正、余弦定理的推广

正 余弦定理的推广正 余弦定理的推广 平面几何的许多定理都可以类比推广至三维空间 例如三角形中的正弦定理 余弦定理 勾股定理 射影定理等定理被推广至四面体中 本文拟将几个很常见的平面几何定理推广三维空间 类比是一种最活跃 最基本的推理形式 它有着自身的一些特点 跳跃性 可靠程度低 纵观人类的科技进步发展史 人们很快地发现 尽管类比法的可靠性不高 但它依然被广泛地应用 许多 科学家 发明家 数学家 通过类比法 创造出了更多的新理论 发明了许多实用技术与机器 并因此不 断地推动社会发展 类比法在数学的发展中也有着很重要的作用 例如 有人把平面上的勾股定理 222 cbc 推广到三维空间上 在两两垂直的四面体中 各侧面面积的平方和等于底面面积 即 2222 CBAD 我们可以猜想 是否任意四面体中都有类似的结果 下面将给出平面几何中一些定 理在空间四面体上的推广 余弦定理 对于任意三角形ABC 对应三边为 cba 成立任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这 两边与他们夹角的余弦的两倍积 即 Abccbacos2 222 Baccabcos2 222 Cbaabccos2 222 下面 我们给出三角形中的余弦定理在空间四面体中的推广 定理 1 在任何一四面体中 它的一个面面积的平方等于其它三个面面积的平方和 减去这三个面中每两个 面的面积与它们所夹二面角余弦的积的两倍 证明 设三角形 ABD ACD BCD ABC 的面积分别为 1 S 2 S 3 S 4 S 并且记 1 S 与 2 S 所成的二面角为 21 Q 1 S 与 3 S 所成的二面角为 31 Q 1 S 与 4 S 所成的二面角为 41 Q 2 S 与 3 S 所成的二面角为 32 Q 2 S 与 4 S 所成 的二面角为 42 Q 3 S 与 4 S 所成的二面角为 43 Q 则成立 41412121 2 4 2 2 2 1 2 3 cos2cos2 QSSQSSSSSS 4242 cos2 QSS 证明 如图 3 2 D G F E H C B A 图 3 2 4343223113 coscoscos QSQSQSS 1 将 1 式两边都乘以 3 S 得 434332233113 2 3 coscoscos QSSQSSQSSS coscos coscos 4242112241421211 QSQSSSQSQSSS 42241144 coscos QSQSSS 4241412121 2 4 2 2 2 1 2cos2cos2 SSQSSQSSSSS 42 cos Q 证毕 同样的 我们可以将三角形中的正弦定理也推广到空间四面体中 正弦定理 对于任意三角形ABC 对应三边为 cba 三角形ABC外接圆半径为R 成立 R C c B b A a 2 sinsinsin 正弦定理在空间四面体中的推广 定理 2 11 四面体 4321 AAAA 的四个面为 i 以下 4 3 2 1 i 所对定点为 i A 其面积依次为 i S 每个面 得三角形的外接圆半径为 i R 每个面得三角形三条边在另外三个面所在三角形的对应角为 ij jiji 且 4 3 2 1 如 14 表示顶点 4 A 所对应的三角形 321 AAA 角 1 A 的度数 则成立 4321 434241 2 44 343231 2 33 242321 2 22 141312 2 11 2 sinsinsinsinsinsin sinsinsinsinsinsin RRRR RSRS RSRS 证明 如图 3 3 A4 A3 A2 A1 图 3 3 四面体 4321 AAAA 的底面为 1 S 则 32442321 sin 2 1 AAAAAAAS 由题中所设 有 14432 sin2 RAA 13342 sin2 RAA 12243 sin2 RAA 12 1 2 1 122 1 43 324 sin 2 sin2 2 sin R R R R R AA AAA 32442321 sin 2 1 AAAAAAAS 12 1 2 133144 sinsin2sin2 2 1 R R RR 141312 1 432 sinsinsin 2 R RRR 等式两边都乘以 141312 2 1 sinsinsin R 得 4321 141312 2 11 2 sinsinsin RRRR RS 同理可得 4321 242321 2