毕业论文_20112831010113736

浅述行列式的常见计算方法 1 浅述行列式的常见计算方法 摘 要 行列式理论活跃在数学的各个分支 同时也是现代物理及其它一些科学技 术领域中不可缺少的工具 行列式的计算是线性代数的一个基础内容 计算阶行n 列式的方法很多 行列式的计算具有一定的规律性和技巧性 本文从总体的角度出 发 结合实例 归纳出了八种常用的求行列式的计算方法 这些方法在某些情况下 可以有效地简化行列式的计算 关键词 阶行列式 计算方法 行列式的性质 解题技巧n The common solution of determinant Abstract Theory of determinant actives in various branches of mathematics and it is also an indispensable tool in modern physics and other fields of science and technology The basic content of linear algebra is about the calculation of determinant and there are many ways to calculate determinant because the calculation of determinant has certain regularity and skill In this paper from the general perspective combining with examples we summarized eight common used methods of calculating determinant which can effectively simplify the calculation of the determinant Keywords n Order determinant Calculation Determinants Problem solving skills 浅述行列式的常见计算方法 2 1 引言 行列式是线性代数的基础 是重要的数学工具和概念之一 它来源于解线性方 程组 17 世纪末 莱布尼兹研究线性方程组的解法时 得到现在称为结式的一个行 列式 大约在 1729 年 马克劳林开始用行列式的方法解含 2 4 个未知量的线线性方 程组 还使用了所谓的克莱姆法则 克莱姆在 1750 年把这个法则发表出来 贝祖 于 1764 年研究齐次线形方程组 证明了系数行列式等于零是方程组有非零解的条件 对行列式理论作专门研究 不单纯作为工具 的第一个人是范德蒙德 1772 年 他 建立了用二阶子式和它们的余子式展开行列式的法则 在同一年 拉普拉斯就推广 了范德蒙德的结果 用 r 阶子式及其余子式来展开行列式 行列式这个名词最早出 现在 18 世纪初柯西的著作中 在我国古代虽然没有行列式这个概念 但古算 九章算术 中解方程组的方法 与行列式的运算十分相似 在 1683 年的著作 解伏题之法 中对行列式的概念和展 开已有清楚的叙述 他与莱布尼兹虽各自独立提出 但时间却先于莱布尼兹 无论是线形代数 多项式理论 还是在微积分学中 比如说换元积分法中 行 列式作为基本的数学工具 都有着重要的应用 十七世纪晚期 关孝与莱布尼兹的 著作中已经使用行列式来确定线性方程组解的个数以及形式 十八世纪 行列式开 始作为独立的数学概念被研究 十九世纪以后 行列式理论进一步得到发展和完善 矩阵概念的引入使得更多有关行列式的性质被发现 行列式在许多领域都逐渐显现 出重要的意义和作用 出现了线形自同态和向量组的行列式的定义 本文着重介绍了行列式的常见解法 第二部分 介绍了行列式的定义和行列式 的性质 第三部分 着重介绍了八种行列式的特殊解法 分别是 化三角形法 拆 行 列 法 降阶法 升阶法 加边法 特殊公式法 递推法 数学归纳法 辅助 行列式法 其中降阶法包括应用按行 列 展开定理降阶和应用拉普拉斯定理降阶 特殊公式法中包括范德萌行列式的应用与 爪 型行列式的解法 每种方法后 都 举例说明了它们的应用 并且对每种方法进行了评注 同时 还对某些方法进行了 推广 第四部分 对全文进行了总结 浅述行列式的常见计算方法 3 2 预备知识 2 1 行列式的定义及有关概念 2 1 1 阶行列式n 定义 这里表示对所 1 2 12 1 2 11121 21222 12 12 