苏教版八年级上数学期末复习知识点总结+例题(完美版)

南京学泽教育 1 八年级数学八年级数学 上上 期末复习期末复习 例题解析例题解析 第一章第一章 三角形全等三角形全等 1 1 全等三角形的定义 全等三角形的定义 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形 理解 全等三角形形状形状与大小大小完全相等 与位置位置无关 一个三角形经过平移 翻折 旋转平移 翻折 旋转后得到的三角形 与原三角形 仍然全等全等 三角形全等不因位置发生变化而改变 2 2 全等三角形的性质 全等三角形的性质 全等三角形的对应边相等 对应角相等对应边相等 对应角相等 理解 长边对长边 短边对短边 最大角对最大角 最小角对最小角 对应角的对边为对应边 对应边对的角为对应角 全等三角形的周长相等周长相等 面积相等面积相等 全等三角形的对应边对应边上的对应中线 角平分线 高线对应中线 角平分线 高线分别相等相等 3 3 全等三角形的判定 全等三角形的判定 边角边公理边角边公理 SAS SAS 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 角边角公理角边角公理 ASA ASA 有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 推论推论 AAS AAS 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 边边边公理边边边公理 SSS SSS 有三边对应相等的两个三角形全等 斜边 直角边公理斜边 直角边公理 HL HL 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形 全等 4 4 证明两个三角形全等的基本思路 证明两个三角形全等的基本思路 已知两边 找第三边 SSS 找夹角 SAS 找是否有直角 HL 已知一边一角 找一角 AAS 或 ASA 找夹边 SAS 已知两角 找夹边 ASA 找其它边 AAS 南京学泽教育 2 例题评析例题评析 例例 1 1 已知 如图 点 D E 在 BC 上 且 BD CE AD AE 求证 AB AC 例例 2 2 已知 如图 A C F D 在同一直线上 AF DC AB DE BC EF 求证 ABC DEF 例例 3 已知 BE CD BE DE BC DA 求证 BEC DEA DF BC 例例 4 如图 在 ABE 中 AB AE AD AC BAD EAC BC DE 交于点 O 求证 1 ABC AED 2 OB OE 例例 5 5 如图 在正方形 ABCD 中 E 为 DC 边上的点 连接 BE 将 BCE 绕点 C 顺时针方向旋 转 90 得到 DCF 连接 EF 若 BEC 60 求 EFD 的度数 例例 6 6 如图 将长方形纸片ABCD沿对角线AC折叠 使点B落到点 B 的位置 AB 与CD交于点E 1 试找出一个三角形与 AED全等 并加以证明 2 若AB 8 D E 3 P为线段AC上的任意一点 PG AE于G PH EC于H PG PH 的值会变化吗 若变化 请说明理由 若不变化 请求出这个值 B C D E F A B C D E FA O C E B D A A BCDE 南京学泽教育 3 例例 7 7 已知 点 P 是直角三角形 ABC 斜边 AB 上一动点 不与 A B 重合 分别过 A B 向直线 CP 作垂线 垂足分别为 E F Q 为斜边 AB 的中点 1 如图 1 当点 P 与点 Q 重合时 AE 与 BF 的位置关系是 QE 与 QF 的 数量关系是 2 如图 2 当点 P 在线段 AB 上不与点 Q 重合时 试判断 QE 与 QF 的数量关系 并给 予证明 3 如 图 3 当点 P 在线段 BA 或 AB 的延长线上时 此时 2 中的结论是否成立 请画出图形并给予证明 复习作业 复习作业 解答题解答题 1 1 如下图 等边 ABC 内有一点 P 若点 P 到顶点 A B C 的距离 分别为 3 4 5 则 APB 分析 由于 PA PB 不在一个三角形中 为了解决本题我们可以将 ABP 绕顶点 A 