概率论与数理统计pptppt课件.ppt

第一章 随机事件及其概率 概率论与数理统计是数学的一个重经分支 它是研究随机现象统计规律的一门学科 广泛应用于科学研究 工程技术 经济及管理等各个领域 本章通过随机试验介绍概率论中随机事件的关系及其运算 概率的性质及其计算方法 3 1 确定性 或必然 现象和随机 或不确定性 偶然 现象 2 随机现象 在一定条件下可能发生也可能不发生 在个别观察中其结果呈现出不确定性 或称为偶然性或随机性 在大量重复观察中其结果又具有统计规律性 1随机事件及其计算 3 对某种现象或对某个事物的某个特征的观察 测 以及各种各样的科学实验统称为实验 随机现象的基本特征是 在一定条件下单次实验的可能结果不止一个 每次实验只能出现其中之一 但预先无法预知 但大量多次重复实验 出现各种结果的比例数又具体统计规律性 一 随机现象与随机实验 4 E1 抛一枚硬币 观察正 H 反 T 面的情况 E2 将一枚硬币抛三次 观察正反面出现的情况 E3 将一枚硬币抛三次 观察出现正面的情况 举例 我们将对自然现象的一次观察或进行一次科学试验称为试验 E4 电话交换台一分钟内接到的呼唤次数 E5 在一批灯泡中任取一只 测试它的寿命 E6 在一批产品中任意抽取若干件 以检验产品的合格率 5 基本特征 1 可在相同的条件下重复试验 2 每次试验的可能结果不止一个 且能事先明确所有可能的结果 3 每次实验只能出现可能结果中的一个 但一次试验前不能预先确定到底会出现哪个结果 在相同条件下 大量重复进行的这类试验 称为随机实验 6 二 样本空间 定义随机试验E的所有可能的结果组成的集合称为E的样本空间 记为S 样本空间的元素 也就是最简单的每一个直接结果称为样本点 用 表示 样本空间的分类 1 离散样本空间 样本点为有限个或可列个 例E1 E2等 2 无穷样本空间 样本点在区间或区域内取值 例灯泡的寿命 t t 0 基本事件 7 三 随机事件 定义样本空间S的子集称为随机事件 简称事件 在一次试验中 当且仅当这一子集中的一个样本点出现时 称这一事件发生 它是满足某些条件的样本点的集合 基本事件 复合事件 必然事件 不可能事件 由一个样本点组成的单点集 如 H T 由两个或两个以上的基本事件复合而成的事件为复合事件 如 E3中 出现正面次数为奇数 样本空间S是自身的子集 在每次试验中总是发生的 称为必然事件 空集 不包含任何样本点 它在每次试验中都不发生 称为不可能事件 8 例1 试确定试验E2中样本空间 样本点的个数 并给出如下事件的元素 事件A1 第一次出现正面 事件A2 恰好出现一次正面 事件A3 至少出现一次正面 9 四 事件间的关系与运算 1 包含关系和相等关系 若事件A发生必然导致事件B发生 则称件B包含事件A 记作A B 若A B且A B 即A B 则称A与B相等 10 2 和事件 3 积事件 事件A B x x A且x B 称A与B的积 即事件A与B同时发生 A B可简记为AB 类似地 事件为可列个事件A1 A2 的积事件 11 4 差事件 事件A B x x A且x B 称为A与B的差 当且仅当A发生但B不发生时事件A B发生 即 显然 A A A A A S 12 5 事件的互不相容 互斥 13 6 对立事件 逆事件 14 7 事件的运算律 交换律 结合律 对偶律 分配律 15 例 甲 乙 丙三人各射击一次 事件A1 A2 A3分别表示甲 乙 丙射中 试说明下列事件所表示的结果 乙没有射中 乙丙至少一人射中 甲乙没有都射中 甲乙都没有射中 甲乙都射中但丙没射中 至少有两人都射中 16 2 随机事件的概率 一 概率统计定义 1 频率若在相同的条件下 共进行了n次试验 