1 n n n nj jj jjnn j jj nnnn aaa aaa Da aa j aaa 1 2n j jj 有的元排列求和 阶行列式表示所有取自不同行不同列的个元素的乘积nnDn 的代数和 这里是1 2 的一个排列 当是偶排 12 12 n jjnj a aa 12n j jj n 12n j jj 列时 该项的前面带正好 当是奇排列时 该项的前面带负号 12n j jj 2 1 2 排列 定义 由1 2 组成的一个有序数组称为一个级排列 nn 2 1 3 逆序与逆序数 定义 在一个排列中 如果一对数的前后位置与大小顺序相反 即前面的数大于后 面的数 那么它们就称为一个逆序 一个排列中逆序的总数就称为这个排列的逆序 数 2 1 4 奇排列与偶排列 定义 逆序数为偶数的排列称为偶排列 逆序数为奇数的排列称为奇排列 2 2 行列式的性质 性质 1 行列式与它的转置行列式相等 即 T DD 性质 2 互换行列式的两行 列 行列式变号 性质 3 行列式的某一行 列 中所有元素都乘以同一数 等于用乘此行列式 kk 推论 1 行列式中某一行 列 的公因子可以提到行列式的符号外 浅述行列式的常见计算方法 4 推论 2 若 即行列式中某一行 列 的元素全为零 则行列式的值为零 0k 性质 4 行列式中如果有两行 列 元素相等 则行列式的值为零 性质 5 若行列式的某一行 列 中各元素均为两项之和 则此行列式等于两个行 列式之和 例如 111211112111121 11221212 121212 nnn iiiiininiiiniiin nnnnnnnnnnnn aaaaaaaaa abababaaabbb aaaaaaaaa 性质 6 把行列式的某一行 列 的各元素乘以同一数加到另一行 列 的对应元 素上 行列式的值不变 2 3 子式 余子式及代数余子式 定义 1 在一个级行列式中任意选定行列 位于这些行和列的交叉nDkk kn 点上的个元素按照原来的次序组成一个级行列式称为行列式的一个级子 2 kkMDk 式 定义 2 在中划去这行列 后余下的元素按照原来的次序组成一个Dkk 11 kn 级行列式 称为级子式的余子式 nk M kM 定义 设的级子式在中位于第行与列 则称3DkMD 12 k i ii 12 k jjj 为级子式的代数余子式 1212 1 kk iiijjj AM kM 3 行列式的计算方法 3 1 化三角形法 所谓 化三角形 计算行列式 就是利用行列式的性质将所给行列式化为三角 行列式 然后利用有关三角形行列式的结论求出行列式值的方法 原则上 每个行 列式都可以利用行列式的性质化为三角形行列式 但对于阶数较高的行列式 在一 般情况下 计算往往较繁琐 因此 在许多情况下 总是先利用行列式的性质将其 化为保值变形 再将其化为三角形行列式 浅述行列式的常见计算方法 5 例 1 计算阶行列式 9 n n xaaa axaa Daaxa aaax 解 注意到该行列式每列 列 各元素之和相等 如下计算 1 2 1 1 1 1 n i i cc n xnaaaa xnaxaa Dxnaaxa xnaaax 提出第一列公因子 1 1 1 1 1 aaa xaa xnaaxa aaa 1 2 3 1 000 1 000 000 ir r in aaa xa xnxa xa 1 1 nxna xa 评注 各行 列 的元素之和相等的行列式 都可首选考虑应用此法 3 2 拆行列法 所谓 拆行列法 是利用行列式的单行 列 可加性 把要计算的行列式拆成 若干个同阶行列式之和 然后求出各行列式的值 进而计算行列式值的一种方法 例 2 计算行列式 3 axbyaybzazbx Daybzazbxaxby azbxaxbyaybz 解 将行列式的每一列拆成两项之和 共拆成个行列式的和 其中 6 个行列式 3 2 8 都有两列元素成比例 因而为零 剩下的两个行列式 即 axbyaybzazbxaxayazbybzbx aybzazbxaxbyayazaxbzbxby azbxaxbyaybzazaxaybxbybz 浅述行列式的常见计算方法 6 3333333 3 xyzyzx a yzxb zxyabxyzxyz zxyxyz 3 3 降阶法 3 3 1 应用按行 列 展开定理降阶 定理 阶行列式等于它的任意一行 列 的所有元素与它们的代数余子式乘积之n 和 即 称为按行 列 展开定理 11 1 2 1 2 nn ikikkjkj kk Da AinDa Ajn 或 例 3 计算阶行列式 