旋转到 ACP 处 此时 ACP 这样 就可以利用全等三角形知识 将三条线段的 长度转化到一个三角形中从而求出 APB 的度数 2 请你利用第 1 题的解答思想方法 解答下面问题 已知 如右图 ABC 中 CAB 90 AB AC E F 为 BC 上的点且 EAF 45 求证 EF2 BE2 FC2 2 如图所示 四边形ABCD的对角线AC BD相交于点O ABC BAD 求证 1 OA OB 2 AB CD 南京学泽教育 4 3 如图所示 ABC ADE 且 CAD 10 B D 25 EAB 120 求 DFB和 DGB的度数 4 如图所示 已知 AE AB AF AC AE AB AF AC 求证 1 EC BF 2 EC BF 5 已知 如图 AB AE 1 2 B E 求证 BC ED 6 如图所示 在 ABC 中 AB AC BD AC 于 D CE AB 于 E BD CE 相交于 F 求证 AF 平分 BAC 7 ABC 中 ACB 90 AC BC 6 M 点在边 AC 上 且 CM 2 过 M 点作 AC 的垂 线交 AB 边于 E 点 动点 P 从点 A 出发沿 AC 边向 M 点运动 速度为每秒 1 个单位 当动 点 P 到达 M 点时 运动停止 连接 EP EC 在此过程中 当 t 为何值时 EPC 的面积为 10 将 EPC 沿 CP 翻折后 点 E 的对应点为 F 点 当 t 为何值时 PF EC A C B E M P F A C B E M P 南京学泽教育 5 8 在 ABC 中 ABC 90 分别以边AB BC CA 向 ABC 外作正方形ABHI 正方形 BCGF 正方形CAED 连接GD AG BD 如图 1 求证 AG BD 如图 2 试说明 S ABC S CDG 提示 正方形的四条边相等 四个角均为直角 图 1 图 2 第二章第二章 轴对称轴对称 1 1 轴对称图形轴对称图形相对一个图形一个图形的对称而言 轴对称轴对称是关于直线对称的两个图形两个图形 而言 2 2 轴对称的性质 轴对称的性质 轴对称图形的对称轴对称轴是任何一对对应点对应点所连线段的垂直平分线垂直平分线 如果两个图形关于某条直线对称 那么对称轴是任何一对对应点所连的线 段的垂直平分线 3 3 线段的垂直平分线 线段的垂直平分线 性质定理 性质定理 线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等 判定定理 判定定理 到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 A C B F G ED I H A C B F G ED I H 南京学泽教育 6 拓展 拓展 三角形三条边的垂直平分线垂直平分线的交点到三个顶点三个顶点的距离相等 4 4 角的角平分线 角的角平分线 性质定理 性质定理 角平分线上的点到角两边的距离相等 判定定理 判定定理 到角两个边距离相等的点在这个角的角平分线上 拓展 拓展 三角形三个角的角平分线角平分线的交点到三条边三条边的距离相等 5 5 等腰三角形 等腰三角形 性质定理 性质定理 等腰三角形的两个底角相等 等边对等角 等边对等角 等腰三角形的顶角平分线 底边上的中线 底边上的高线互相重合 三线合一 三线合一 判断定理 判断定理 一个三角形的两个相等的角所对的边也相等 等角对等边 等角对等边 6 6 等边三角形 等边三角形 性质定理 性质定理 等边三角形的三条边都相等 等边三角形的三个内角都相等 都等于 60 拓展 拓展 等边三角形每条边都能运用三线合一三线合一这性质 判断定理 判断定理 三条边都相等的三角形是等边三角形 三个角都相等的三角形是等边三角形 有两个角是 60 的三角形是等 边三角形 有一个角是 60 的等腰三角形是等边三角形 7 7 直角三角形推论 直角三角形推论 直角三角形中 如果有一个锐角是 30 那么它所对的直角边等于斜边斜边 的一半的一半 直角三角形中 斜边上的中线等于斜边的一半斜边的一半 拓展 拓展 直角三角形常用面积法面积法求斜边上的高 南京学泽教育 7 例题评析例题评析 1 线段的对称轴有 线段的对称轴有 条 是条 是 2 线段垂直平分线上的点到 线段垂直平分线上的点到 