22 2 xy 22 2222 44xyx y 22 22 2 4 xy 2 2 当时 上式取等号 所以的最大值为 22 2xy S2 2 四 垂直关系四 垂直关系 10 上海春季 已知椭圆的两个焦点分别为 短轴的两个端点分别为 C 1 1 0 F 2 1 0 F 1 B 2 B 1 若为等边三角形 求椭圆的方程 112 FB B C 2 若椭圆的短轴长为 过点的直线 与椭圆相交于两点 且 求直线 的方程 C2 2 FlC P Q 11 FPFQ l 解 1 设椭圆的方程为 C 22 22 1 xy ab 0ab 根据题意知 解得 故椭圆的方程为 22 2 1 ab ab 2 4 3 a 2 1 3 b C 22 1 41 33 xy 2 容易求得椭圆的方程为 C 2 2 1 2 x y 当直线 的斜率不存在时 其方程为 不符合题意 l1x 当直线 的斜率存在时 设直线 的方程为 ll 1 yk x 2017 届数学补充材料 每天都有好心情 9 由 得 2 2 1 1 2 yk x x y 2222 21 42 1 0kxk xk 设 则 11 P xy 22 Q xy 2 12 2 4 21 k xx k 2 12 2 2 1 21 k x x k 111 1 FPxy 122 1 FQxy 因为 所以 即 11 FPFQ 11 0FP FQ 2 1212121212 1 1 1 1 1 xxy yx xxxkxx 222 1212 1 1 1kx xkxxk 2 2 71 0 21 k k 解得 即 2 1 7 k 7 7 k 故直线 的方程为或 l710 xy 710 xy 11 如图 设椭圆的上顶点为 B 右焦点为 F 直线 l 与椭圆交于 M N 两点 问是否存在直 1 2 2 2 y x 线 l 使得 F 为的垂心 若存在 求出直线 l 的方程 若不存在 说明理由 BMN 解 由已知可得 B 0 1 F 1 0 kBF 1 BF l 可设直线 l 的方程为 y x m 代入椭圆方程整理 得 22 34220 xmxm 设 11 M xy 22 N xy 则 12 4 3 m xx 2 12 22 3 m x x BN MF 即 12 12 1 1 1 yy xx 121212 0y yx xyx 11 yxm 22 yxm 121212 0 xm xmx xxmx 即 2 1212 2 1 0 x xmxxmm 或 2 2 224 2 1 0 33 mm mmm 2 340mm 4 3 m 1m 由 得 222 4 12 22 2480mmm 2 3m 又时 直线 l 过 B 点 不合要求 1m 4 3 m 故存在直线 l 满足题设条件 4 3 yx F B N M l O x y 2017 届数学补充材料 每天都有好心情 10 12 2012年高考 湖北理 设A是单位圆 22 1xy 上的任意一点 l是过点A与x轴垂直的直线 D是直线l与x轴的交点 点M在直线l上 且满足 0 1 DMm DAmm 且 当点A在圆上运动时 记点 M 的轨迹为曲线C 求曲线C的方程 判断曲线C为何种圆锥曲线 并求其焦点坐标 过原点且斜率为k的直线交曲线C于P Q两点 其中P在第一象限 它在y轴上的射影为 点N 直线QN交曲线C于另一点H 是否存在m 使得对任意的0k 都有PQPH 若存在 求 m的值 若不存在 请说明理由 解析 如图 1 设 M x y 00 A xy 则由 0 1 DMm DAmm 且 可得 0 xx 0 ym y 所以 0 xx 0 1 yy m 因为A点在单位圆上运动 所以 22 00 1xy 将 式代入 式即得所求曲线C的方程为 2 2 2 1 0 1 y xmm m 且 因为 0 1 1 m 所以 当01m 时 曲线C是焦点在x轴上的椭圆 两焦点坐标分别为 2 1 0 m 2 1 0 m 当1m 时 曲线C是焦点在y轴上的椭圆 两焦点坐标分别为 2 0 1 m 2 0 1 m 解法 1 如图 2 3 0k 设 11 P x kx 22 H xy 则 11 Qxkx 1 0 Nkx 直线QN的方程为 1 2ykxkx 将其代入椭圆C的方程并整理可得 2222222 11 4 40mkxk x xk xm 依题意可知此方程的两根为 1 x 2 x 于是由韦达定理可得 2 1 12 22 4 4 k x xx mk 即 2 1 2 22 4 m x x mk 因为点 H 在直线 QN 上 所以 2 1 212 22 2 2 4 km x ykxkx mk 于是 11 2 2 PQxkx 22 11 2121 2222 42 44 k xkm x PHxxykx mkmk 而PQPH 等价于 222 1 22 4 2 0 4 mk x PQ PH mk 即 2 20m 又0m 得2m 