5 n 000 000 000 000 n xy xy D xy yx 解 按第一列展开 1 1 0000000 000000 1 0000000 000000 n n n xyy xyxy Dxy xyy yxxy 1 1 nnn xy 评注 按行 列 展开法可以将一个阶行列式化为个阶行列式计算 若继nn1n 续使用按行 列 展开法 可以将阶行列式化为许多个 2 阶行列式计算 但一般n 情况下 按行 列 展开并不能减少计算量 仅当行列式的某行或者某列有较多的 0 时 常常首先考虑按该行列展开 然后再进行计算 例 记行列式 为 4 2 2123 22212223 33324535 4435743 xxxx xxxx xxxx xxxx f x 则方程的根的个数为 0f x 解 因为把行列式化为多项式 即可判断根的个数 浅述行列式的常见计算方法 7 43 21232123 21232123 31143114 81195005 xxxxxxxx f xrr xx x 14 1123 112 1123 5112 1114 11 0005 xxx xx cc x x 21 12 12 10255 1 11 101 xx ccxx x x x 所以有两个根 0f x 行列式按行 列 展开定理 这种方法每次展开只能降低一阶 降阶的速度太 慢 对计算某些行列式来讲不太方便 所以作为这种方法的推广 本节介绍了拉普 拉斯定理 并归纳了该定理在某些行列式计算和证明中的应用 3 3 2 应用拉普拉斯定理降阶 定理 设在行列式中任意选定了行 由这行元素所组成的一切级D 11 kkn k 子式为 它所对应的代数余子式为 则 12 k tn M MM tC 1 2 t A AA 称为拉普拉斯定理 1122 1 t ttii i DM AM AM AM A 例 5 计算行列式 6 00 00 00 00 ab cd D ef gh 解 由于的第一 四行中只有一个 2 阶子式不为零 因此取这两行 然后根据拉D 普拉斯定理展开得 1 4 1 4 1 abcd Dacfhadehbedgbcgf ghef 浅述行列式的常见计算方法 8 例 6 计算行列式 1 1 11 1 11 1 22 1 22 1 1 1000 0100 1000 0100 1000 0100 n n n n n nn n nn xx yy xx Dyy xx yy 解 取第行 第列得子式121n 3 1 321n 1 11 2 22 1 1 1 1 n n n nn xx xx M xx 相应的余子式为 1 11 1 22 1 1 1 1 n n n nn yy yy M yy 根据拉普拉斯定理和范德萌行列式得 11 111 11 1 321 1 321 222 11 11 11 1 11 nn nn nn nn nnn xxyy xxyy D xxyy 1 jiji nj i xxyy 3 3 3 拉普拉斯定理的推广 分块行列式计算 0 1 n n nnmm m nm m A AB CB 0 2 1 n nn n nn n A A B BC 0 3 1 n nm n m mm n A A B BC 浅述行列式的常见计算方法 9 例 7 计算行列式 21000 13000 42110 31011 87004 解 原式 110 21 0115 1 1 420 13 004 例 8 计算行列式 5 00021 00013 11042 01131 00487 D 解 原式 6 110 21 1 011 1 5 1 1 420 13 004 m n 3 4 升阶法 加边法 加边法 即升阶法 所谓 升阶法 是将所求的行列式增加一行一列 使之 与原行列式相等 然后计算比原行列式高一阶行列式的方法 例 9 计算四阶行列式 8 2 1121314 2 2122324 4 2 3 132334 2 4142434 1 1 1 1 xx xx xx x x xxx xx x D x xx xxx x x xx xx xx 解 1234 2 111213141 2 4221223241 12 2 33 1323343 2 441424344 5 100001 10000 10100 10010 10001 ii xxxx xxx xx xx xx Dxx xxx xx xcx c x xx xx xxx xx xx xx xx xxx 阶 浅述行列式的常见计算方法 10 4 2 1234 1 4 11 1 1 01000 1 00100 00010 