材料力学笔记(第七章)

材料力学 土 笔记 第七章 应力状态和强度理论 1 概 述 在轴向拉压 圆杆扭转和对称弯曲各章中 构件的强度条件为 或 max max 工作应力由相关的应力计算公式计算 材料的许用应力是通过直接试验 测得材料相应的极限应力 在受力构件的同一截面上 各点处的应力一般是不同的 通过受力受力构件同一点处 不同方位截面上的应力一般也是不同的 在一般情况下 受力构件截面内的一点处既有正应力 又有切应力 若需对这类点的应力进行强度计算 则不能分别按正应力和切应力来建立强度条件 而需综合考虑正应力和切应力的影响 一方面要研究通过该点各不同方位截面上应力的变化规律 从而确定该点处的最大正应力和最大切应力及其所在截面的方位 受力构件内一点处不同方位截面上应力的集合 即通过一点所有不同方位截面上应力的全部状况 称为一点处的应力状态 关于材料破坏规律的假设 称为强度理论 2 平面应力状态的应力分析 主应力 为研究受力构件内任一点处的应力状态 可围绕该点截取一单元体 由于单元体各边长均为无穷小量 故单元体各表面上的应力可视为均匀分布 且任意的一对平行的平面上的应力相等 平面应力状态 若单元体有一对平面上的应力等于零 即不等于零的应力分量均处于同一 坐标平面内 当其他两对平面上的正应力和切应力均不等于零时 为平面应力状态的普遍形式 研究在普遍形式的平面应力状态下的应力分析 即由单元体各面上的已知应力分量来确定其任一斜截面上的未知应力分量 并从而确定该点处的最大正应力及其所在截面的方位 2 1 斜截面上的应力 设一平面应力状态单元体上的应力为 和 x x y y 前 后两平面上的应力为零 可将该单元体用平面图形表示 为求该单元体与前 后两平面垂直的任一斜截面上的应力 应用截面法 设斜截面的外法线与轴间的夹角 方位角 为efnx 截面上的应力分量用和表示 正应力以拉应力为正 压应力为负 切应力以其对单元体内任一点的矩为顺时针转向者为正 反之为负 假想地沿斜截面将单元体截分为二 取左边部分为研究对象efedf 设斜截面的面积为 斜截面上的应力和均为正值efdA 考虑体元平衡 以斜截面的法线和切线 作为参考轴nt 由平衡方程 得 0 n F cos sin cos cos sin cos sin sin0 xxyy dAdAdAdAdA 0 t F cos cos cos sin sin sin sin cos0 xxyy dAdAdAdAdA 由切应力互等定理可知 和的数值相等 x y 据此 可得平面应力状态下任斜截面 截面 上的应力分量为 cos2sin2 22 xyxy x sin2cos2 2 xy x 上面两个式子就是平面应力状态下 任一截面上应力和的计算公式 反映了在平面应力状态下 一点不同方位斜截面上的应力 和 随角而变化的规 律 即一点处的应力状态 2 2 应力圆 由上述两式可见 当已知一平面应力状态单元体上的应力 和 时 x x y yx 任一截面上的应力和均以为参变量 从上两式小区参变量后 即得 2 2 2222 22 xyxy x 由上式可见 当斜截面随方位角变化时 其上的应力和在直角坐标系内的轨迹是一个圆 其圆心位于横坐标轴 轴 上 其横坐标为 半径为 2 xy 22 2 xy x 该圆习惯上称为应力圆 或称为莫尔应力圆 下面根据所研究单元体上的已知应力 和 x x y yx 作出相应的应力圆 并确定截面上应力和 在直角坐标系内 按选定的比例尺 量取 得点 量取 得点 1x OB 11x B D 1 D 2y OB 22y B D 2 D 连接和两点的直线与轴交于点 1 D 2 D C 以点为圆心 或为半径作圆C 1 CD 2 CD 该圆圆心的横坐标为 半径或等于 2 xy 1 CD 2 CD 22 2 xy x 因而该圆就是相应于该单元体应力状态的应力圆 由于的点坐标为 因而 代表单元体平面上的应力 1 D xx 1 Dx 若要求单元体某一截面上的应力和 可从应力圆的半径按方位角的转向转动角 得到半径 1 CD 2 CE 圆周上点的 坐标分别满足两式E 就代表截面上应力和 证明如下 略 教材 P215 应力圆上的点与单元体上的面之间的对应关系 单元体某一面上的应力 必对应于应力圆上某一点的坐标 单元体上任意 两个面的外法向之间的夹角若为 则在应力圆上代表该两个面上应AB 