矩阵的秩及向量组的极大无关组求法.ppt

一 矩阵的秩的概念 二 初等变换求矩阵的秩 三 向量组方面的一些重要方法 下页 第7节矩阵的秩及向量组的极大无关组求法 向量组的秩的计算方法 极大无关组的确定方法 用极大无关组表示其它向量的方法 注意 第6 7节与教材内容及次序有所不同 请作笔记 定义1设A是m n矩阵 在A中任取k行k列 1 k min m n 位于k行k列交叉位置上的k2个元素 按原有的次序组成的k阶行列式 称为A的k阶子式 如矩阵 第1 3行及第2 4列交叉位置上的元素组成的一个二阶子式为 三阶子式共有4个 下页 7 1矩阵的秩的概念 定义2若矩阵A有一个r阶子式不为零 而所有r 1阶子式 如果存在的话 全等于零 则r称为矩阵A的秩 记作r A 规定零矩阵的秩为零 易见 1 若A是m n矩阵 则r A min m n 2 若m n矩阵A中有一个r阶子式不等于零 则r A r 若所有r 1阶子式全等于零 则r A r 3 r A r AT 4 r kA r A k 0 5 对n阶方阵A 若 A 0 则r A n 称A为满秩矩阵 若 A 0 则r A n 称A为降秩矩阵 结论 n阶方阵A可逆的充分必要条件是A满秩 下页 例1 求下列矩阵的秩 解 C的最高阶子式三阶子式全部都等于零 即 但二阶子式 所以 下页 定理1初等变换不改变矩阵的秩 定义3满足下面两个条件的矩阵称为行阶梯形矩阵 简称阶梯形矩阵 1 若有零行 零行都在非零行的下方 元素全为零的行称为零行 否则称为非零行 2 从第一行起 下面每一行从左向右第一个非零元素前面零的个数逐行增加 如 下页 7 2初等变换求矩阵的秩 定理2任何一个秩为r的矩阵A aij m n都可以通过初等行变换化为行阶梯形矩阵Br 且Br的非零行数为r 即 结论 行阶梯形矩阵Br的非零行的个数 即为矩阵A的秩 下页 例2 求矩阵 的秩 下页 所以 r A 3 解 对矩阵作初等行变换 将其化成行阶梯形矩阵 下页 例3 设方阵 判断A是否可逆 解法1 因为 所以 A满秩 可逆 解法2 用初等行变换将A化成行阶梯形矩阵 得 所以r A 3 A满秩 故A可逆 下页 定义4矩阵A的行向量组的秩称为矩阵A的行秩 列向量组的秩称为矩阵A的列秩 即 下页 7 3向量组方面的一些重要方法 行向量组a1 a2 am的秩 称为矩阵A的行秩 列向量组b1 b2 bm的秩 称为矩阵A的列秩 定理3矩阵的行秩等于其列秩 且等于矩阵的秩 例4 求下列向量组 a 1 2 3 4 a2 2 3 4 5 a3 3 4 5 6 的秩 求向量组的秩的方法 下页 把向量组的向量作为矩阵的列 或行 向量组成矩阵A 对矩阵A进行初等行变换化为阶梯形矩阵B 阶梯形B中非零行的个数即为所求向量组的秩 解1 以a a a 为列向量作成矩阵A 用初等变换将A化为阶梯形矩阵后可求 因为阶梯形矩阵的秩为2 所以向量组的秩为2 例4 求下列向量组 a 1 2 3 4 a2 2 3 4 5 a3 3 4 5 6 的秩 解2 以a a a 为行向量作成矩阵A 用初等变换将A化为阶梯形矩阵后可求 因为阶梯形矩阵的秩为2 所以向量组的秩为2 求向量组的秩的方法 下页 把向量组的向量作为矩阵的列 或行 向量组成矩阵A 对矩阵A进行初等行变换化为阶梯形矩阵B 阶梯形B中非零行的个数即为所求向量组的秩 问题 基本单位向量组的秩是多少 它们相关 无关 定理4矩阵A经初等行变换化为B 则B的列向量组与A对应的列向量组有相同的线性相关性 证明从略 下面通过例子验证结论成立 线性关系 矩阵A 矩阵A1 矩阵A2 求向量组的极大线性无关组的方法 下页 把向量组的向量作为矩阵的列向量组成矩阵A 对矩阵A进行初等行变换化为阶梯形矩阵B A中的与B的每阶梯首列对应的向量组 即为极大无关组 由上可得 求向量组的极大线性无关组的方法 下页 矩阵A2 矩阵A3 矩阵B 例5 求下列向量组的一个极大无关组 其中 解 以给定向量为列向量作成矩阵A 用初等行变换将A化为阶梯形矩阵 矩阵B已是阶梯形矩阵 B的每阶梯首列所在的列是1 2 4列 所以A的第1 2 4列就是A的列向量组的极大线性无关组 即a a a 是向量组的一个极大线性无关组 下页 行最简形矩阵一个矩阵是行最简形矩阵 或称行最简式 是指它为阶梯形矩阵 且它的每一行的第一个非零元素均为1 第一个非零元素所在的列其余元素均为0 例如 利用初等行变换将A先化为阶梯形矩阵B 再化成行最简形矩阵C 用极大线性无关组表示其它向量的方法 下页 即列向量组的一个极大无关组化为了单位向量组 用极大线性无关组表示其它向量的方法为 把向量组的向量作为矩阵的列向量组成矩阵A 对矩阵A进行初等行变换化为阶梯形矩阵B 把阶梯形B进行初等行变换化为行最简形矩阵C 根据行最简形矩阵列向量的分量 用极大无关组表示其它向量 下页 例6 求下列向量组的一个极大无关组 并用极大无关表示其它向量 解 以给定向量为列向量作成矩阵A 用初等行变换将A化为行最简形 根据行最简形矩阵C可知a a a 是向量组的一个极大无关组 且a3 2a1 a 0a a5 a1 a a 下页 3560 假设第5列为 该如何表示 一 填空题 1 若向量组a a am 线性相关 则它的秩 m 2 一个向量组若含有两个以上的极大无关组 则各极大无关组所含向量个数必 3 设a a ar线性无关 且可由b b bs线性表示 则r s 设A是n阶方阵且 A 0 则 1 A中必有两行 列 元素对应成比例 2 A中至少有一行 列 的元素全为0 3 A中必有一行 列 向量是其余各行 列 向量的线性组合 4 A中任意一行 列 向量是其余各行 列 向量的线性组合 二 单选题 下页 2 设n阶矩阵A的秩为r 则结论 成立 A 0 A 0 r n r n 3 向量组a a as 线性无关的充要条件是 r 1 它有一个部分向量组线性无关 r 0 它所有的部分向量组线性无关 4 若矩阵A有一个r阶子式D 0 且A中有一个含有D的r 阶子式等于零 则一定有 r A r r A r r A r r A r 1 5 设向量组a a a 线性无关 则下列