的的 距离相等距离相等 3 到 到 距离相等的点在线段的距离相等的点在线段的 垂直平分线上垂直平分线上 例 1 如图 在 ABC 中 DE 是 AC 的垂直平分线 1 若 AC 6 ABD 的周长是 13 则 ABC 的周长是 2 若 ABC 的周长是 30 ABD 的周长是 25 则 AC 例 2 如图 在 ABC 中 边 AB AC 的垂直平分线分别交 BC 于点 E 点 D 1 若 BC 8 则 ADE 的周长是 2 若 BAC 110 那么 EAD 3 若 EAD 100 那么 BAC 4 角的对称轴有 角的对称轴有 条 是条 是 5 角平分线上的点到 角平分线上的点到 的距离相的距离相 等等 又又 6 角的内部到 角的内部到 距离相等距离相等 的点在角的平分线上的点在角的平分线上 又又 例 3 如图 在 ABC 中 C 90 AD 平分 BAC 1 若 CD 5 则点 D 到 AB 的距离为 2 若 BD DC 3 2 点 D 到 AB 的距离为 6 则 BC 的长是 例 4 如图 OP 平分 AOB PAOA PBOB 垂足分别为 A B 下列结论中 不一定成立的是 A PA PB B PO 平分 APB C OA OB D AB 垂直平分 OP 补充 补充 三角形的三条边的垂直平分线的交点到三角形的三条边的垂直平分线的交点到 的距离相等的距离相等 三角形的三条角平分线的交点到三角形的三条角平分线的交点到 的距离相等的距离相等 1 请你先在图的 BC 上找一点 P 使点 P 到 AB AC 的距离相等 再在射线 AP 上找一点 Q 使 QB QC 2 如图 求作点 P 使点 P 同时满足 PA PB 到直线 m n 的距离相 等 D C AB F E P B A C D C AB C BA D 南京学泽教育 8 7 等边对等角 等边对等角 8 等角对等边 等角对等边 9 等腰三角形 等腰三角形 重合 三线合一 重合 三线合一 有 有 条对称轴 条对称轴 又又 又又 又又 例 5 1 等腰三角形的一边长为 5 另一边长为 11 则该等腰三角形的周长为 2 等腰三角形的两边长分别为 4 5 则该等腰三角形的周长为 3 已知等腰三角形的一个外角为 100 则这个等腰三角形的顶角为 4 等腰 ABC 中 若 A 30 则 B 例 6 1 如图 在 Rt ABC 中 若 AB AC AD AE BAD 40 则 EDC 2 如图 ACB 90 E F 为 AB 上的点 AE AC BC BF 则 ECF 3 如图 AB AC DC 且 BD AD 则 B 例 7 如图 ABC ACB 的平分线相交于点 F 过点 F 作 DE BC 交 AB 于点 D 交 AC 于点 E 试说明 BD EC DE 例 8 如图 已知 AB AC AD AE 求证 BD CE 例 9 在 ABC 中 AB AC 点 D 是 BC 的中点 点 E 在 AD 上 1 求证 BE CE 2 如图 2 若 BE 的延长线交 AC 于点 F 且 BF AC 垂足为 F BAC 45 原题设 其它条件不变 求证 AEF BCF B A C B A DC D BC A E E F D BC A 南京学泽教育 9 10 1 等边三角形的性质 等边三角形的性质 等边三角形的三条边等边三角形的三条边 三个角都是 三个角都是 每条边上都有三线合一 有 每条边上都有三线合一 有 条对称轴条对称轴 2 等边三角形的 等边三角形的 3 个判定方法 个判定方法 三条边都三条边都 的三角形是等边三角形的三角形是等边三角形 三个角都三个角都 的三角形是等边三角形的三角形是等边三角形 有一个角是有一个角是 的的 三角形是等边三角形三角形是等边三角形 例 10 1 如图 在等边三角形 ABC 中 BD CE AD 与 BE 相交于点 P 则 APE 2 如图 正方形 ABCD EAD 为等边三角形 则 EBC 3 如图 已知等边 ABC AC AD 且 AC AD 垂足为 A 则 BEC 例 11 如图 C 为线段 AE 上一动点 点 C 不与点 A E 重合 在 AE 的同侧分别作等边 ABC 和等边 CDE AD 与 BE 相交于点 O AD 与 BC 相交于点 P BE 与 CD 