事件A发生的次数nA 称为A的频数 比值nA n称为事件A发生的频率 记为fn A 即 17 频率的特性 波动性和稳定性 18 2 概率的统计定义 设有随机实验E 若试验重复次数n充分大时 事件A发生的频率fn A 总是在区间 0 1 上的一个确定的常数p附近微波摆动 并逐渐稳定于p 则称常数p为事件发生的概率 记作P A 即 P A 数p 概率的性质 19 二 概率的古典定义 古典概型的两个特点 例如 掷一颗骰子 观察出现的点数 等可能概型的两种类型 古典概型 样本空间有有限集 和几何概型 样本空间为无限集 1 样本空间中的元素只有有限个 即 2 试验中每个基本事件发生的可能性相同 即 20 概率的古典定义 对于古典概型 样本空间S 1 2 n 设事件A包含S的m个样本点 则事件A的概率定义为 概率的性质 21 古典概型概率的计算步骤 1 选取适当的样本空间S 使它满足有限等可能的要求 且把事件A表示成S的某个子集 2 计算样本点总数n及事件A包含的样本点数k 3 用下列公式计算 22 例1 袋中装有4只白球和2只红球 从袋中摸球两次 每次任取一球 有两种式 a 放回抽样 b 不放回抽样 求 1 两球颜色相同的概率 2 两球中至少有一只白球的概率 解 a 放回抽样 b 不放回抽样 23 例2 设一袋中有编号为1 2 9的球共9只 现从中任取3只 试求 1 取到1号球的概率 事件A 2 最小号码为5的概率 事件B 解 24 例3 某接待站在某一周曾接待过12次来访 且都是在周二和周四来访 问是否可以推断接待时间是有规定的 如果没有规定 则该事件发生的概率只有 25 古典概率计算中用到的主要排列组合公式 不重复的排列公式 从n个元素中取m个元素按照一定的顺序排列成一列 可重复排列公式 从n个不同元素中有放回地抽取m个元素按照一定的顺序排成一列 其排列数为 组合公式 从n个不同元素中取出m个元素 不计顺序组成一组 其组合数为 26 加法原理 如果完成一项工作有m种不同方法 其中任何一种方法都可以一次完成这项工作 假设第I种方法有ni i 1 2 3 m 个方案 则完成该项工作的全部方案有种 乘法原理 如果完成一项工作需先后m个步骤 其中第i个步骤有ni i 1 2 3 m 个方案 则完成该项工作的全部方案共有种 例 设袋中有外形相同的10个有色球 其中6个白球和4个红球 现从袋中任意取 或随机地取 3个 试求 取出的3个球都是红色球的概率 取出的3个球恰好有一个是白球的概率 27 解 设想把10个球进行编号 把它们理解为10个不同的球 那么从中任意取3个球 共有种不同的取法 每种取法都对应一个的样本点 所以该试验样本空间的样本总数为 设A 取出的3个球都是红色球 则事件A包含了个样本点 因此 设B 取出3个球中恰好有一个白球 而事件B的发生方法应该是 从4个白球中任取一个 有种取法 再从6个红球中任意取2个 有种取法 红球白球谁先取得与结果无妨 因此 事件B的发生共有种方式 因此 28 抽样问题 所谓抽样 是指从待查的整批产品中抽出部分产品 抽出的这部分称为样本或子样 样本中的每件产品称为样品 样本中所包含的样品件数称为样本容量 而待查整批次产品叫做总体或母体 随机抽样是指总体中每件产品 都等可能地被抽作样本中的样品 例 设一批产品共计100件 其中有3件次品 其余均为正品 按下列两种方法随机抽取2件产品 有放回抽样 即第一次任取一件产品 测试后放回原来的产品中 第二次再从中任意抽取一件产品 无放回抽样 即第一次任取一件产品 测试后不再放回原来的产品中 第二次再从第一次测试后其余的产品中任意抽取一件 试求上述两种情况下的 分别求取出的2件产品中恰好有一件产品的概率 