有关数论函数的一些问题

有关数论函数的一些问题有关数论函数的一些问题 题题 目 目 有关数论函数的一些问题有关数论函数的一些问题 研研 究究 生 生 任荣珍任荣珍 任任课课教教师师 杨杨 海海 学学科科专专业业 应用数学应用数学 学学 号号 2014081034 学学 院院 理学院理学院 时时 间间 2015 年 1 月 2 日 有关数论函数的一些问题有关数论函数的一些问题 数论函数是在数论这一门学科中提出的 在介绍数论函数之前 首先来说明有关数论的一些背景知识和数论这一门学科 数论可以 被定义为研究数的一门理论学科 是数学的一个重要分支 数论在研 究数的方面有着悠久的历史 它的发展源远流长 早在远古时代人们 就学会使用数字 而数论在数学中有着很重要的位置 就如数学家高 斯所说 数学是科学 皇后 而数论就是数学皇冠 数论这门学科最早时是从研究整数开始的 因此叫做整数论 随 着整数论的进一步发展就把整数论叫做数论了 数论在数学中就是 1 研究数的规律 它与几何学一样是数学中最古老的分支 在数学中有 着悠久的历史 在现代基础数学研究中占有很重要的位置 数论函数作为数论其中的一个分支对数学也起了很重要的作用 下面就来介绍一些有关数论函数的研究 下面就来介绍一下有关数 论函数的背景知识 先介绍一些所需要的符号及定义 F n 2 对任意的正整数 是由满足如下条件的整数数组2n n 所构成的集合 12 s a aa 1 2 i an 1 2 is 若素数 则 2 i p ap n1 2 is 时 3 2s 1 ij a a 1ijs 定义为形如数的最大值 其中 F n 12 s aaa 12 s a aan 设为 的标准分解式 我们用表示 的所有不同 1 i k a i i np n nk n 素因子的个数 数论函数的定义数论函数的定义 当自变量时 因变量 是取实数值或 2 nN y 复数值的函数 即 我们就称他为算数函数或数论函数 yF n 1983 年 对做了很多的研究 得出了许多的结果 同 Erd os F n 时也提出了不少想法和问题 下面就列举几个问题 以便对有更 F n 深的了解 结论 1对任意正整数 总存在一个正整数 使得 2 k k n kk F nn k nk 结论 2如果我们忽略掉整数中密度为零的一个集合 那么 2 lim n F n n 我们用表示素数 如果再定义 那么还有如下结p 1 pn p p n f np 论 结论 3对任意正整数 存在一个正整数 使得 2 k k n kk F nf n k nk 定理定理 1 对任意正整数 及充分大的 有 2 kx 0 1 1 21log k kk kx nx F nnnk x 数论作为数的分支在数学领域有着很重要作用 而数论函数是 数论的一个分支在数论中的作用也是不可忽视的 许多数论或者组 合数学中的许多问题也可以化为一些数论函数来研究 因此数论函 数是一类非常重要的函数 是数论中的一个重要研究课题 尤其是数 论函数的一些性质在数论的研究中也是很有意思的 如函数的均值 问题 我们知道很多重要的数论函数的取值往往很不规则 然而它们 的均值却有非常优美的渐近公式 数论函数还有一些很好的性质是 值得我们深入研究的 如研究数论函数的逆函数 数论函数的方程 及其方程的解 数论函数的敛散性等等这些性质都是值得深入研究 和计算的 下面就来介绍一些数论函数的性质 在介绍数论函数之前我们先来介绍几种简单的特殊的数论函数 函数定义如下函数定义如下 M obius 3 1 1 如果 记 则1n 12 12 k aaa k nppp 12 1 1 0 k k aaa n 当时 其它 注意 有一个大于 1 的平方因子 0n n 例题例题 1 有关有关的值的一个表的值的一个表 n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10n 1 1 1 0 1 1 1 0 0 1 n 定理定理 2 如果 我们有 3 1n 111 01 d n n d nn 当时 当时 函数定义如下函数定义如下 Euler 3 如果 则欧拉函数被定义为不超过 且与 互素的正整数1n n nn 的个数 记为 这里 表示对与 互素的正整数 求和 1 1 n k n n k 像麦比乌斯函数一样下面来看有关欧拉函数的一个例子 例题例题 2 有关的有关的值得一个表值得一个表 n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10n 1 1 2 2 4 2 6 4 6 4 n 像的情况一样对于除数和也有一个简单的公式 n d n d 定理定理 3 如果 我们有 3 1n d n dn 刘维尔函数刘维尔函数的定义如下的定义如下 n 1 i 1 1 其中 ii 12 1 k aaa n 12 12 k aaa k nppp 除数函数除数函数的定义如下的定义如下 n 1 对任意的 除数函数定义如下 