相交于点 Q 连 接 PQ 下列五个结论 AD BE PQ AE AP BQ DE DP AOB 60 其中 恒成立的有 填序号 例 12 如图 ABC 是等边三角形 D 是 AB 边上的一点 以 CD 为边作等边三角形 CDE 使点 E A 在直线 DC 的同侧 连接 AE 求证 AE BC 11 直角三角形斜边上的中线等于 直角三角形斜边上的中线等于 又又 12 用等积法求直角三角形斜边上的高 用等积法求直角三角形斜边上的高 S ABC 13 直角三角形中 直角三角形中 30 的角所对的直角的角所对的直角 边等于边等于 又又 D A B C D A BC A B C A BC D 例 12 1 在 Rt ABC 中 C 90 CD 是斜边 AB 的中线 且 CD 4 cm 则 AB 2 在 Rt ABC 中 C 90 B 30 AB 8 则 AC 3 在 Rt ABC 中 C 90 AC 8 BC 6 则 AB 边上的高 CD 例 13 如图 在 ABC 中 BD CE 是高 G F 分别是 BC DE 的中点 连接 GF 求证 GF DE 例 14 如图 已知 三角形 ABC 中 A 90 AB AC D 为 BC 的中点 E F 分别是 AB AC 上的点 且 BE AF 求证 DEF 为等腰直角三角形 相关练习 相关练习 1 如图 在 ABC 中 BC 8 cm BP CP 分别是 ABC 和 ACB 的平分线 且 PD AB PE AC 求 PDE 的周长 2 如图 在边长为 2 等边 ABC 中 AD 是 BC 边上的中线 E F 是 AD 的三等分点 则 图中阴影部分的面积是 cm2 3 如图 在 ABC 中 CD 与 C 分别是 ABC 的内角 外角平分线 DF BC 交 AC 于点 E 试说明 1 DCF 为直角三角形 2 DE EF 4 如图 ABC 是等腰三角形 B C AD 是底边 BC 上的高 DE AB 交 AC 于点 E 试找出图中除 ABC 外的等腰三角形 并说明你的理由 5 如图 AD 是 ABC 的角平分线 点 E 在 AB 上 且 AE AC EF BC 交 AC 于点 F 求证 EC 平分 DEF 6 如图 AC 平分 BAD CE AB 于 E CF AD 于 F 且 BC DC BE 与 DF 相等吗 请 说明理由 7 如图 C 为线段 AB 上任意一点 不与 A B 重合 在 AB 的同侧分别作 ACD 和 BCE CA CD CB CE ACD 与 BCE 都是锐角 且 ACD BCE 连接 AE 交 CD 于点 M 连接 BD 交 CE 于点 N AE 与 BD 交于点 P 连接 PC 试说明 1 ACE DCB 2 PC 平分 APB 8 如图 等边 ABC 中 D 是 AC 的中点 延长 BC 到点 E 使 CE CD AB 10cm l 求 BE 的长 2 试说明 BD ED 9 画图 证明 如图 AOB 90 点 C D 分别在 OA OB 上 1 尺规作图 不写作法 保留作图痕迹 作 AOB 的平分线 OP 作线段 CD 的垂直 平分线 EF 分别与 CD OP 相交于 E F 连接 OE CF DF 2 在所画图中 线段 OE 与 CD 之间有怎样的数量关系 并说明理由 求证 CDF 为等腰直角三角形 10 如图 已知点 D 为等腰直角 ABC 内一点 CAD CBD 15 E 为 AD 延长线上的一 点 且 CE CA 1 求证 DE 平分 BDC 2 若点 M 在 DE 上 且 DC DM 求证 ME BD 11 如图 设 BAC 0 90 现把小棒依次摆放在两射线之间 并使小棒两端分 别落在射线AB AC 上 从点A1开始 用等长的小棒依次向右摆放 其中A1A2为第一根小棒 且 A1A2 AA1 1 小棒能无限摆下去吗 答 填 能 或 不能 2 若已经摆放了3 根小棒 则 1 2 3 用含 的式子表示 3 若只能摆放4 根小棒 求 的范围 12 如图 1 点 P Q 分别是等边 ABC 边 AB BC 上的动点 端点除外 点 P 从顶 点 A 点 Q 从顶点 B 同时出发 且它们的运动速度相同 连接 AQ CP 交于点 M 1 求证 ABQ CAP 2 当点 P Q 分别在 