29 先分析事件A 取出的2件产品中恰好有一件次品 包含的样本点数 事件A的发生有两种方式 先取得一件次品后取得一件正品或先取得一件正品后取得一件次品 因此所包含的样本点数为 放回抽样 每次抽取样品都是从100件产品中任意抽取 都有100种取法 因此样本空间的样本点数为n 1002 故 无放回抽样 第一次是从100件产品中任意抽取一件 第二次是从剩余的99件产品中任意抽取一件 因此样本空间的样本点数为 n 100 99 故 30 无放回抽样问题 可以看作是一次任取若干样品 其样品空间会发生改变 样本空间的样本点数和事件A所包含的样本点数等都要发生相应的改变 它们要用组合公式进行计算 例 设有一批产品有N件 其中M件次品 其余都是正品 现从该批产品中随机抽取n件 试求恰好取到件次品的概率 解 31 例 设袋中有a个白球和b个红球 现按无放回取样 依次把球一个个取出来 试求第k 1 k a 次取得的球是白球的概率 解法一 依题意试验是从袋中把a b个球无放回地把球一个个取出来 依次排队 共有 a b 种不同的排法 则相应的样本总数为n a b 设A 第k次取得的球是白球 对事件A发生有利的排法是 先从a个白球中任取一个排在第k个位置上 两把其余的a b 1个排在其余a b 1个位置上 共有 a b 1 种不同的排法 所以事件包含的样本数为 从而 32 解法二 只考虑前k次取球 试验可以看作一次取k个球进行排队 共有种不同的取法 相应的样本点总数为 事件A如解法1所设 则对事件A发生有利的排法是 先a从个白球中任取一个排在第k位置上 而后从其余a b 1个球中任取k 1个排在其余k 1个位置上 共有种不同的排法 所以事件包含的样本点数为 故 抽签原理 以上计算结果表明 事件A 第k次取得的球是白球 的概率P A 与k无关 即A发生的概率与取球的先后次序无关 这就是 抽签原理 无论从日常经验 还通过概率计算 抽签原理都表明 是否抽到 签 与抽签的先后次序无关 人人均值机会均等 因此 该原理常常常常用于体育比赛和其他机会均等的活动中 33 例 设有n个不同的质点 每个质点等可能地落入N n N 个格子中的每一个格子内 又假设每个格子可以容纳的质点数没有限制 试球下列事件的概率 A 某指定的n个格子各有一个质点 B 任意n个格子各有一个质点 C 指定的一个格子中恰好有m m n 个质点 解 样本空间的总样本点数 Nn 对事件A发生有利的的落入方法是 n个质点在n个格子进行全排列 共有n 种不同的落入方法 因此 A相应地包含了n 个样本点 故 34 对事件B发生有利的落法是 从N个格子中任意选中其中的n个 有种不同的选法 对于每一种选法再按 1 使n个质点落入选中的格子中 有n 落入方式 因此共有n 不同的落入方法 因此B相应地包含了n 个样本点 对事件C发生有利的落入方法是 从n个质点中任意选中m个 让它们落入指定的一个格子中 共有种选法 而其余n m个质点落入剩余N 1的格子中 有种不同的落法 因此共有种不同的落法 C也相应地包含了个样本点 故 典型问题 分房问题 排座位问题 不同生日的人员聚会问题 35 概率论与数理统计第一周作业习题1 1 p8 A组 1 2 3 4 5 B组 1 2 3 II 4 习题1 2 1 P17A组 1 3 5 7B组 2 4 36 三 概率的几何定义 1 几何概型实验 试验的样本空间是直线上某个有限空间 或平面上 空间内某个有限度量的区域 从而包含了无限多个样本点 每个样本点的出现具有等可能性 该实验的每个样本点可以看作是等可能地落入内的随机点 37 2 概率的几何定义当试验的样本点是等可能地落入空间某个区域的随机点 