力的两点之间的圆弧段所对的圆心角必为 且两者转向一致2 应力圆直观地反映了一点处平面应力状态下任意斜截面上应力随截面方位角而变化的规律 以及一点处应力状态的特征 实际应用中 可利用应力圆来理解有关一点处应力状态的一些特征 或分析一点处应力状 态 2 3 主应力与主平面 由应力圆所示 和两点的横坐标分别为该单元体垂直于平面的各截面上正应力中 1 A 2 Axy 的最大值和最小值 在该两截面上的切应力均等于零 一点处切应力等于零的截面称为主平面 主平面上的正应力称为主应力 主应力是过一点处不同方位截面上正应力的极值 可以证明 必存在这样一个单元体 其三个相互垂直的面均为主平面 三个相互垂直的主应力分别记为 和 1 2 3 且规定按代数值大小的顺序排列 即 123 研究如何确定该单元体的主平面位置和主应力数值 和两点的纵坐标均等于零 而横坐标分别为主应力和 1 A 2 A 1 2 由图可见 和两点的横坐标分别为 1 A 2 A 11 OAOCCA 21 OAOCCA 式中 为应力圆圆心横坐标 为应力圆半径OC 1 CA 则可得两主应力值为 22 1 11 4 22 xyxyx 22 1 11 4 22 xyxyx 圆上的点对应平面 圆上的点对应主平面 1 Dx 1 A 1 为上述两平面夹角的两倍 110 2DCA 0 所示单元体上从平面转到主平面的转角为顺时针方向x 1 按规定应为负值 由应力圆可得 11 0 1 tan 2 1 2 x xy B D CB 从而解得表示主应力所在主平面位置的方位角 1 0 2 2arctan x xy 由于为应力圆直径 因而 主平面与主平面相互垂直 12 A A 2 1 3 空间应力状态的概念 对于受力物体内一点处的应力状态 最普遍的情况是所取单元体三对平面上都有正应力和切应力 切应力可分解为沿坐标轴方向的两个分量 如平面上 有正应力 切应力和x x xy xz 切应力的两个下标中 第一个下标表示切应力所在平面 第二个下标表示切应力方向 在平面上有正应力 切应力和 在平面上有正应力 切应力和y y yx yz z z zx zy 这种应力状态称为一般的空间应力状态 在一般的空间应力状态的 9 个应力分量中 根据切应力互等定理 在数值上有 和 xyyx yzzy zxxz 因而独立的应力分量是 6 个 即 x y z xy yz zx 可以证明 在受力物体内的任一点处一定可以找到一个主应力单元体 其三对相互垂直的平面均为主平面 三对主平面上的主应力分别为 1 2 3 空间应力状态时一点处应力状态中最为一般的情况 仅一个主应力不等于零的应力状态 称为单轴应力状态 对于危险点处于空间应力状态下的构件进行强度计算 通常需确定最大正应力和切应力 当受力物体内某一点处的三个主应力 和均为已知时 1 2 3 利用应力圆 可以确定该点处的最大正应力和最大切应力 首先 研究与其中一个主平面 例如平面 垂直的斜截面上的应力 3 应用截面法 沿该斜截面将单元体截分为二 研究其左边部分的平衡 由于主应力所在的两平面上是一对自相平衡的力 则该斜截面上的应力 与无 3 3 关 于是 这类斜截面上的应力可由和作出的应力圆上的点来表示 1 2 而该应力圆上的最大和最小正应力分别为和 1 2 同理 在与 或 主平面垂直的斜截面上的应力和 2 1 可用由和 或和 作出的应力圆上的点来表示 1 3 2 3 表示与三个主平面斜交的任意斜截面上应力和的点 必位于上述三个应力圆所围成 D 的阴影范围内 在空间应力状态下 该点处的最大正应力 代数值 等于最大的应力圆上点的横坐标A max1 最大切应力等于最大的应力圆上点的纵坐标 为B max13 1 2 由点的位置可知 B 最大切应力所在截面与主平面相垂直 并与和主平面互成 45 角 2 1 3 上述两公式同样适用于平面应力状态 其中有一个主应力等于零 或单轴应力状态 其中 有两个主应力等于零 只需将具体问题中的主应力求出 并按代数值排列 123 4 应力与应变间的关系 在一般的空间应力状态下有 6 个独立的应力分量 与之相应的有 6 个独立的应变分量 x y z xy yz zx 讨论在线弹性 小变形条件下 空间应力状态下应力分量与应变分量的物理关系 通常称为广义胡克定律 4 1 各向同性材料的广义胡克定律 一般空间应力状态下单元体的 6 个独立应力分量中 3 个正应力分量的正负号规定同前 