故存在2m 使得在其对应的椭圆 2 2 1 2 y x 上 对任意的0k 都有PQPH 2017 届数学补充材料 每天都有好心情 11 解法 2 如图 2 3 1 0 1 x 设 11 P x y 22 H xy 则 11 Qxy 1 0 Ny 因为P H两点在椭圆C上 所以 2222 11 2222 22 m xym m xym 两式相减可得 22222 1212 0mxxyy 依题意 由点P在第一象限可知 点H也在第一象限 且P H不重合 故 1212 0 xxxx 于是由 式可得 21212 1212 yyyy m xxxx 又Q N H三点共线 所以 QNQH kk 即 112 112 2yyy xxx 于是由 式可得 2 1121212 1121212 1 2 2 PQPH yyyyyyym kk xxxxxxx 而PQPH 等价于1 PQPH kk 即 2 1 2 m 又0m 得2m 故存在2m 使得在其对应的椭圆 2 2 1 2 y x 上 对任意的0k 都有PQPH 13 10 浙江 21 已知 m 1 直线 椭圆 分别为椭圆的左 2 0 2 m l xmy 2 2 2 1 x Cy m 12 F FC 右焦点 1 当直线 过右焦点时 求直线 的方程 l 2 Fl 2 设直线 与椭圆 C 交于 A B 两点 的重心分别为 若原点 O 在以线段 GH 为直l 12 AFFV 12 BFFV G H 径的圆内 求实数 m 的取值范围 解 因为直线经过 所以 得 l 2 0 2 m xmy 2 2 1 0 Fm 2 2 1 2 m m 2 2m 又因为 所以 故直线 的方程为 1m 2m l210 xy 设 1122 A x yB xy 由 消去 x 得 2 2 2 2 2 1 m xmy x y m 2 2 210 4 m ymy 则由 知 且有 2 22 8 1 80 4 m mm 2 8m 2 1212 1 282 mm yyyy 由于 由重心坐标公式可知 12 0 0 FcF c 1122 3333 xyxy GH 22 2 1212 99 xxyy GH P O x y N Q 图 2 01 m H P O x y N Q 图 3 1 m H 图 1 O D x y A M 2017 届数学补充材料 每天都有好心情 12 设 M 是 GH 的中点 则 由题意可知 1212 66 xxyy M 2 MOGH 即 即 22 2212121212 4 6699 xxyyxxyy 1212 0 x xy y 而 所以 即 22 12121212 22 mm x xy ymymyy y 2 2 1 1 82 m m 2 1 0 82 m 2 4m 又因为且 所以 所以 m 的取值范围是 1m 0 12m 1 2 14 09 山东 22 设椭圆 E a b 0 过 M 2 N 1 两点 O 为坐标原点 22 22 1 xy ab 26 1 求椭圆 E 的方程 2 是否存在圆心在原点的圆 使得该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒有两个交点 A B 且 若存在 写出该圆的方程 并求 AB 的取值范围 若不存在 说明理由 OAOB 解 因为椭圆 E a b 0 过 M 2 N 1 两点 22 22 1 xy ab 26 所以 解得 所以 椭圆 E 的方程为 22 22 42 1 61 1 ab ab 2 2 11 8 11 4 a b 2 2 8 4 a b 22 1 84 xy 假设存在圆心在原点的圆 使得该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒有两个交点 A B 且 OAOB 设该圆的切线方程为 ykxm 解方程组 得 即 22 1 84 xy ykxm 22 2 8xkxm 222 12 4280kxkmxm 设 要使 需使 11 A x y 22 B xy 12 2 2 12 2 4 12 28 12 km xx k m x x k OAOB 1212 0 x xy y 22 12121212 y ykxm kxmk x xkm xxm 222222 2 222 28 48 121212 kmk mmk m kkk 即 所以 222 22 288 0 1212 mmk kk 22 3880mk 因为直线为圆心在原点的圆的一条切线 ykxm 所以圆的半径为 2 1 m r k 22 2 22 8 3813 1 8 mm r mk rb 此时圆都在椭圆的内部 所以圆的切线与椭圆必有两个不同的交点 且 22 8 3 xy OAOB 而当切线的斜率不存在时 切线与椭圆的两个交点为 或 2 6 3 x 22 1 84 xy 2 6 3 2 6 3 2 6 