北大版-线性代数第一章部分课后答案详解

习题习题 1 2 1 写出四阶行列式中含有因子的项 11121314 21222324 31323334 41424344 aaaa aaaa aaaa aaaa 1123 a a 解 由行列式的定义可知 第三行只能从 中选 第四行只能从 中选 所 32 a 34 a 42 a 44 a 以所有的组合只有或 即含有因子的项 1324 1 11233244 a a a a 1342 1 11233442 a a a a 1123 a a 为和 11233244 a a a a 11233442 a a a a 2 用行列式的定义证明 0 1112131415 2122232425 3132 4142 5152 000 000 000 aaaaa aaaaa aa aa aa 证明 第五行只有取 整个因式才能有可能不为 0 同理 第四行取 第 51 a 52 a 41 a 42 a 三行取 由于每一列只能取一个 则在第三第四第五行中 必有一行只能取 0 以 31 a 32 a 第五行为参考 含有的因式必含有 0 同理 含有的因式也必含有 0 故所有因式 51 a 52 a 都为 0 原命题得证 3 求下列行列式的值 1 2 0100 0020 0001 000 n n 0010 0200 1000 000 n n 解 1 0100 0020 0001 000 n n 2341 1 n 1 2 3n 1 1 n n 2 0010 0200 1000 000 n n 1221 1 nnn 1 2 3n 12 2 1 nn n 4 设 n 阶行列式 A B 其中 试 111 1 n nnn aa aa 11 11121 2 21222 12 12 n n n n nn nnnn aa ba b a baa b a ba ba 0b 证明 A B 证明 B 11 11121 2 21222 12 12 n n n n nn nnnn aa ba b a baa b a ba ba 1 2 12 12 1 2 12 12 1 n n n n s ss snss sss n s ssn a baba b 1 2 12 12 1 2 12 12 1 n n n n s ss snss sss n s ssn a aabbb A 1 2 12 12 1 2 1 2 12 1 n n n n s ss sssn sss n s ssn a aa b 1 2 12 1 2 12 1 n n n s ss sss n s ssn a aa 命题得证 5 证明 如下 2007 阶行列式不等于 0 D 2222 3333 2007200720072007 1220062007 2320072008 3420082008 2007200820082008 证明 最后一行元素 除去是奇数以外 其余都是偶数 故含的因式也 2007 2007 2007 2008 都是偶数 若最后一行取 则倒数第二行只有取才有可能最后乘积为奇 2007 2007 2006 2007 数 以此类推 只有次对角线上的元素的积为奇数 其余项的积都为偶数 故原命题得证 习题习题 1 3 1 求下列行列式的值 1 2 3 A 3111 1311 1131 1113 0111 1011 1101 1110 c 232432 36310 6b 3 abcd aababcabd aababcabcd aababcacd 解 1 48 3111 1311 1131 1113 34 23 12 3111 2200 0220 0022 43 32 21 cc cc cc 6321 0200 0020 0002 2 0111 1011 1101 1110 34 23 12 0111 1100 0110 0011 43 32 21 cc cc cc 3321 0100 0010 0001 3 3 A c 232432 36310 6b 3 abcd aababcabd aababcabcd aababcacd c 232432 36310 6b3 abcd aababcabd aababcabcd aababcacd 0 232432 36310 63 acd aaabcabcd aaabcabcd aaabcabcd 32432 6310 63 abcd ababcabcd ababcabcd ababcabcd 00 232432 36310 63 ad aaababcd aaababcd aaababcd 0000 2432232432 310 6336310 63 acda aacabcdaaababc aacabcdaaababc aacabcdaaababc 00000000 2322343222432 3633610 633310 63 adaa aaabdaaaabcaababc aaabdaaaabcaababc aaabdaaaabcaababc 000000000000 2343232234233 3610 63633610366 aaaa aaaabaaacaaaaaaab aaaabaaacaaaaaaab aaaabaaacaaaaaaab 2 4 3243 1 6 22 35 000 000 000 11 1100 00 26 26 234343 2340 5553610 3610 3610 a a a aa aaaaaa aaaa aaaaaaa aaaa aaaa aaaa 4 13 10 65 aaaaa 2 求下列 n 阶行列式的值 1 2 3 2 12 122 21223 1112 n nnn nnn nnnnn 3222 2322 2232 2223 4 123 103 120 1230 n n n 123 113 121 1231 n xn xn x 解 1 n D 2 12 122 21223 1112 n nnn nnn nnnnn 1 若 n 1 则 1 n D 2 若 n 2 则 n D 12 34 2 3 若 则 3n n D 2 12 122 21223 1112 n nnn nnn nnnnn 23 12 0 2 12 1112 n nnn nnn nnnnn 综上 n D 11 22 03 n n n 2 3222 2322 2232 2223 1ii 其中 i 先后取n n 1 2 3222 1100 0110 00011 1ii cc i 依次取n n 1 2 321222 22 0100 0010 0 00001 nn 2n 1 3 123 103 120 1230 n n n 1 n n 1 