而 3 个切应力分量的正负号规定如下 若正面 外法线与坐标轴正向一致的平面 上切应力矢的指向与坐标轴正向一致 或负面 外法线与坐标轴负向一致的平面 上切应力矢的指向与坐标轴负向一致 则该切应力为正 反之为负 线应变以伸长为正 缩短为负 切应变均以使直角减小者为正 增大者为负 对于各项同性材料 沿各方向的弹性常数 均分别相同EG 由于各向同性材料沿任一方向对于其弹性常数都具有对称性 因而 在线弹性 小变形条件下 沿坐标轴 或应力矢 方向 正应力只引起线应变 而切应力只引起同一平面内的切应变 线应变与正应力之间的关系可用叠加原理求得 在 分别单独存在时 方向的线应变依次分别为 x y z x x x x E y x E z x E 则在 同时存在时 可得方向的线应变 x y z x 同理可得 和方向线应变 分别为yz 1 xxyz E 1 yyzx E 1 zzxy E 切应变与切应力之间的关系分别为 xy xy G yz yz G zx zx G 上式即为一般空间应力状态下 在弹性 小变形下各向同性材料的广义胡克定律 若已知空间应力状态下单元体的三个主应力 则沿主应力方向只有个线应变 无切应变 与主应力 相应的线应变 称为主应变 1 2 3 1 2 3 主应变为一点处各方位线应变中的最大与最小值 广义胡克定律可用主应力与主应变表示为 1123 1 E 2231 1 E 3312 1 E 材料的三个弹性常数存在着如下关系 2 1 E G 4 2 各向异性材料的广义胡克定律 木材 玻璃钢纤维增强复合材料的力学性能是与受力方向有关 即是各向异性材料 每一个应力分量将引起所有的 6 个应变分量 4 3 各向同性材料的体应变 构件在受力变形后 通常引起体积变化 每单位体积的体积变化 称为体应变 用表示 123 1 2 E 任一点处的体应变与该点处的三个主应力之和成正比 5 空间应力状态下的应变能密度 物体受外力作用而产生弹性变形时 在物体内部将积蓄有应变能 每单位体积物体内所积蓄的应变能称为应变能密度 在单轴应力状态下 物体内所积蓄的应变能密度为 2 2 1 222 E v E 对于在在线弹性 小变形条件下受力的物体 所积蓄的应变能只取决于外力的最后数值 而与加力的顺序无关 设一单元体处于空间应力状态 三个主应力按比例加载方式 同时由零增至最终值 1 2 3 对应于每一个主应力 其应变能密度可以视作该主应力在与之相应的主应变上所作的功 而其他两个主应力在该主应变上并不做功 因此 单元体的应变能密度为 1 12233 1 2 v 经整理化简后 222 123122331 1 2 2 v E 一般情况下 单元体将同时发生体积改变和形状改变 123 1 3 m 其中 称为平均应力 m 将主应力单元体分解为两种单元体的叠加 在平均应力的作用下 单元体形状不变 仅发生体积改变 且三个主应力之和与原三个主应力之和相等 故其应变能密度就等于原单元体的体积改变能密度 即 222222 1 2 2 Vmmmmmm v E 2 123 3 1 2 1 2 26 m EE 分解剩下的单元体的三个主应力和为零 故体积不变 仅发生形状改变 其应变能密度就等于原单元体的形状改变能密度 化简后可得 222 122331 1 6 d v E 可以证明 应变能密度 体积改变能密度 形状改变能密度 Vd vvv 对于一般空间应力状态下的单元体 其应变能密度可用 6 个应力分量来表达 在小变形条件下 对应每个应力分量的应变能均等于该应力分量与相应的应变分量乘积之 半 1 2 xxyyzzxyxyyzyzzxzx v 6 强度理论及其相当应力 关于材料破坏或失效的假设 称为强度理论 材料破坏或失效的基本形式有两种类型 一类是在没有明显的塑性变形情况下发生突然断裂 称为脆性破坏 一类是材料产生显著的塑性变形而使构件丧失正常的工作能力 称为塑性屈服 第一类强度理论是以脆性断裂作为破坏标志的 其中包括最大拉应力理论和最大伸长线应变理论 最大拉应力理论 第一强度理论 这一理论假设 最大拉应力是引起材料脆性断裂的因素 t 认为不论处于什么样的应力状态下 只要构件内一点处的最大拉应力 即 达到材料的极限应力 t 1 u 材料就会发生脆性断裂 至于材料的极限应力 则可通过单轴拉伸试样发生脆性断裂的试验来确定 u 按照这一强度理论 脆性断裂的判据是 1u 