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第四章向量空间 平面上的向量的全体 任意 规定加法和数乘为 易见向量的加法和数乘满足矩阵的8条运算规律 于是就是平面上全体向量的集合 具有两个封闭的运算 加法和数乘 这两个运算适合8条规律 4 1向量的定义及运算 同样 欧式 空间中的向量视为 即实数域上所有三维向量的全体 类似地规定向量加法和数乘 加法和数乘运算也适合8条规律 n维行向量和n维列向量都称为n维向量 vector n维向量常用小写黑体字母表示 将2 3维向量推广到n维向量 定义4 1 1由n个数构成的有序数组 记作 称为n维行向量 若记作 则称为n维列向量 称数为的第i个分量 例 例 n 1次代数多项式 系数向量 n维向量的实际意义 时 维向量没有直观的几何形象 例 确定飞机的状态 需要以下6个参数 飞机重心在空间的位置参数P x y z 机身的水平转角 机身的仰角 机翼的转角 所以 确定飞机的状态 需用6维向量 定义4 1 2设两个向量 则称向量 与 相等 记作 1 如果它们对应的分量分别相等 即 3 数量乘法 k为实数 称向量 2 加法 称向量 为 与 的和 记作 为k与 的数乘 记作 5 称为 的负向量 记作 因而可以定义向量的减法运算 4 分量全为0的向量称为零向量 记作0 注意区别数零和零向量 对任意的n维向量 及任意的数k l 向量的线性运算满足下面八条基本的运算规律 向量的加法以及数与向量的数乘统称为向量的线性运算 这些运算可归结为数 分量 的加法与乘法 显然 向量的线性运算是矩阵的线性运算的特殊情形 定义4 1 3全体n维实行向量构成的集合 对于上面定义的向量加法 实数与向量的数乘运算 构成n维 实 行向量空间 类似地 定义n维 实 列向量空间 用符号表示或 称为n维 实 向量空间 例4 1 1设求 解 得到的向量称为向量组的线性组合 或称可由线性表出 定义4 1 4给定中的向量实数 经线性运算 两个向量的线性组合的几何示意图 证明 由向量的线性运算 得 即 例4 1 2向量和的几个线性组合 例4 1 5令 能否写成和的线性组合 解 根据定义 问题即判断向量方程 是否有解 即 利用初等行变换将增广矩阵化成行最简形 解是 因此可以写成和的线性组合 其增广矩阵为 当是行向量空间时 上式两端转置 得 当是列向量空间时 其增广矩阵为 有无解 一般地 判断能否由向量组线性表出 即判断向量方程 线性方程组的向量表示形式 定义4 1 5设由的所有可能的线性组合构成的集合称为由张成 生成 的的子集 记为即 若和是非零向量 且不共线 则表示由向量和确定的平面 从几何上看 若是非零向量 则表示由向量确定的直线 例4 1 6令则 最后一个方程是方程组无解 即不在中 是中过原点平面 判断是否位于此
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