而且随机事件A对应于随机点等可能地落入上述区域的某子区域 则事件A发生的概率可定义为 说明当古典概型的试验结果为连续无穷多个时 就归结为几何概率 38 例 设在一个5万平方公里的海域 有表面积40平方公里的大陆架蕴藏着石油 假如在该海域任意选一点进行石油钻探 问 能钻到石油的概率 解 例 某人发现自己的表停了 想通过听收音机报时来进行对表 试问他等待时间不超过10分钟的概率 解 39 例1甲 乙两人相约在0到T这段时间内 在预定地点会面 先到的人等候另一个人 经过时间t t T 后离去 设每人在0到T这段时间内各时刻到达该地是等可能的 且两人到达的时刻互不相关 求甲 乙两人能会面的概率 会面问题 40 蒲丰投针试验 例21777年 法国科学家蒲丰 Buffon 提出了投针试验问题 平面上画有等距离为a 0 的一些平行直线 现向此平面任意投掷一根长为l a 的针 试求针与任一平行直线相交的概率 蒲丰投针问题提出的一种计算圆周率的方法 随机投针法 证明一 找一根铁丝弯成一个圆圈 使其直径恰恰等于平行线间的距离d 可以想象得到 对于这样的圆圈来说 不管怎么扔下 都将和平行线有两个交点 因此 如果圆圈扔下的次数为n次 那么相交的交点总数必为2n 现在设想把圆圈拉直 变成一条长为 d的铁丝 显然 这样的铁丝扔下时与平行线相交的情形要比圆圈复杂些 可能有3个交点 2个交点 1个交点 甚至于都不相交 41 42 证明二 由于向桌面投针是随机的 所以用二维随机变量 x 来确定它在桌上的具体位置 设x表示针的中点到平行线的的距离 表示针与平行线的夹角 如果时 针与直线相交 并且x在 在时服从均匀分布 条件对应图中阴影部分的面积 因此 43 例设有一质点随机在投入区间内 1 0 又设 即 注意 上述事件两两互斥 且 44 3 几何概型的概率的性质 1 对任一事件A 有 45 1 定义 设S是样本空间 E是随机试验 对于E的每个事件A对应一个实数P A 称为事件A的概率 其中集合函数P 满足下列条件 1 对任一事件A 有P A 0 非负性 3 设A1 A2 是两两互不相容的事件 则有P A1 A2 P A1 P A2 可列可加性 四 概率公理化定义与性质 2 规范性 46 2 概率的性质 一般地有 P A B P A P AB 47 推广 48 例4 设P A p P B q P AB r 用p q r表示下列事件的概率 解 由 得 由于 因此另一方面 由于 因此 49 50 例设某批产品有12件 其中4件次品 其余为正品 现从中取3件 试求取出的三件中有次品的概率 解 试验是从12件产品 含有4件次品 中任取3件 对应的样本点数为 设 由事件之间的关系及运算可知 故 51 例设12件产品中其3件次品 其余为正品 现从中取5件 试求取出的5件中 至少有一件次品的概率 至多有一件次品的概率 解 试验对应的样本点数为 设 这4个事件构成试验样本空间的一个划分 即一个完备事件组 由古典概率公式 有 设A 至少有一件次品 52 设B 至多有一件次品 显然有 53 作业 习题1 2 2 P23A组 1 3 6B组 1 4 6 54 3 条件概率与全概率公式 例1 设箱内装有100件电子产品 其中有甲厂生产的正品30件 次品5件 乙厂生产的正品50件 次品15件 现从箱中任意取一件产品 设A 取到甲厂的产品 B 取到次品 试求取到甲厂的产品且为次品的概率 以及已知取到甲厂的产品条件下 取到次品的概率 一 条件概率与乘法公式 设试验E的样本空间为 A B是事件 要考虑在A已经发生的条件下B发生的概率 这就是条件概率问题 解 实验E是从100件产品中任取一件 对应的样本空间的样本点总数为n 100 显然所求事件可由A B来表达 