将式右边的极限应力除以安全系数 就得到材料的许用拉应力 按照第一强度理论所建立的强度条件为 1 上式中的为拉应力 1 在没有拉应力的三轴压缩应力状态下 不能采用第一强度理论来建立强度条件 式中的为试样发生脆性断裂的许用拉应力 不可能通过拉伸试验测得材料发生脆性断裂的极限应力 u 不能单纯地理解为材料在单轴拉伸时的许用应力 最大伸长线应变理论 第二强度理论 这一理论假设 最大伸长线应变是引起材料脆性断裂的因素 t 认为不论处于什么样的应力状态下 只要构件内一点处的最大伸长线应变 即 达到材料的极限值 t 1 u 材料就发生脆性断裂 同理 材料的极限值同样可通过单轴拉伸试验发生的脆性断裂试验来确定 若材料直到发生脆性断裂都可近似地看作线弹性 即服从胡克定律 u u E 式中及时单轴拉伸试样在拉断时其横截面上的正应力 u 脆性断裂的判据为 1 u u E 由广义胡克定律可知 在线弹性范围内工作的构件 处于空间应力状态下一点处的最大伸长线应变为 1123 1 E 上式可改写为 或 123 1 u EE 123 u 将上式右边的除以安全因数记得材料的许用拉应力 u u 按第二强度理论所建立的强度条件为 123 以上分析中引用了广义胡克定律 所以 按照这一强度理论所建立的强度条件只适用于构件直到脆断前都服从胡克定律的情况 第二类强度理论是以出现塑性屈服或发生显著的塑性变形作为失效标志的 其中包括最大切应力理论和形状改变能密度理论 最大切应力理论 第三强度理论 这一理论假设 最大切应力是引起材料塑性屈服的因素 max 即认为不论处于什么样的应力状态下 只要构件内一点处的最大切应力达到了材料屈服时的极限值 max u 该点处的材料就发生屈服 材料屈服时切应力的极限值 同样可以通过单轴拉伸试样发生屈服的试验来确定 u 对于像低碳钢这一类的塑性材料 在单轴拉伸试验时 材料就是沿最大切应力所在的 45 斜截面发生滑移而出现明显的屈服现象的 这时试样在横截面上的正应力就是材料的屈服极限 s 对于这一类材料 可得材料屈服时切应力的极限值为 u 2 s u 按照这一强度理论 屈服判据为 max 2 s u 在复杂应力状态下一点处的最大切应力为 max13 1 2 式中 和分别为该应力状态中的最大和最小主应力 1 3 屈服判据可改写为 或 13 11 22 s 13 s 将上式右边的除以安全因数即得材料的许用拉应力 s 故按第三强度理论所建立的强度条件为 13 在上式右边采用了材料在单轴拉伸时的许用拉应力 这只对于在单轴拉伸时发生屈服的材料才适用 脆性材料 不可能通过单轴拉伸试验的到材料屈服时的极限值 u 对于这类材料在三轴不等值压缩的应力状态下发生塑性变形时 式子右边的就不能选用材料在单轴拉伸时的许用拉力 形状改变能密度理论 第四强度理论 这一理论假设 形状改变能密度是引起材料屈服的因素 d v 认为不论处于什么样的应力状态 只要构件内一点处的形状改变能密度达到了材料的极限值 d v du v 该点处的材料就发生塑性屈服 对于像低碳钢一类的塑性材料 因为在拉伸试验时当正应力达到就会出现明显的屈服现象 s 故可通过拉伸试验来确定材料的值 可用 du v 222 122331 1 6 d v E 将 代入上式 从而求得材料的极限值为 1s 23 0 du v 2 1 2 6 dus v E 按照这一强度理论 屈服判据可改写为 ddu vv 2222 122331 11 2 66 s EE 可化简为 222 122331 1 2 s 再将上式右边得除以安全因数得到材料的许用拉应力 s 于是按第四强度理论所建立的强度条件为 222 122331 1 2 式中 和是构件危险点的三个主应力 1 2 3 式子右边采用材料在单轴拉伸时的许用拉应力 因而 只对在单轴拉伸时发生屈服的材料适用 试验表明 在平面应力状态下 一般地说 形状改变能密度理论较最大切应力理论更符合实验结果 由于最大切应力理论是偏于安全的 且较为简单 实践中应用较为广泛 四个强度理论所建立的强度条件可统一写作 r 式中 是根据不同强度理论所得到的构件危险点处三个主应力的某些组合 r 四个强度理论的相当应力表达式归纳与表 强度理论的分类及名称相当应力表达式 第一类强度理论 脆性断裂强度理论 第一强度理论 最大拉应力理论 第二强度理论 最大伸长线应变理论 11r 2123 r 第二类强度