1n Dirichlet n d n nd 曼格尔特函数的定义如下曼格尔特函数的定义如下 1 若 log 0 pn n 若为素数p的方幂 其它情况 则有和成立 log d n dn 2 log log d nd n nn nndd dd 可乘函数的定义可乘函数的定义 1 若为一数论函数 并且具有下述两个性质 f n 有一正整数 使得函数值 in 0f n 对于任意两个互质的正整数 有 ii 1 n 2 n 1212 f n nf nf n 叫做可乘函数 欧拉常数欧拉常数定义为定义为 C 1 111 lim 1 log 23 n Cn n 上面介绍了几种特殊的数论函数 说明了数论函数在数论中的 应用是十分广泛地 还有很多数论函数是值得研究的 在这里就简单 介绍几种特殊的数论函数 下面就来研究这些数论函数所具有的性 质 关于函数方程的研究是初等数论中非常重要和有意义的课Euler 题 许多学者研究了它们的性质 令表示方程解的个数 k Sm xm 其中 恰有 个次数为一的素因子 研究了的性质 并xk H Gupta k Sm 4 证明了 对任意给定的正整数n 1 1S n 以及 1 S nn 其后 则给出了 P Erdos 对任意的 和足够大的kn log kk k Sncnn 其中为常数 0c 为了利用初等方法来研究方程的可解性 进而得 2 n n 到该方程的所有整数解 就要了解数论函数的相关性质 下 n 面就来看有关数论函数的几个性质 n 引理引理 1 设为任意给定的正整数 则有计算公式 4 1n 1 1 p n nn p 其中表示对 的所有素因子求积 p n n 定理定理 4 当素数时 要么有 要么存在素数 4 1 5p 33 1 2 2 p 使得 3p 3 1 2 pp 定理定理 5 素数 当时 要么有 4 12 3pp 2 23p 42 12 2 2 p p 要么存在素数 使得 3p 2 12 2 pp p 定理定理 6 素数 当时 要么有 4 123 3ppp 3 11p 4 123 2 p p p 要么存在素数 使得 3p 123 pp p p 接下来讨论除数函数的上界估计 5 对于正整数 设是 的不同约数之和 运用初等数论的方n n n 法 利用等幂和的展开式 得到了关于的和式上Bernoulli n 1 n r k k 界的估计 下面来看有关除数函数的上界估计的几个性质 引理引理 2 如果 且 则 5 2r 8 logkrr log 2 k k r 引理引理 3 当时 5 3k 2 logkkk 引理引理 4 当时 有 5 1m 1 1 10 1 1 1 nm mmj j jj m jB n jm 其中为数 j BBernoulli 除数函数除数函数的上界的上界 1 n r k k 5 定理定理 7 令 而且 5 0 8 lognrr 0 0 1 2log n r n k Crkk 0 0 1 1 n r n k Dk 则 00 1 2 10 2 1 1 2 nr rrk nkn kk k kCB nD kr 推论推论 1 若 则 5 12n 222 0 1 1 109 4 n k kn n 推论推论 2 1 当时 有 5 26n 3543 0 1111 52330 n k knnnn 2 当时 有 44n 46542 0 1151 621212 n k knnnn 3 当时 有 64n 5763 0 1111 72642 n k knnnn 4 当时 有 86n 687642 0 11771 82122412 n k knnnnn 这就是有关欧拉函数和除数函数的一些性质 下面再来看有关 欧拉函数和除数函数关系的一些性质 先来看看关于和的一个同余式 n n 6 同余式 mod nnmn 4 m 定理定理 8 设正整数 且满足 6 2n 12 12 mod s lll s nnp ppn 0s 其中 为正整数 为不同的奇素数 则 具有如下 i l1 2 is 12 s p pp n 形式 12 222 12 s kkk s nppp 1 0 2 i i l k 1 i kN is 特别地 的全部非平凡解为 mod l nnpn 1 k p p 1 1 1 i l k p 为整数 其中为奇素数 为正整数 kpl 定理定理 9 设正整数 且满足 6 2n 12 12 2 mod s lll s nnp ppn 0 s 其中 为正整数 为不相同的奇素数 则 具有如 i l 1 2 is 12 s p pp n 下形式 12 12 2 s aaaa s npppq 0 1 2a 0 1 01 ii al 1 i aN is 其中 为奇素数 令 q 1 i qp is a qm 12 12 2 s lll s mp pp 注 定理 2 的结论可进一步加强 可证 只能取如下形式之一 n 12 222 12 s kkk s pppq2q2 l a l p 其中 为素数 1 0 2 i