取到甲厂的产品且为次品 AB 已知取到甲厂产品条件下 取到次品 A B 55 由古典概率定义知 由于事件A B附加了条件 即已知取得到甲厂产品 则其相应的实验与E不同 若将 已知取到甲厂的产品 这一条件下的试验记作E1 则E1实际上是 从甲厂的35件产品中任取一件 相应的样本空间缩小为 其样本总数为 而事件A B包含有样本点数为 从而 56 类似地可定义 57 2 性质 条件概率符合概率定义中的三个条件 即 此外 条件概率具有无条件概率类似性质 例如 58 注 计算条件概率有两种方法 i 公式法 当时 条件概率转化成无条件概率 因此无条件概率可看成条件概率 59 ii 缩减样本空间法 在A发生的前提下 确定B的缩减样本空间 并在其中计算B发生的概率 从而得到P B A 例 在1 2 3 4 5这5个数码中 每次取一个数码 取后不放回 连取两次 求在第1次取到偶数的条件下 第2次取到奇数的概率 解 A 第一次取到偶数 AB 第一次取到偶数且第二次取到奇数 则 60 3 乘法公式 P AB 0 则有P ABC P A P B A P C AB 推广 61 例 设某种机器按设计要求使用寿命要超过30年的概率为0 8 超过40年概率为0 5 试求该机器使用30年后 将在10年损坏的概率 解 设A 该种机器使用寿命超过30年 B 该种机器使用寿命超过40年 则 令 该种机器使用30年后 将在10年内损坏 它与事件是互斥事件 因此 62 例 设某批产品共有90件 其中10件次品 其余为正品 现从中无放回地抽样3次 每次抽取1件 求第3才抽到正品的概率 解 例 某人忘记了电话号码的最后一位数字 因而任意地按最后一个数字 试求 不超过4次打通电话的概率 若已知最后一位数字是偶数 则不超过3次打通电话的概率 63 解 64 例 抽签抓奖问题 设袋中有n个字条 其中n 1个写着 谢谢您的参与 1个写着 恭喜您中奖啦 现n个人依次从袋中各随机取一个条 并且每人取出后不再放回 试求第k个人取得中奖字条的概率 65 二 全概率公式和贝叶斯公式 1 样本空间的划分 注 1 若B1 B2 Bn是样本空间S的一个划分 则每次试验中 事件B1 B2 Bn中必有一个且仅有一个发生 66 2 全概率公式 称为全概率公式 证明 因为对任意事件A 有 67 例 一商店新进一批由3个分厂生产的同一型号的空调 而从这三个分厂的进货比例为3 1 2 它们的次品率分别为0 01 0 12 0 05 某顾客从该商店任意选购了一台空调 问 该空调为次品的概率 在已知该空调为次品的情况下 它是哪个分厂生产的可能性大 解 设B 顾客见到不合格空调 68 3 贝叶斯公式 69 例 对以往数据分析结果表明 当机器调整得良好时 产品的合格率为90 而当机器发生某一故障时 其合格率为30 每天早晨机器开动时机器调整良好的概率为75 试求已知某日早上第一件产品是合格品时 机器调整得良好的概率是多少 解 设 70 例 一商店销售10台收音机 其中3台为次品 其余为正品 某顾客选购时已经售出2台 该顾客从余下的8台收音机中任选一台 问 该顾客购得正品的概率 若已知该顾客购得正品 则已售出的2台都是次品的概率是多少 解 B 该顾客购得正品 Ai 售出的2台中有i台次品 i 0 1 2 71 例 临床诊断记录表明 利用某项检验检查癌症具有如下效果 对癌症患者进行检验结果95 呈阳性 对非癌症患者进行检验结果96 呈阴性 现在利用这项技术对某市市民进行癌症普查 如果该市癌症患者约占市民总数的0 4 求 试验结果呈阳性的被检查者患癌症的概率 试验结果呈阴性的被检查者确实未患癌症的概率 解 设A 实验结果为阳性 B 被检查者确实患有癌症 72 