AB BC 边上运动时 QMC 变化吗 若变化 请说明理由 若 不变 求出它的度数 3 如图 2 若点 P Q 在运动到终点后继续在射线 AB BC 上运动 直线 AQ CP 交点 为 M 则 QMC 变化吗 若变化 请说明理由 若不变 则求出它的度数 13 如图 在 ABC 中 AB AC 点 D E F 分别在 BC AB AC 边上 且 BE CD BD CF 1 试说明 DE DF 2 若 A 40 求 EDF 的度数 14 如图 ABC 中 AB AC BAC 54 BAC 的平分线与 AB 的垂直平分线交于点 O 将 C 沿 EF E 在 BC 上 F 在 AC 上 折叠 点 C 与点 O 恰好重合 则 OEC 为 15 如图 在 ABC 中 AB AC 5 BC 6 点 M 为 BC 的中点 MN AC 于点 N 则 MN 等于 16 如图 P 为 AOB 的平分线 OC 上任意一点 PM OA 于 M PN OB 于 N 连接 MN 交 OP 于点 D 则 PM PN MO NO OP MN MD ND 其中正确的有 17 如图所示 等边三角形 ABC 的边长是 6 点 P 在边 AB 上 点 Q 在 BC 的延长线上 且 AP CQ 设 PQ 与 AC 相交于点 D 1 当 DQC 30 时 求 AP 的长 2 作 PE AC 于 E 求证 DE AE CD 18 如图 在 ABC 中 已知 BA BC B 120 AB 的垂直平分线 DE 交 AC 于点 D 1 求 A 的度数 2 若 AC 6cm 求 AD 的长度 19 若直角三角形斜边上的高和中线分别为 10 cm 12 cm 则它的面积为 cm2 20 如图 某市把一块形状为直角三角形的废地开辟为生物园 ACB 90o AC 80 m BC 60 m 1 若入口 E 在边 AB 上 且与 A B 距离相等 求从人口 E 到出口 C 的最短路线的长 2 若线段 CD 是一条水渠 且点 D 在 AB 边上 已知水渠造价约为 10 元 m 则点 D 在 距点 A 多远处 此水渠的造价最低 最低造价是多少 第三章第三章 勾股定理勾股定理 勾 勾 直角三角形较短的直角边 股 股 直角三角形较长的直角边 弦 弦 斜边 1 1 勾股定理 勾股定理 直角三角形两直角边 a b 的平方和等于斜边 c 的平方 即a a2 2 b b2 2 c c2 2 2 2 勾股定理的逆定理 勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长 a b c 有关系a a2 2 b b2 2 c c2 2 那么这个三角形是直角 三角形 3 3 勾股数 勾股数 满足a a2 2 b b2 2 c c2 2的三个正整数正整数 称为勾股数 常见勾股数 3 4 5 6 8 10 9 12 15 5 12 13 4 4 简单运用 简单运用 勾股定理 常用于求边长 周长 面积 理解 已知直角三角形的两边求第三边 并能求出周长 面积 用于证明线段平方关系的问题 利用勾股定理 作出长为的线段n 勾股定理的逆定理 常用于判断三角形的形状 理解 确定最大边 不妨设为 c 若c2 a2 b2 则 ABC 是以 C 为直角的三角形 若a2 b2 c2 则此三角形为钝角三角形 其中 c 为最大边 若a2 b2 c2 则此三角形为锐角三角形 其中 c 为最大边 难点难点 运用勾股定理立方程解决问题 例题评析例题评析 1 勾股定理 在直角三角形中 两条直角边的平方和等于斜边的平方 勾股定理 在直角三角形中 两条直角边的平方和等于斜边的平方 例 1 1 如图 所有的四边形都是正方形 所有的三角形都是直角三角形 其中最大的 正方形的边长为 7 cm 正方形 A B C 的面积分别是 8 cm2 10 cm2 14 cm2 则正方形 D 的面积是 cm2 2 如图 已知 1 号 4 号两个正方形的面积为为 7 2 号 3 号两个正方形的面积和为 4 则 a b c 三个方形的面积和为 3 如图 阴影部分是以直角三角形的三边为直径的半圆 两个小半圆的面积和为 100 则大的半圆面积是 例 2 1 在 Rt ABC 中 A 90 B 45 AB 3 则 AC BC 2 在 Rt ABC 