2 i i 依次取 123 22 32 32 n n n n n 4 123 113 121 1231 n xn xn x 1 2 3n i i icc 依次取 1 11 12 11 x x xn 121xxxn 习题习题 1 4 1 计算下列行列式 1 2 0 000 00 0000 xabc yd czf ghkul v 2 1121 2 2122 2 12 1 x 1 1 n n nnn x xx x x xxx x x xx xx 3 4 765432 978943 749700 536100 005600 006800 0001 0000 0000 0000 1000 n n a a a a a 解 1 0 000 00 0000 xabc yd czf ghkul v 24 24 cc 0 00 0000 0000 xbac gukhl zcf y v xyzuv 12 12 cc 0 00 0000 0000 ugkhl xbac zcf y v 2 D 2 1121 2 2122 2 12 1 x 1 1 n n nnn x xx x x xxx x x xx xx 2 112 2 212 12 1 x0 10 1 nn x x x xx x xx x 2 1121 2 2122 2 12 1 x 1 n n nnn x xx x x xxx x x xx xx 2 1121 2 2122 2 1 1121 1 x 1 1 1 n n n n nnn x xx x x xxx x xxxxx 2 n x 2 1121 2 2122 12 1 x 1 1 x xx x xxx xx 2 11211 2 21221 2 1 1121 1 x 1 1 n n nnn x xx x x xxx x xxxxx 2 n x 1 2 11212 2 21222 2 21222 1 x 1 1 n n nnn x xx x x xxx x xxxxx 2 n 1 x 2 n x 22 12 xx 2 n x 2 1121 2 2122 12 1 x 1 1 x xx x xxx xx i 1 2n 1 ni i x 依次取 1 123 1 1 1 1xxx 3 765432 978943 749700 536100 005600 006800 5 63 4 7632 56 9743 1 68 7400 5300 4 3 4 1 2 5674 32 1 6853 43 56 68 74 32 53 43 4 0001 0000 0000 0000 1000 n n a a a a a n a 231 1 2 1 nn n a 22 1 n aa 2 试用拉普拉斯定理计算 A 1234 2222 1234 11100 12300 01111 0 0 xxxx xxxx 解 1 21 21 2 1 3 234134 222222 1234224134 2222 1234 11100 12300111111 1111 011111 1 1213 0 0 xxxxxx xxxxxxxxxx xxxx 1 22 3 344332423141 22 34 011 11 102 23 0 xxxxxxxxxxxx xx 2 利用范德蒙行列式计算 1 2 11 1 1 1 1 111 nn n nn n aaan aaan aaan 11 1111 11 11 222222 11 111111 nnnn nnnn nnnn nnnnnn aababb aaba bb aababb 0 i a 1 2 1in 解 1 11 1 1 1 1 111 nn n nn n aaan aaan aaan i1 n 12 i i 依次取n n 1 1 11 111 1 1 nn n aaan aaan 同理 n 121 111 1 1 1 n nn n aaan aaan 1 2 11 1 n n nij ji 2 11 1111 11 11 222222 11 111111 nnnn nnnn nnnn nnnnnn aababb aaba bb aababb n 1 21n a aa 2 111 111 2 222 222 2 333 333 2 111 111 1 1 1 1 n n n n nnn nnn bbb aaa bbb aaa bbb aaa bbb aaa n 121n a aa n 11 j i ij ij b b aa n 11 ijij ij baab 习题习题 1 5 1 用克莱姆法则解下列方程 1 1234 124 234 1234 258 369 225 4760 xxxx xxx xxx xxxx 解 D 2151 1306 0212 1476 24 2151 1306 0212 07712 3 42 3 1 21 21 77 16 27 3 42 4 22 25 1 712 10 3 43 4 12 21 1 712 13 同理 91 27 3 x D y D108 z D27 w D 1 x x D D 2 x y D D 4 3 x z D D 1 4 w D x D 1 总复习题一总复习题一 1 计算行列式 D 2111 4211 201 1029998 1212 2 计算行列式 D 246427327 1014543443 342721621 3 计算行列式 D 1111 1111 1111 1111 x x y y 4 计算行列式 D 1111 1111 1111 1111 x x x x 5 计算行列式 D 1333 3233 3333 333n 6 计算行列式 A 11121 21222 12 n n nnnn ababab ababab ababab 7 计算行列式 D 100 120 123 1 2 1n n 8 证明 D 1 2 3 1111 1111 1111 1111 n a a a a 9 证明 2cos1000 12cos100 012cos00 0002cos1 00012cos x x x x x sin 1 sin nx x 10 试证明 11121 21222 12 n n nnnn atatat atatat d dt atatat 1111 2122 1 1 jn n jn j nnjnn d atatat dt d atatat dt d atatat dt 11 一个 n 阶行列式的元素满足 则称为反对称行列式反对称行列式 证明 奇数阶反对称行列式为 n D 零 12 计算由杨辉三角规律给出的 n 阶横列式 D 11111 1233 136 14 1 解 1 D 