由全概率分式得 由贝叶斯公式 73 1 6独立性 设A B是试验E的两事件 当P A 0 可以定义P A B 一般地 P A B P B 但当A的发生对B的发生的概率没有影响时 有P B A P B 由乘法公式有P AB P A P B A P A P B 例如设试验E为掷甲 乙两枚硬币 观察正反面出现情况 设A 甲币出现H B 乙币出现H 试求 B发生的条件下 A发生的概率 1 两个事件相互独立性 设A B是两事件 如果满足等式P AB P A P B 则称事件A与事件B是相互独立的事件 4随机事件的独立性 74 定理1 相互独立事件的充要条件 设A B是两事件 且P A 0 则A B相互独立的充要条件是 P B A P B 定理2 下列4个命题等价 证明 此处证明 与 的等价性当 成立时 由事件的关系与运算与概率的性质可知 75 当 成立时 即当时 则有 1 零概率事件与任何事件都是相互独立的 2 由对称性 A B相互独立 必有B A相互独立 推论 2 两两相互独立 设有任意事件A1 A2 An 1 i j n 满足P AiAj P Ai P Aj 则称这n个事件两两相互独立 76 如果对于任意的k k n 任意的1 i1 i2 ik n都有 P Ai1Ai2 Aik P Ai1 P Ai2 P Aik 则称这n个事件相互独立 3 n个事件相互独立 注 n个事件相互独立保证了其中的任意两个事件相互独立 即两两相互独立 但两两相互独立不能保证这n个事件相互独立 三 利用独立性计算古典概率 1 计算相互独立的积事件的概率 若已知n个事件A1 A2 An相互独立 则P A1A2 An P A1 P A2 P An 2 计算相互独立事件的和的概率 若已知n个事件A1 A2 An相互独立 则 77 例 设甲乙两个射手 他们射出命中的概率分别为0 8和0 7 现两人同时向一目标射出一次 求 目标的命中率 现已知目标被命中 则它是甲命中的概率 解 设A 甲命中目标 B 乙命中目标 C 目标被命中 78 例 两架飞机依次轮番对同一目标投弹 每次投下一颗炸弹 每架飞机各带3颗炸弹 第1架扔一颗炸弹击中目标的概率为0 3 第2架的概率为0 4 求炸弹未完全耗尽而击中目标的概率 解 设 则 79 80 81 82 伯努力概型及二项分布 1 n重伯努力概型 研究n次独立实验中某随机实验发生的次数 例 某射手每射击一发子弹命中目标的概率为p 0 p 1 现对同一目标重复射击3次 试求恰好射中2发的概率 解 2 二项式概率公式 定理 设在每次试验中 事件A发生的概率均为p 0 p 1 即 而 则重伯努力实验中 事件恰好发生k次的概率为 83 例 已知某车间有5台某型号的机床 每台机床由于种种原因时常需要停机 设各台机床停机开机是相互独立的 若每台在任一机床时刻处于停机状态的概率均为1 3 试求在任一时刻 1 恰好有一台机床处于停机状态的概率 2 至少有一台机床处于停机状态的概率 3 至多有一台机床处于停机状态的概率 解 1 2 3 84 85 第一章习题课 一 主要内容 样本空间 随机事件 概率定义及性质 古典概型 条件概率 全概率公式 Bayes公式 事件的独立性 86 二 课堂练习 1 选择题 1 当事件A与B同时发生 事件C必发生 则有 A P C P AB B P C P A B C P C P A P B 1 D P C P A P B 1 87 2 填空题 2 设两个事件A B相互独立 A B都不发生的概率为1 9 A发生而B不发生的概率与B发生而A不发生的概率相等 则P A 3 计算题 88 设甲箱中有a只白球 b只黑球 乙箱中有c只白球 d只黑球 从甲箱中任取一球放入乙箱中 