中 B 90 C 30 AB 3 则 AC BC 3 在 Rt ABC 中 C 90 AC AB 3 4 AB 25 则 AC BC 4 在 Rt ABC 中 AB 6 AC 8 则 BC 例 3 1 如图 已知 AB 13 BC 14 AC 15 AD BC 于 D 求 AD 长 2 已知 ABC 中 AB 13 AC 15 AD BC 且 AD 12 求 BC 的长 例 4 1 在 Rt ABC 中 A 90 B 45 BC 6 求 AC 和 BC 2 在 Rt ABC 中 B 90 C 30 BC 3 求 AB 和 AC 3 若直角三角形中 一斜边比一直角边大 2 且另一直角边长为 6 求斜边的长 4 等腰三角形 ABC 的面积为 12 底上的高 AD 为 4 求它的腰长 5 等腰三角形的周长是 20 cm 底边上的高是 6 cm 求它的面积 例 5 1 在 ABC中 C 90 AB 6 BC 8 DE 垂直平分 AB 求 BE 的长 2 在 ABC中 C 90 AB 6 BC 8 AE 平分 CAE ED AB 求 BE 的长 3 如图 折叠长方形纸片 ABCD 是点 D 落在 边 BC 上的点 F 处 折痕为 AE AB CD 6 AD BC 10 试求 EC 的长度 A B C E D A C B D E A C B 2 勾股定理的逆定理 勾股定理的逆定理 一个三角形中 如果两条边的平方和等于第三条边的平方 那么这个三角形是直角三角形一个三角形中 如果两条边的平方和等于第三条边的平方 那么这个三角形是直角三角形 例 1 每个小正方形的边长为 1 1 求 ABC 的面积 2 判断 ABC 的形状 例 2 如图 在四边形 ABCD 中 AB 3 cm AD 4 cm BC 13 cm CD 12 cm A 90 求四边形 ABCD 的面积 例 3 如图 在 ABC 中 CD 是 AB 边上的高 AD 9 BD 1 CD 3 试问 ABC 是直角三角形吗 为什么 例 4 如图 在 ABC 中 AB 17 cm BC 16 cm BC 边上的中线 AD 15 cm 求 AC 3 勾股数 勾股数 常见勾股数有 3 5 6 9 A B C 例 下列命题中 是假命题的是 A 在 ABC 中 若 B C A 则 ABC 是直角三角形 B 在 ABC 中 若 a2 b c b c 则 ABC 是直角三角形 C 在 ABC 中 若 A B C 3 4 5 则 ABC 是直角三角形 D 在 ABC 中 若 a b c 5 4 3 则 ABC 是直角三角形 4 4 补充 补充 长方体盒子内最长的线段长方体盒子内最长的线段 d 长方体盒子外小虫爬行的最短路线长方体盒子外小虫爬行的最短路线 d 圆柱体盒子内最长的线段圆柱体盒子内最长的线段 d 圆柱体盒子外小虫爬行的最短路线圆柱体盒子外小虫爬行的最短路线 d 例 2 底面周长为 12 高为 8 的圆柱体上有一只小蚂蚁要从点 A 爬到点 B 则蚂蚁爬行的 最短距离是 A 10 B 8 C 5 D 4 例 3 某开发区有一空地 ABCD 如图所示 现计划在空地上种草皮 经测量 B 90 AB 3m BC 4 m AD 12 m CD 13 m 若每种植 1 平方米草皮需要 100 元 问总共需 要投入多少元 5 勾股定理的应用 勾股定理的应用 例 1 1 一轮船以 16 n mi1e h 的速度从港口 A 出发向东北方向航行 另一轮船以 12 n mi1e h 的速度同时从港口出发向东南方向航行 那么离开港口 A2h 后 两船相距 2 一座建筑物发生了火灾 消防车到达现场后 发现最多只能靠近建筑物底端 5 m 消 防车的云梯最大升长为 13 m 则云梯可以达到该建筑物的最大高度是 3 一棵树在离地面 9m 处断裂 树的顶部落在离底部 12 m 处 树折断之前有 m 例 2 如图 梯子 AB 靠在墙上 梯子的底端 A 到墙根 O 的距离为 7m 梯子的顶端 B 到地面的距离为 24 m 现将梯子的底端 A 向外移动到 A 使梯子的底端 A 到墙根 O 的距离等于 15 m 同时梯子的顶端 B 下降至 B 那 BB 等于 A 3m B 4 m C 5 m D 6 m B AA B A C B B C A 课后练习课后练习 