3 2017 届数学补充材料 每天都有好心情 13 满足 2 6 3 OAOB 综上 存在圆心在原点的圆 使得该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒有两个交点 A B 且 22 8 3 xy OAOB 22 22 12 22 8 84 11 12 km ABkxxk k 2 42 32 1 3441 k kk 当时 因为0k 2 2 321 1 1 3 44 AB k k 2 2 1 448k k 所以 所以 2 2 11 0 1 8 44k k 2 2 32321 1 12 1 33 44k k 所以当且仅当时取 4 6 2 3 3 AB 2 2 k 当时 0k 4 6 3 AB 而当 AB 的斜率不存在时 两个交点为 或 所以此时 2 6 3 2 6 3 2 6 3 2 6 3 4 6 3 AB 综上 AB 的取值范围为 即 4 6 2 3 3 AB AB 4 6 3 2 3 另解 对于求 有个更简单的方法 AB 如图 设 AOT 2 AOB 则 而 2 6 tancot 3 AB 2682 tan 2 432 AT OA OT 所以当时 tan1 min 4 6 3 AB 当时 2 tan2 2 or max 2 3AB 五 存在性问题五 存在性问题 15 以椭圆的短轴的一个端点为直角顶点作椭圆的内接等腰直角三角形 问这样 1 1 2 2 2 ay a x 1 0 B 的直角三角形是否存在 如果存在 请说明理由 并判断最多能作出几个这样的三角形 如果不存在 请说明理由 O C A D 2017 届数学补充材料 每天都有好心情 14 解 过点分别作斜率为的直线 必与椭圆各另有一交点 则即 1 0 B1 1 2 2 2 y a x NM BMN 为所求的等腰直角三角形 故这样的内接等腰直角三角形至少有一个 如除了 1 给出的内接等腰直角三角形外 还存在其他的内接等腰直角三角形 那么设直线 则与均过点 且互相垂直 与与椭圆分1 1 kxyl1 1 2 x k yl 1 0 kk 1 l 2 l 1 0 B 1 l 2 l 别交于 FE 1 0 2222 kxy ayax 02 1 2222 kxaxka 1 1 1 2 22 22 22 2 ka ka ka ka E 用代 得 k 1 k 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 k a k a k a k a F 2 22 22 22 2 ak ak ak ka F 2 22 2 2222 1 2 1 1 ka ka kxkBE E 2 22 2 22 22 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 1 1 ak a k ak ka k k x k BF F 1 0 kk BFBE 22 2 22 2 2 1 2 ak a ka ka 2223 1kakak 1 1 1 1 1 1 2 2 3 2 k k kk kkk kk k a 由得 由于椭圆关于轴对称 故当时 还存在斜率的1 0 kk3 2 a 3 ay3 a1 k 内接等腰直角三角形两个 综合 当时 可作出一个椭圆的内接等腰直角三角形 图 1 当时 可作13a 3 a 出三个椭圆的内接等腰直角三角形 图 2 2017 届数学补充材料 每天都有好心情 15 图 22图 图 图 F2 F1 y x P Q O 16 2015 虹口二模 已知圆 22 1 8xy 点 1 0 点Q在圆上运动 的垂直平分 1 F 2 F 1 F 2 QF 线交于点P 1 QF 1 求动点P的轨迹的方程 C 2 设分别是曲线上的两个不同点 且点M在第一象 限 点N在第三象限 若 MN C 1 22OMONOF O为坐标原点 求直线MN 的斜率 3 过点的动直线l交曲线于两点 在 y 轴上是否存在定点 使以AB为直径的圆 1 0 3 S CAB T 恒过这个点 若存在 求出点的坐标 若不存在 请说明理由 T 解 1 因为的垂直平分线交于点P 所以 从而 2 QF 1 QF 2 PFPQ 121112 2 22 PFPFPFPQFQFF 所以 动点P的轨迹是以点为焦点的椭圆 C12 FF 3 分 设椭圆的方程为 1 2 2 2 2 b y a x 则 22 222 ca 1 222 cab 故动点P的轨迹的方程为 2 2 1 2 x y C 5 分 2 设 1122 M a bN a b 则 1122 0 0 0 0 abab 2222 1122 22 22abab 因为 则 1212 22 20aabb 1 22OMONOF 由 解得 1122 114514 2448 abab 8 分 所以直线MN的斜率 21 