立方根、n次方根、实数运算、分数指数幂

1 立方根立方根 概念 1 如果一个数的立方等于 那么这个数叫做的立方根 用 表示 aa 3 a 读作 三次根号 其中的叫做被开方数 3 叫做根指数 3 aaa 2 求一个数的立方根的运算叫做立开方 a 注意 正数的立方是一个正数 负数的立方是一个负数 零的立方等于零 所 以正数的立方根是一个正数 负数的立方根是一个负数 零的立方根是零 任意一个实数都有立方根 而且只有一个立方根 任意一个实数都有立方根 而且只有一个立方根 例 1 求下列各数的立方根 1 2 0 064 3 4 216 2 8 17 4 27 2 求出下列各式的值 1 2 3 4 3 3 2 6 3 2 2 3 8 3 17 4 27 3 若互为相反数 求的值 33 731 xx和x 练习 3 0 72925 3125 3 8 27 1 9 2 次方根次方根 n 概念 1 如果一个数的如果一个数的次方 次方 是大于是大于 1 1 的整数 等于的整数 等于 那么这个数叫做 那么这个数叫做的的次方根 当次方根 当nnaan 为奇数时 这个数为奇数方根 当为奇数时 这个数为奇数方根 当为偶数时 这个数为为偶数时 这个数为的偶数方根 的偶数方根 nna 2 2 求一个数 求一个数的的次方根的运算叫做开次方根的运算叫做开次方 次方 叫做被开放数 叫做被开放数 叫做根指数叫做根指数 annan 3 实数实数a a的奇数方根有且只有一个 用的奇数方根有且只有一个 用 表示表示 其中被开方数其中被开方数a a是任意一个实数 是任意一个实数 n a 根指数根指数n n是大于是大于 1 1 的奇数 正数的奇数 正数a a的偶数方根有两个 它们互为相反数 正的偶数方根有两个 它们互为相反数 正n n次方跟用次方跟用 表示 负表示 负n n次方用次方用 表示表示 其中被开方数其中被开方数a a 0 0 根指数 根指数n n是正偶数 当是正偶数 当n n 2 2 n a n a 时 在时 在 中省略中省略n n 负数的偶数方根不存在负数的偶数方根不存在 零的零的n n次方根等于零 表示为次方根等于零 表示为 n a00 n 读做读做 n n次根号次根号a a n a 例 1 6 64 1 8 8 6 例 2 当意义取何值时 下列各式有x x 1 2 x 3 4 x x x 4 2 例 3 的值 求已知xx n n 532 813 2 3 例 4 的值 求 20182017 4 2 011yxyx 用数轴上的点表示实数用数轴上的点表示实数 1 每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示 而且这样的点是唯一的 它是这个实数在 数轴上所有对应的点 反过来 数轴上的每一个点也都是可以用唯一的一个实数来表示 即数轴上点和实数是一一对应的 即数轴上点和实数是一一对应的 2 一个实数在数轴上所对应的点到原点的距离叫做这个数的绝对值 实数a的绝对值记作 绝对值相等 符号相反的两个数叫做互为相反数 零的相反数是零 非零实数的相aa 反数是 a 3 负数小于零 零小于正数 两个负数 绝对值大的数较小 从数轴上看 右边的点所表 示的数总比左边的点所表示的数大 例 例 1 数轴上原点左边的点表示 数 原点右边的点表示 数 点表示 0 2 比小的正整数有 比 大的负整数有 55 3 的相反数是 的相反数是 0 若 则 2x 2 x 4 用 0 b 0 可知 abbaba 222 根据平方根的意义 得 00 baabbabaab 或 5 同理 0 0 ba b a b a b a b a 或 近似数近似数 1 近似数与准确数的接近程度即近似程度 对近似数程度的要求 叫做精确度 2 保留几个有效数字 从左边第一个不是零的数字起 往右到末位 数字为止的所有数字 叫做这个近似数的有效数字 例例 1 1 判断下列各数 哪些是准确数 哪些是近似数 1 初一 2 班有 43 名学生 数学期末考试的平均成绩是 82 5 分 2 某歌星在体育馆举办音乐会 大约有一万二千人参加 3 通过计算 直径为 10cm 的圆的周长是 31 4cm 4 检查一双没洗过的手 发现带有各种细菌 80000 万个 5 1999 年我国国民经济增长 7 8 例例 2 2 下列由四舍五入得到的近似数 各精确到哪一位 各有哪几个有效数字 1 38200 2 0 040 3 20 05000 4 4 104 例例 3 3 下列由四舍五入得到的近似数 各精确到哪一位 各有几个有效数字 1 70 万 2 9 03 万 3 1 8 亿 4 6 40 105 例例 4 4 用四舍五入法 按括号里的要求对下列各数取近似值 1 1 5982 精确到 0 01 2 0 03049 保留两个有效数字 3 3 3074 精确到个位 4 81 661 保留三个有效数字 6 例例 5 5 用四舍五入法 按括号里的要求对下列各数取近似值 并说出它的精确度 或有效数 字 1 26074 精确到千位 2 7049 保留 2 个有效数字 3 26074000000 精确到亿位 4 704 9 保留 3 个有效数字 例例 6 6 指出下列各问题中的准确数和近似数 以及近似数各精确到哪一位 各有几个有效数 字 1 某厂 1998 年的产值约为 1500 万元 约是 1978 年的 12 倍 2 某校初一 2 班有学生 52 人 平均身高约为 1 57 米 平均体重约为 50 5 千克 3 我国人口约 12 亿人 4 一次数学测验 初一 1 班平均分约为 88 6 分 初一 2 班约为 89 0 分 练习 1 若 x2 4 则 x3 2 的平方根是 的立方根是 1664 3 的相反数是 绝对值是 4 比较大小 7 4 353 5 若 0 那么 x y 13xy 6 若 5 的整数部分是 a 小数部分是 b 则 a b 10 7 实数 a b c 在数轴上的对应点如图所示 化简 a a b b c 2 c 8 已知 则 223yxx x y 9 若 则 x 10 若 则 x 2 163610 x 3 8 3 27x 7 三 计算题三 计算题 11 计算 2712 4 1 48 12 计算 1 401010 10 13 计算 3 26 27 3 14 计算化简 1 0 1 314 2 15 计算 11 3 18504 52 32 16 计算 1 0 1 1 5272 3 2 17 计算 1 1812 4 分数指数幂分数指数幂 1 正数的正分数指数幂的意义正数的正分数指数幂的意义 a a 0 0 m m n n N N 且且n n 1 1 nm n m aa 要注意两点 一是分数指数幂是根式的另一种表示形式 二是根式与分数指数幂可以 进行互化 8 另外 我们还要对正数的负分数指数幂和 0 的分数指数幂作如下规定 2 规定规定 1 1 a a 0 0 m m n n N N 且且n n 1 1 n m n m a a 1 2 0 的正分数指数幂等于 0 3 0 的负分数指数幂无意义 规定了分数指数幂的意义以后 指数的概念就从整数推广到有理数指数 当a 0 时 整数指数幂的运算性质 对于有理指数幂也同样适用 即对于任意有理数 r s 均有下面的 运算性质 3 3 有理指数幂的运算性质有理指数幂的运算性质 3 2 1 Qnbaab Qnmaa Qnmaaa nn