1 如图 正方形网格中的每个小正方形边长都是 1 每个小格的顶点叫做格点 以格点为 顶点分别按下列要求画三角形 涂上阴影 1 在图 中 画一个三角形 使它的三边长都是有理数 2 在图 图 中 分别画两个不全等的直角三角形 使它们的三边长都是无理数 2 中华人民共和国道路交通管理条例 规定 小汽车在城市街道上的行驶速度不得超过 70 千米 时 一辆 小汽车 在一条城市街道上直道行驶 如图某一时刻刚好行驶到 路对面 车速检测仪 A 正前方 50 米 C 处 过了 6 秒后 测得 小汽车 位置 B 与 车速检测仪 A 之间的距离为 130 米 这辆 小汽车 超速了吗 请说明理由 3 如图 公路 MN 和公路 PQ 在点 P 处交汇 且 QPN 30 点 A 处有一所中学 AP 160 米 假设拖拉机行驶时 周围 100 米以内会受到噪音的影响 那么拖拉机在公路 MN 上沿 PN 方向行驶时 学校是否回受到噪声的影响 说明理由 如果受影响 已知拖拉 机的速度为 18 千米 时 那么学校受影响的时间为多少秒 4 如图 A B 两个村子在河 CD 的同侧 A B 两村到河的距离分别为 AC 1 km BD 3 km CD 3 km 现在河边 CD 上建一水厂向 A B 两村输送自来水 铺设水管的费用为 20 000 元 千米 请你在河 CD 边上选择水厂位置 O 使铺设水管的费用最省 并求出铺设水 管的总费用 第四章第四章 实数实数 1 1 平方根 平方根 定义 定义 一般地 如果x2 a a 0 那么这个数 x 就叫做 a 的平方根 或 二次方根 表示方法 表示方法 正数 a 的平方根记做 读作 正 负根号 a a 性质 性质 一个正数有两个平方根 它们互为相反数互为相反数 零的平方根是零 负数没有平方根 2 2 开平方 开平方 求一个数 a 的平方根的运算 叫做开平方 3 3 算术平方根 算术平方根 定义 定义 一般地 如果x2 a a 0 那么这个正数正数 x x 就叫做 a 的算术平方 根 特别地 0 的算术平方根是 0 表示方法 表示方法 记作 读作 根号 a a 性质 性质 一个正数只有一个算术平方根 零的算术平方根是零 负数没有算术平方根 注意注意的双重非负性的双重非负性 a 0 0 aa 0 0 0 22 2 aaaaaaaaa 4 4 立方根 立方根 定义 定义 一般地 如果x3 a那么这个数 x 就叫做 a 的立方根 或三次方 根 表示方法 表示方法 记作 读作 三次根号 a 3 a 性质 性质 一个正数有一个正的立方根 一个负数有一个负的立方根 零的立方根是零 注意 注意 这说明三次根号内的负号可以移到根号外面 33 aa aaa 33 2 3 5 5 开立方 开立方 求一个数 a 的立方根的运算 叫做开立方 6 6 实数定义与分类 实数定义与分类 无理数 无理数 无限不循环小数叫做无理数 理解 常见类型有三类 开方开不尽的数 如 等 7 3 9 有特定意义的数 如圆周率 或化简后含有 的数 如 8 等 有特定结构的数 如 0 1010010001 等 注意省略号注意省略号 实数 实数 有理数和无理数统称为实数 实数的分类 实数的分类 按定义来分按定义来分 按符号性质来分按符号性质来分 整数 含 0 正有理数 有理数 分数 正实数 正无理数 实数 实数 0 无理数 负实数 负有理数 负无理数 7 7 实数比较大小法 实数比较大小法 理解 正数大于零 负数小于零 正数大于一切负数 数轴比较数轴比较 数轴上的两个点所表示的数 右边的总比左边的大 绝对值比较法 绝对值比较法 两个负数 绝对值大的反而小 平方法 平方法 a b 是两负实数 若a2 b2 则 a b 8 8 实数的运算 实数的运算 六种运算 加 减 乘 除 乘方 开方 实数的运算顺序 先算乘方和开方 再算乘除 最后算加减 如果有括号 就先算括号里面 的 实数的运算律 加法交换律 加法结合律 乘法交换律 乘法结合律 乘法对加法的分 配律 9 9 近似数 近似数 由于实际中常常不需要用精确的数描述一个量 甚至在更多情况下不可能 得到精确的数 用以描述所研究的量 这样的数就叫近似数近似数 取近似值的方法 四舍五入法 四舍五入法 1010 科学记数法 科学记数法 把一个数记为 