2111 4211 201 1029998 1212 331 1 2 4 cc i i cc 依次取 4212 6310 33991 3311 34 4212 6310 33991 001000 4 3 422 1100 630 331 1800 2 D 246 246427327 1014543443 342721621 1 1 1 543443 721621 1 2 1014443 1427 342621 246 1 3 1014543 1327 342721 50043600214004370021 246 17800 427 1014 621 342 443 327 1014 721 342 543 342 1014 721 427 100427 721 100 543 427 100427 543 100 4378800 29811600 3967200 29400000 3 D 1111 1111 1111 1111 x x y y 4 1 2 3 i i cc 依次取 x001 001 001 1 x y yyyy x001 001 001 1 x y yyy x000 000 000 x y yyyy 1 2 3 4 i i 依次取 x001 00 00 0 xx xy xyyy 22 x y 34 x001 00 00 y00 xx xy y 22 x y 22 x y 4 D 1111 1111 1111 1111 x x x x 1ii i cc 依次取1 2 3 001 01 01 001 xx xx xx x 1 3 2 1 ii i 依次取 x 1 00 001 x x x 3 14 4 2 1x 4 x 5 D 1333 3233 3333 333n 3 1 2 4 5 6n i i cc 依次取 23 13 3 1 3 33n 3 6 2 1 1 3n 3n 6 计算行列式 A 11121 21222 12 n n nnnn ababab ababab ababab A 11121 21222 12 n n nnnn ababab ababab ababab 1 若 n 1 则 A 11 ab 2 若 n 2 则 A 1112 2112 2122 abab aabb abab 3 若 n3 则 A 0 1112112231 2122212232 121223 nn nn nnnnnn abababbbbbab abababbbbbab abababbbbbab 11 2112 1 2 03 abn Aaabbn n 7 计算行列式 D 100 120 123 1 2 1n n 23 12 100 020 003 1 2 1n n 1 1 1 n 20 03 1 2 1n n 1 n 1 1 1 n 1 1 2 3 1 2 1n n 32 1 n 1 2 6 1n n 3 4 2 13 nn n 1 2 13 n n n 8 证明 D 1 2 3 1111 1111 1111 1111 n a a a a 12 1 1 1 n n i i a aa a 12n a aa 0 D 1 2 3 1111 1111 1111 1111 n a a a a 1 in 1n 22 1 ii 依次取 1 12 23 21 1 1 a1111 nn nn aa aa aa aa i 1 nn 12 i i 依次取 n 1n 2n n 1n 1111 a 00a a 0 aa a a 1 2 n 1 1111 000 0 0 a0 a a n 1n 2n n 1n 111a 00a a 0 aa a a 1 n1 121 11 n n a aa n a 1 2 n 1 1111 001 1 0 a1 a a 1 11nii i acc 依次取2 3 n 121n a aa n a 111 121 1 2 n 1 1111 000 0 0 a0 n aaa a a 121n a aa n a 1 1 n 111 121 1 n aaa n 1 1 121n a aa 12 1 1 1 n n i i a aa a 9 证明 2cos1000 12cos100 012cos00 0002cos1 00012cos x x x x x sin 1 sin nx x n D 2cos1000 12cos100 012cos00 0002cos1 00012cos n n x x x x x 2cosx 11 2cos1000 12cos100 012cos00 0002cos1 00012cos nn x x x x x 2cosx 22 1100 02cos100 01 2cos1 0012cos nn x x x 1n D 2n D 下面用归纳假设法证明 1 当 n 1 时 1 D2cosx sin2 sin x x 当 n 2 时 2 D 2cos1 12cos x x 2 2cos xcos2x sin3 sin x x sin3 sin x x sin2 coscos2 sin sin xxxx x 2 2cos xcos2x 当 n 3 时 同理可证 3 D 2cos10 12cos1 012cos x x x 3 8cos x4cosx sin4 sin x x 又 3 D2cosx 2 D 1 D 3 8cos x4cosx sin4 sin x x 2 假设 当 n k时 有 成立 3k k D sin k1 sin x x 1k D sin sin kx x 则当 n k 1 时 有 1k D 11 2cos1000 12cos100 012cos00 0002cos1 00012cos kk x x x x x 2cosx k D 1k D 2cosx sin k 1 sin x x sink sin x x 2cos sin 1 sin 1 coscos 1 sin sin xkxkxxkxx x 满足 则原命题得证 sin 1 coscos 1 sin sin kxxkxx x sin2 sin kx x 10 试证明 11121 21222 12 n n nnnn atatat atatat d dt atatat 1111 2122 1 1 jn n jn j nnjnn d atatat dt d atatat dt d atatat dt 10 证明 11121 21222 12 n n nnnn atatat atatat d dt atatat d dt 1 2 12 12 1 n n s ss sss n at atat 1 2 12 12 1 n n s ss sss n d