00001 i i iii i xxxxx cx cx 例 10 计算 1234 1234 1234 1234 axxx xaxx D xxax xxxa 解 显然与如下行列式相等D 1234 1234 1234 1234 10000 1 1 1 1 axxx Dxaxx xxax xxxa 然后把第 2 列 第 3 列 第 4 列 第 5 列分别减去第一列的倍 倍 倍 1 x 2 x 3 x 倍 得 4 x 1234 11 22 33 44 1 1000 1000 1000 1000 xxxx ax Dax ax ax 按第一列展开得 1122334412233442113344 31122444112233 Daxaxaxaxx axaxaxx axaxax x axaxaxx axaxax 评注 一般而言 通过降解能使行列式变得较为简单 但这也不是绝对的 升阶法 加边法 就是通过加边升阶的方法 使行列式更容易求出其值 加边升阶的一般方法是 11121 111121 21222 221222 12 12 1000 n n n n nnnn nnnnn aaa baaa aaa baaa aaa baaa 该法关键是适当选取 以便计算右边的行列式 12 n b bb 浅述行列式的常见计算方法 11 3 5 特殊公式法 3 5 1 利用范德蒙行列式 范德蒙行列式 12 222 12 1 111 12 111 n nji ij n nnn n xxx xxxxx xxx 例 11 计算行列式 7 2222 4444 1111 abcd D abcd abcd 解 利用升阶法 添加一行一列如下 5 阶范德蒙行列式 22222 5 33333 44444 11111 abcdx Vabcdx abcdx abcdx 这是关于的一个 4 次多项式 而所求的行列式就是按最后一列展开时项的xD 5 V 3 x 系数的相反数 因位于第 4 行第 5 列 故取负号 由范德蒙行列式的结果 3 x 5 Vxa xb xc xd da db dc ca cb ba 43 xabcd xabcd da db dc ca cb ba 的系数是 3 x abcd da db dc ca cb ba 故 Dabcd da db dc ca cb ba 评注 这一方法可以推广到一般情形 即如下例 浅述行列式的常见计算方法 12 例 12 计算阶行列式 n 123 2222 123 2222 123 123 1111 n n n nnnn n nnnn n xxxx xxxx D xxxx xxxx 略解 用升阶法 添加一行一列成如下范德蒙行列式 123 22222 123 1 22222 123 11111 123 123 11111 n n n nnnnn n nnnnn n nnnnn n xxxxy xxxxy V xxxxy xxxxy xxxxy 显然按最后一列展开式中项的系数即为所求之行列式 同上所得 1n V 1n y 1 1 n nkji ij n k Dxxx 3 5 2 爪 型行列式 爪型行列式的一般模型为 例 13 1 11 122 00 00 0 1 2 00 o ni nn abbb ca Dcaain ca 2 11 22 1 120 00 00 0 1 2 00 ni nn n ac ac Dain ac bbba 解 1 将第列的倍加到第 1 列 得1 1 2 iin i i c a 浅述行列式的常见计算方法 13 012 1 1 1120 1 2 000 000 000 n ii n i i n ii nn i i n bc abbb a a bc Da aa a aa a 2 将第 行的倍加到第行 有i 1 2 i i b in a 1n 11 22 1120 1 0 1 1 00 00 00 000 n ii nn i nni n ii i ac ac bc Da aa a aca bc a a 3 6 递推法 应用行列式的性质 把一个阶行列式表示为具有相同结构的较低阶行列式n 比如 阶或阶与阶等 的线形关系式 这种关系式称为递推关系式 1n 1n 2n 根据递推关系式及某个较低初始行列式 比如二阶或一阶行列式 的值 便可递推 求得所给阶行列式的值 这种计算行列式的方法称为递推法 n 递推法解行列式 往往会得到一个一般递推关系式 此时可用三种方法求出的一般表达式 12nnn DpDqD n D 1 不完全数学归纳法 推导出与的关系 进而求出的一般表达式 n D 12 