然后从乙箱中任取一球 试求从乙箱中取得白球的概率 有n个不同 可辨别 的球 每个球都以同样的概率1 N被投到N n N 个箱子中的每一箱中 试求下列事件的概率 1 某指定的n个箱子中各一球 A 2 恰有n个箱 其中各有一球 B 3 某指定箱中恰有m m n 个球 C 4 恰有k个箱子 其中有m个球 D 3 在一个盒子中混有新旧两种乒乓球 新的有白球40个 红球30个 旧球中有白球20个 红球10个 在这个盒子中任取一球 发现是新的 求这个球是白球的概率 89 第二章随机变量及其分布 2 1随机变量 即X e 是定义在样本空间S上的一个实函数 对于不同的试验结果e X取不同的值 由于试验前不能预料e的取值 因而X取1还是取0也是随机的 故称X e 为随机变量 90 1 定义 设随机试验E的样本空间是S e 若对于每一个e S 有一个实数X e 与之对应 即X e 是定义在S上的单值实函数 称为随机变量 简记为r v 注 1 可用随机变量X描述事件 反过来 X的一个变化范围表示一个随机事件 2 X 5 表示事件 掷出的点数大于2且小于5 91 2 分类 2 随机变量随着试验的结果而取不同的值 在试验之前不能确切知道它取什么值 但是随机变量的取值有一定的统计规律性 概率分布 1 离散型随机变量 2 非离散型随机变量 10连续型随机变量 20奇异型随机变量 若随机变量全部可能取到的值是有限多个或可列无限多个 92 2 2离散型随机变量的概率分布 93 2 求分布律的步骤 1 明确X的一切可能取值 2 利用概率的计算方法计算X取各个确定值的概率 即可写出X的分布律 例1 设一汽车在开往目的地的道路上需经过四盏信号灯 每盏信号灯以概率p禁止汽车通过 以X表示汽车首次停下时已通过信号灯的盏数 求X的分布律 设各信号灯的工作是相互独立的 解 设 94 例2 袋中装有4只红球 1只白球 从袋中摸球 随机摸取2次 每次一个球 设X表示所取得的白球数 试就下列两种情况分别求X的分布律 1 有放回摸取 2 无放回地摸取 解 1 当取后放回时 X的可能取值为0 1 2 且 2 当取后无放回时 X的取值为0 1 且 95 3 几种重要的离散型随机变量的分布律 一 0 1分布 当n 1时 P X k pk 1 p 1 k k 0 1 即为0 1分布 注 二 二项分布 96 例2 某种电子元件的使用寿命超过1500小时为一级品 已知一大批该产品的一级品率为0 2 从中随机抽查20只 求这20只元件中一级品只数X的分布律 例3 某人进行射击 每次命中率为0 02 独立射击400次 试求至少击中两次的概率 解 X取值分别为0 1 2 20 且 解 命中次数X的取值分别为 0 1 2 400 且 97 三 泊松分布 Poisson 2 泊松分布有很多应用 注 3 二项分布与泊松分布之间的关系 98 泊松 Poisson 定理 泊松定理的意义 1 在定理的条件下 二项分布的极限分布是泊松分布 2 当n很大且p又较小时 99 例 假设有若干台同型号的机床 彼此独立工作 每台机床发生故障的概率都是0 01 设一台机床的故障都可由一人维修 试就下列两种情况分别求出当车床发生故障时 需要等待维修的概率 由一人负责维修20台机床 由一人负责维修20台机床 解 设X表示任一时刻发生故障的机床数 则 100 例5设有同类型设备300台 各台工作是相互独立的 发生故障的概率都是0 01 设一台设备的故障由一个人处理 问至少需配备多少工人 才能保证当设备发生故障但不能及时维修的概率小于0 01 解 设配备k名工人 则有 101 四 几何分布 例设某种社会定期发行的奖券 每券1元 中奖率为p 某人每次购买1张奖券 