21 3 14 14 bb aa 10 分 MN k 2017 届数学补充材料 每天都有好心情 16 3 设直线l的方程为则由 得 1 3 ykx 2 2 1 3 1 2 ykx x y 22 9 21 12160 kxkx 由题意知 点在椭圆的内部 所以直线l与椭圆必有两个交点 设 则 1 0 3 S CC11 A x y 22 B xy 12 分 1212 22 416 3 21 9 21 k xxx x kk 假设在 y 轴上存在定点满足题设 则 0 Tm 1122 TAx ymTBxym 因为以AB为直径的圆恒过点 所以即 T 1122 0 TA TBx ymxym 14 分 1212 0 x xymym 因为故可化为 1122 11 33 ykxykx 2 121212 22 1212 121 1 339 x xy ym yym kx xk mxxmm 2 2 22 222 2 16 1 1421 9 21 33 21 39 18 1 3 325 9 21 kk k mmm kk mkmm k 由于对于任意的 Rk 恒成立 故 解得 1m 0 TA TB 2 2 10 3250 m mm 因此 在 y 轴上存在满足条件的定点 点的坐标为 0 1 16 分 TT 17 2015 嘉定二模 已知椭圆 的左 右焦点分别为 点1 2 2 2 2 b y a x C0 ba 1 F 2 FB 过点且与垂直的直线交轴负半轴于点 且 0 bB 2 BFxD 122 20FFF D 1 求证 是等边三角形 21F BF 2 若过 三点的圆恰好与直线 相切 求椭圆的方程 BD 2 Fl033 yxC 3 设过 2 中椭圆的右焦点且不与坐标轴垂直的直线 与交于 两点 是点关于C 2 FlCPQMP 轴的对称点 在轴上是否存在一个定点 使得 三点共线 若存在 求出点的坐标 xxNMQNN 若不存在 请说明理由 2017 届数学补充材料 每天都有好心情 17 1 设 由 故 0 0 xD0 0 x 0 2 cF 0 bB 2 bcBF 0 bxBD 因为 所以 1 分 BDBF 2 0 2 0 bcx 故 2 分 c b x 2 0 0 2 2 c c b DF 又 故由得 所以 3 分 0 2 21 cFF 02 221 DFFF03 2 c b c 22 3cb 所以 即 是等边三角形 4 分 3tan 12 c b FBF 60 12F BF 21F BF 2 由 1 知 故 此时 点的坐标为 1 分 cb3 ca2 D 0 3 c 又 是直角三角形 故其外接圆圆心为 半径为 3 分 2 BDF 0 1 cF c2 所以 5 分 c c 2 2 3 1 c3 b2 a 所求椭圆的方程为 6 分 C1 34 22 yx 3 由 2 得 因为直线 过且不与坐标轴垂直 故可设直线 的方程为 0 1 2 Fl 2 Fl 1 分 1 xky0 k 由 得 2 分 22 1 1 43 yk x xy 01248 43 2222 kxkxk 设 则有 3 分 11 P xy 22 Q xy 2 2 21 43 8 k k xx 2 2 21 43 124 k k xx 由题意 故直线的方向向量为 11 M xy QM 1212 yyxxd 所以直线的方程为 4 分 QM 12 1 12 1 yy yy xx xx 令 得0 y 1 1 1 1 12 1221 12 1221 1 12 121 xkxk xxkxxk yy xyxy x yy xxy x 5 分 kxxk xxkxkx 2 2 21 2121 2 2 21 2121 xx xxxx 2 43 8 43 8 43 124 2 2 2 2 2 2 2 k k k k k k 4 6 24 即直线与轴交于定点 QMx 0 4 2017 届数学补充材料 每天都有好心情 18 所以 存在点 使得 三点共线 6 分 0 4 NMQN 注 若设 由 三点共线 得 0 0 N xMQN0 10 1 1 0 22 11 x yx yx 得 21 1221 0 yy yxyx x 六 定点或定直线问题六 定点或定直线问题 18 已知椭圆方程为 当过点的动直线 与椭圆相交与两不同点时 在线段 22 1 42 xy 4 1 PlC A B 上取点 满足 证明 点总在某定直线上ABQPBAQQBAP Q 解 设点 Q A B 的坐标分别为 1122 x yx yxy 由题设知均不为零 记 则且 APPBAQ QB APAQ PBQB 0 1 又 A P B Q 四点共线 从而 APPB AQQB 于是 12 4 1 xx 12 1 1 yy 12 1 xx x 12 1 yy y 从而 1 2 222 12 2 4 1 xx x 222 12 2 1 yy y 又点 A B 在椭