其中 1 a 1 n 是整数 的形式 就叫科学计数法科学计数法 n a 10 1111 实数和数轴 实数和数轴 每一个实数都可以用数轴上的点来表示 反过来 数轴上每一个点都表示 一个实数 实数与数轴上的点是一一对应一一对应的关系 例题评析例题评析 1 1 a 的平方根是的平方根是 其中 其中 a 2 2 平方根的性质 平方根的性质 正数有正数有 个平方根 它们个平方根 它们 0 0 有有有有 个平方根 是个平方根 是 负数负数 的平方根是它本身 的平方根是它本身 3 3 a 的算术平方根是的算术平方根是 其中 其中 a 的算术平方根是它本身 的算术平方根是它本身 4 4 公式 公式 其中 其中 a 2 a 其中 其中 a 2 a 5 5 a 的立方根是的立方根是 其中 其中 a 的立方根是它本身 的立方根是它本身 6 6 公式 公式 其中 其中 a 3 3 a 其中 其中 a 33 a 例 1 1 169 的平方根是 196 的算术平方根是 125 的立方根是 2 的平方根是 的平方根是 的立方根是 144 3 6464 例 2 化简 0 64 121 81 3 10 2 27 2 3 3 3 7 例 3 如果一个正数的平方根是 a 3 与 2a 15 求这个正数 例 4 已知 2a 1 的平方根是 3 3a b 1 的立平方根是 3 求 a 2b 的平方根 例 5 1 若 0 则 x y 1xy 2 3y 2 已知 则 x y 32232yxx 例 6 求下列各式中的 x 1 4x2 3 22 2 4x 1 2 289 3 4 3 1 90 3 x 3 2 7290 x 例 7 1 2 3 4 22 54 3 3627 9 1 25 0 23 1 2 8 3 例 8 已知数 a 在数轴上对应的位置如图所示 化简 2 33 211aaa 7 和和 统称为实数统称为实数 实数与实数与 一一对应一一对应 无理数的三种形式 无理数的三种形式 1 2 3 例 1 把下列各数填入相应的集合内 4 3 1415 0 6 0 3 2 3 910 3 125 0 01001000100001 7 303003 3 49 16 1 有理数集合 2 无理数集合 3 正实数集合 4 负实数集合 例 2 在数轴上找出表示的点 5 CA0B 例 3 1 指出下列各数在哪两个相邻整数之间 3 2 7 0 y 0 点点 P x y P x y 在第二象限 在第二象限 x0 点点 P x y P x y 在第三象限 在第三象限 x 0 y0 y0 时 图像经过第一 三象限 y 随 x 的增大而增大 当 k0 时 y 随 x 的增大而增大 当 k0 时 直线 y kx 经过第三 一象限 从左向右上升 即随着 x 的增大 y 也增 大 当 k0 b 0 图像经过一 二 三象限 2 k 0 b 0 图像经过一 三 四象限 3 k 0 b 0 图像经过一 三象限 4 k 0 b 0 图像经过一 二 四象限 5 k 0 b 0 图像经过二 三 四象限 6 k 0 b 0 图像经过二 四象限 一次函数表达式 的确定 求一次函数 y kx b k b 是常数 k 0 时 需要由两个点来确定 求正 比例函数 y kx k 0 时 只需一个点即可 5 一次函数与二元一次方程组一次函数与二元一次方程组 解方程组 从 数 的角度看 自变量 x 为何值时两个函数的值相 等 并 求出这个函数值 解方程组 从 形 的角度看 确定两直线交点的坐标 例题评析例题评析 一 一次函数概念及自变量取值范围一 一次函数概念及自变量取值范围 定义 一般地 如果 那么 y 叫做 x 的 当 时 y kx k 是常数 k 0 这时 y 叫做 x 的 例 1 已知 y m 2 x 是正比例函数 则 m 例 2 已知函数 当 k 时 它是一次函数 2 2 1 1 k ykxk 当 k 时 它是正比例函数 例 3 函数 y 的自变量取值范围为 1 1x 函数 y 的自变量取值范围为 1x 归纳 二 一次函数的性质二 一次函数的性质 直线 y kx b k 是常数 k 0 当 k 0 b 0 时 直线经过 象限 当 k 0 b 0 时 直线经过 象 限 cba cba yx yx 222 111 cba cba yx yx 222