i l k i kN q i qp 01 ii al 1 i aN is a qm 下面来看几个例子 例例 3 m 满足的 mod nnmn n 21 素数及 4 6 22 31 2 2 3 51 2 61 2 3 4 5 6 14 18 45 151 2 2 3 2 5 例例 4 注 当时 同余式的解较复杂 4 m mod nnmn 例例 5 设正整数 满足 应用以上方法 类似地可得n 4 mod nnn 的形式为 n 121212 121212 1 2 3 4 6 8 10 12 mod4 2 3 mod4 n np ppppp np ppppp 其中 其中 对于 通过计算可得 且或 71 或 满足 12 2np p 1 3p 2 11p 1 p 2 p 对于 12 11 mod12 pp 12 np p 22 1122 2 1 6 1 2 1 6 1 4 mod nnppppn 由得 4 mod nnn 22 1122 12 2 1 6 1 2 1 6 1 0 mod1 1 1 pppp pp 即 12 21 2424 0 mod1 11 pp pp 满足的解有 等 猜想 满足 12 21 2424 0 mod1 11 pp pp 5 29 7 19 的 的解数有限 12 21 2424 0 mod1 11 pp pp 1 p 2 p 接下来讨论数论函数方程解的问题 1 nk n 7 除数函数的定义在前面已经给出 它是一个基本而又重要的数 论函数 历史上很多著名的数学难题 例如完全数问题 亲和数问题 都与该函数有关 证明了对任意的正整数 都不满足等式FlorianLuca 7 x nn FxFx 而徐闯和徐润章讨论了的整数值问题 显然 7 1 R nnn 这一问题等价于函数方程 1 nk n k nN 的求解问题 对此 有人提出了猜想 7 猜想方程没有适合的解 1 nk n 2k k n 由于方程在形式上与完全数和广义完全数的定义相 1 nk n 似 所以这个猜想是一个非常难得问题 当时 设1n 12 12 r aaa r nppp 是 的标准分解式 其中是适合的素数 n 1 2 i p ir 12 r ppp i a 是正整数 对此 可以利用初等方法证明当时 方程 1 2 ir 1r 仅有解 当 且 方程 1 nk n 1 1 k np 2r 12 min 1a a 1 nk n 仅当且时有解 这些结果解决了上述 1 2p 1 1 2 23 a p 1 2 2 2 a k np 猜想在和且时的情况 接下来在此运用初等方1r 2r 12 min 1a a 法完整地解决了这个猜想在时的情况 即证明了 2r 定理定理 10 当时 方程仅有解 其 7 2r 1 nk n 1 2 2 2 a k np 中 1 1 2 23 a p 定理定理 11 方程仅有解可使 是无平方因 7 1 nk n 1 2 k n n 子正偶数 再看它们的整除性 6 当 为素数时 通过简单计算可知只有时 才成n2 3n nn 立 这部分将讨论当 至多有 个不同的素因子时 哪些合数满足n3 nn 设正整数 若 12 12 s aaa s nppp 12 2 s ppp 0 1 2 i ais 当时 故 nkn kN 1n nnn 2k 引理引理 5设正整数 6 12 12 s aaa s nppp 12 2 s ppp 0 1 2 i ais 若 则 满足 nkn kN k 222 1212 222 1212 111 111 1 1 1 ss ss pppppp k pppppp 引理引理 6 设正整数 6 123 np pp 123123 pppp pp 为三个不同的素数 若存在正整数 使 则 k nkn 12211 1 1 122 111 1 1 1 1 pk ppp 引理引理 7 设 为素数 为正整数 若满足 6 0 pp 11112 00 1 1 1 ppppp 则 1 0 21pp 最后在介绍一种有关数论函数的性质 就是有关数论函数群的 定义 由数论函数的定义可知是全体自然数到复数域的一个映射 f 乘积函数的定义乘积函数的定义 设与 是数论函数 并设 8 fg d n n h nf d g d 其中 为 的因子 则称 为与 的乘积 狄利克雷乘积 并记为dnhfg hfg 显然 仍为一数论函数 即数论函数对于上述定义的乘法封闭 h 定理定理 12 设与 是数论函数 则 8 fg 交换律 i fggf 结合律 ii fgkfg k 恒等函数的定义如下恒等函数的定义如下 令 8 111 0 n I n n 当时 当n 1时 显然 是一数论函数 I 定理定理 13 对每一数论函数 都有 8 f IffI f 因此 是数论函数集中的单位元 I 定理定理 14 设是一数论函数 且 则存在唯一确定的数 8 f 1 0f 论函数 使得 1 f 11 ffffI 并且 1 1 1 1 f f 11 1 1 d n d n n f