特殊平行四边形典型例题解析题

精品文档 1欢迎下载 一 参考例题一 参考例题 例 1 如下图 ABC中 点O是AC边上的一个动点 过点O作直线 MN BC 设MN交 BCA的平分线于点E 交 BCA的外角平分线于点F 1 求证 EO FO 2 当点O运动到何处时 四边形AECF是矩形 并说明你的结论 分析 1 要证明OE OF 可借助第三条线段OC 即证 OE OC OF OC 这 两对线段又分别在两个三角形中 所以只需证 OEC OCF是等腰三角形 由 已知条件即可证明 2 假设四边形AECF是矩形 则对角线互相平分且相等 四个角都是直角 由已知可得到 ECF 90 由 1 可证得OE OF 所以要使四边形AECF 是矩形 只需OA OC 证明 1 CE CF分别是 ACB ACD的平分线 ACE BCE ACF DCF MN BC OEC ECB OFC FCD ACE OEC ACF OFC OE OC OF OC OE OF 2 当点O运动到AC的中点时 即OA OC 又由 1 证得OE OF 四边形AECF是平行四边形 对角线互相平分的四边形是平行四边形 由 1 知 ECA ACF ACB ACD ACB ACD 90 2 1 2 1 2 1 即 ECF 90 四边形AECF是矩形 因此 当点O运动到AC的中点时 四边形AECF是矩形 例 2 如下图 已知矩形ABCD的对角线AC BD相交于O OF AD于 F OF 3 cm AE BD于E 且BE ED 1 3 求AC的长 精品文档 2欢迎下载 分析 本题主要利用矩形的有关性质 进行计算 即 由矩形的对角线互相 平分且相等 可导出BE OE 进而得出AB AO 即得出BE OF 3 cm 求出BD的 长 即AC的长 解 四边形ABCD是矩形 AC BD OB OD OA OC 又 BE ED 1 3 BE BO 1 2 BE EO 又 AE BO ABE ADE AB OA即AB AO OB BAE EAO 30 FAO 30 ABE AOF BE OF 3 cm BD 12 cm AC BD 12 cm 二 参考练习 1 如图 有一矩形纸片ABCD AB 6 cm BC 8 cm 将纸片沿EF折叠 使点 B与D重合 求折痕EF的长 解 连结BD BE DF 由折叠的意义可知 EF BD EF平分BD BE ED BF FD 四边形ABCD为矩形 AB CD AD BC C 90 AD BC EDO FBO 点B和D重合 BO DO BOF DOE BOF DOE ED BF ED BF FD BE 四边形BFDE是菱形 S菱形 BD EF BF CD 2 1 BF DF 可设BF DF x 则FC 8 x 在 Rt FCD中 根据勾股定理得 x2 8 x 2 62 精品文档 3欢迎下载 x EF 7 5 4 25 6 4 25 68 2 1 22 EF 因此 折痕EF的长为 7 5 cm 2 当平行四边形ABCD满足条件 时 它成为矩形 填上你认为正确 的一个条件即可 答案 BAC 90 或AC BD或OA OB或 ABC ADC 180 或 BAD BCD 180 等条件中的任一个即可 典型例题典型例题 例 1 如图 在菱形ABCD中 E是AB的中点 且 求 1 的度数 2 对角线AC的长 3 菱形ABCD的面积 分析 1 由 E 为 AB 的中点 可知DE是AB的垂直平分线 从而 且 则是等边三角形 从而菱形中各角都可以 求出 2 而 利用勾股定理可以求出AC 3 由菱形 的对角线互相垂直 可知 解 1 连结BD 四边形ABCD是菱形 是AB的中点 且 是等边三角形 也是等边三角形 2 四边形ABCD是菱形 AC与BD互相垂直平分 精品文档 4欢迎下载 3 菱形ABCD的面积 说明 本题中的菱形有一个内角是 60 的特殊的菱形 这个菱形有许多特 点 通过解题应该逐步认识这些特点 例 2 已知 如图 在菱形ABCD中 于于 F 求证 分析 要证明 可以先证明 而根据菱形的有关性质不 难证明 从而可以证得本题的结论 证明 四边形ABCD是菱形 且 例 3 已知 如图 菱形ABCD中 E F分别是BC CD上的一点 求的度数 解答 连结AC 四边形ABCD为菱形 与为等边三角形 为等边三角形 精品文档 5欢迎下载 说明 本题综合考查菱形和等边三角形的 性质 解题关键是连AC 证 例 4 如图 已知四边形和四边形都是矩形 且 求证 垂直平分 分析 由已知条件可证明四边形是菱形 再根据菱形的对角线平分 对角以及等腰三角形的 三线合一 可证明垂直平分 证明 四边形 都是矩形 四边形是平行四边形 在 和 中 四边形是平行四边形 四边形是菱形 平分 平分 垂直平分 例 5 如图 中 在直线上 且 求证 精品文档 6欢迎下载 分析 要证 关键是要证明四边形是菱形 然后利用菱形 的性质证明结论 证明 四边形是平行四边形 在 和 中 同理 四边形是平行四边形 四边形是菱形 典型例题典型例题 例 1 一个平行四边形的一个内角是它邻角的 3 倍 那么这个平行四边形 的四个内角各是多少度 分析 根据平行四边形的对角相等 邻角互补可以求出四个内角的度数 解 设平行四边形的一个内角的度数为x 则它的邻角的度数为 3x 根据 题意 得 解得 这个平行四边形的四个内角的度数分别为 45 135 45 135 例 2 已知 如图 的周长为 60cm 对角线AC BD相交于点O 的周长比的周长多 8cm 求这个平行四边形各边的长 精品文档 7欢迎下载 分析 由平行四边形对边相等 可知平行四边形周长的一半 30cm 又由的周长比的周长多 8cm 可知cm 由此 两式 可求得各边的长 解 四边形为平行四边形 答 这个平行四边形各边长分别为 19cm 11cm 19cm 11cm 说明 学习本题可以得出两个结论 1 平行四边形两邻边之和等于平行 四边形周长的一半 2 平行四边形被对角线分成四个小三角形 相邻两个三 角形周长之差等于邻边之差 例 3 已知 如图 在中 交于点O 过O点作EF交 AB CD于E F 那么OE OF是否相等 说明理由 分析 观察图形 从而可 说明 证明 在中 交于O 例 4 已知 如图 点E在矩形ABCD的边BC上 且 垂足为F 求证 精品文档 8欢迎下载 分析 观察图形 与都是直角三角形 且锐角 斜边 因此这两个直角三角形全等 在这个图形中 若连结AE 则与全等 因此可以确定图中许多有用的相等关系 证明 四边形 ABCD 是矩形 又 例 5 O是ABCD对角线的交点 的周长为 59 则 若与的周长之差为 15 则 ABCD的周长 解答 ABCD中 的周长 在ABCD中 的周长 的周长 ABCD的周长 说明 本题考查平行四边形的性质 解题关键是将与的周长 的差转化为两条线段的差 例 6 已知 如图 ABCD的周长是 由钝角顶点D向AB BC引两 条高DE DF 且 求这个平行四边形的面积 精品文档 9欢迎下载 解答 设 四边形ABCD为平行