D D n D 2 先计算等 找出递推规律 再用数学归纳法证明 123 D D D 3 将关系式看作一差分方程 求出特征方程的两 12nnn DpDqD 2 0pq 个根 则 12 1 12212 nn n DCC 或 1 12112 nn n DCC 浅述行列式的常见计算方法 14 再由定出常数 12 D D 12 C C 评注 用此方法一定要看行列式是否具有较低的相同结构 如果没有的话 即很难 找出递推关系式 从而不能使用此方法 例 11 计算阶行列式 6 n n D 分析 此行列式的特点是 除主对角线及其上下两条对角线的元素外 其余的元素 都为零 这种行列式称 三对角 行列式 从行列式的左上方往右下方看 即知 与具有相同的结构 因此可考虑利用递推关系式计算 1n D n D 解 将按第一列展开 得 n D 112 0 3 nnnn DDDDn 其中和分别是与同样形状的阶和阶行列式 即有递推公式 1n D 2n D n D1n 2n 12 3 nnn DDDn 为了得到的一般表达式 可用三种方法 n D 方法一 不完全归纳法 继续此过程 即得 112 nnnn DDDD 2 23 nn DD 2 21 n DD 由 222 2 D 1 D 浅述行列式的常见计算方法 15 所以 2 21 DD 于是 1 1 n nn DD 同样有 112 nnnn DDDD 2 23 nn DD 2 21 n DD 2 n 因此当时 由 1 式 2 式可得 11nn n D 时 2 1 n Dn 亦即 2 11 1 nn n n D 若 若 方法二 数学归纳法 假设 由 22 1 D 33 22 2 D 44 22 3 0 0 D 不妨设 则有 1 nn n D 12 nnn DDD 1111 nnnnnn 浅述行列式的常见计算方法 16 根据数学归纳法知 一般表达式为 n D 11nn n D 若 直接计算得 1 n n Dn 方法三 差分法 令 由特征方程p q 2 0pq 解得两特征跟为 1 2 若 则 1 12212 nnnn n DCCCC 由 有 1 D 22 2 D 112 2222 212 DCC DCC 解此方程组得 1 C 2 C 故所求一般表达式为 n D 11nn n D 若 即特征方程有相等的实根 这时 1 12112 nnnn n DCC nCC n 同时代入 可求得 从而 1 D 2 D 12 1CC 1 n n Dn 总之有 11 1 n nn n n D 浅述行列式的常见计算方法 17 3 7 数学归纳法 一般是利用不完全归纳法寻找出行列式的猜想值 再用数学归纳法给出猜想的 证明 因此 数学归纳法一般是用来证明行列式等式 因为给定一个行列式 要猜 想其值是比较难的 所以要先给定其值 然后再去证明 例 12 证明阶行列式 2 n cos1000 12cos100 cos012cos00 00012cos n Dn 证明 用数学归纳法 当时 结论显然成立 1n 当时 结论成立 2n 2 cos1 2cos1cos2 12cos 假定小于或等于时结论正确 即 1n 1 cos 1 n Dn 现看的情形 按第行展开nn 1 2 1 1 1 cos100 12cos00 1 1 1 2cos0100 0011 nnn nn nn DD 1 2 21 1 1 2coscos 2 2coscos 1 nnn nn DDnn cos 2 coscos 2 cosnnnn 评注 此题的行列式中第 1 行第 1 列的元素是 所以应用归纳法时要按第行cos n 展开 3 8 辅助行列式法 辅助行列式应用条件 行列式各行 列 和相等 且除对角线外其余元素都相 同 解题程序 1 在行列式的各元素中加上一个相同的元素 使新行列式除主对角线外 DxD 浅述行列式的常见计算方法 18 其余元素均为 0 2 计算的主对角线各元素的代数余子式D 1 2 ij A in 3 1 n ij i j DDxA 例 13 利用辅助行列式法来计算行列式 1 2 3 1 2 k n xaaa axaa Daaxaxa kn aaax 解 可将视作行列式D 中每一个元素加上所得 因此 1 2 1 00 00 00 n ni i n xa xa Dxa xa a 1 1111 11 n i nnnn i nii jjii ij xa Dxaaaxa xaaxa 4 总结 以上共总结了 8 种行列式的计算方法 它们都是常见的解法 在课外书中还有 其他的一些计算方法 如 极限法 换元法 导数法 积分法等 这些