如果没有中奖下次继续再买1张 直到中奖止 求购买次数X的分布律 若该人共准备购买10次共10元钱 即如果中奖就停止 否则下次再购买1张 直到10元共花完为止 求购买次数Y的分布律 102 超几何分布产生超几何分布的背景是无放回抽样问题 设某批产品共有N件 其中M件是次品 从中任取n件 取后不放回 设取得的次品件数为X 则 103 2随机变量的分布函数 1 定义 设r v X x R1 则F x P X x 称为X的分布函数 2 无论是离散型r v 还是非离散型r v 分布函数都可以描述其统计规律性 注 2 性质 1 F x 是单调不减函数 x2 x1 F x2 F x1 P x1 X x2 0 2 0 F x 1 F 0 F 1 3 F x 至多有可列个间断点 而在其间断点上也是右连续的 F x 0 F x 104 结论 反之 若已知分布函数求分布律用如下公式求解 105 106 3 连续型随机变量及其概率密度 则称X为连续型r v f x 称为X概率密度函数 简称概率密度 107 例1 一个靶子是半径为2米的圆盘 设击中靶上任一同心圆盘上的点的概率与该圆盘的面积成正比 并设射击都能击中靶 以X表示弹着点与圆心的距离 试求X的分布函数 解 已知 108 109 定义 3 关于连续型r v 的一个重要结论 定理 设X为连续型r v 它取任一指定的实数值a的概率均为0 即P X a 0 110 4 几个常用的连续型r v 分布 一 均匀分布 则称随机变量X在 a b 上服从均匀分布 记作X U a b 分布函数为 111 二 正态分布 112 性质 113 2 标准正态分布 114 引理 3 一般正态分布的标准化及其计算 115 结论 116 例设某商店出售的白糖每包的标准全是500克 设每包重量X 以克计 是随机变量 X N 500 25 求 1 随机抽查一包 其重量大于510克的概率 2 随机抽查一包 其重量与标准重量之差的绝对值在8克之内的概率 3求常数c 使每包的重量小于c的概率为0 05 117 服从正态分布N 2 的r v X之值基本上落入 2 2 之内 几乎全部落入 3 3 内 118 3 标准正态分布的上 分位点 119 三 负指数分布 120 性质 4 的直观意义可解释如下 若令X表示某种器件的寿命 性质 4 意味着它已经使用了s小时未损坏的器件能够再继续使用t小时以上的概率 与一个新器件能够使用t小时以上的寿命相同 这意味着器件的衰老作用可以忽略 器件的损坏主要由偶然因素所致 121 122 四 伽玛分布 123 4 随机变量的函数的分布 一 X为离散型r v 列表法 解 124 2 若g x1 g x2 中不是互不相等的 则应将那些相等的值分别合并 并根据概率加法公式把相应的pi相加 就得到了Y的概率分布律 125 二 X为连续型r v 1 分布函数法 3 对y求导得到Y的概率密度 126 127 128 若f x 在有限区间 a b 以外等于零 则只需假设在 a b 上g x 严格单调 选取 min g a g b max g a g b 2 公式法 定理 设X是连续型r v 具有概率密度f x 设y g x 是x的严格单调函数 且反函数x h y 具有连续的导函数 当g x 严格增加时 记 g g 当g x 严格减少时 记 g g 则Y的概率密度为 说明 2 定理中条件y g x 是X的严格单调函数是相当苛刻的 许多常见的函数都不能满足 因此 求随机变量的函数的分布时 只能按 分布函数法 直接求解 129 定理 r v X N 2 证明X的线性函数Y aX b a 0 也服从正态分布 130 6二维随机变量及其联合分布函数 一 二维随机变量的概念 二 二维随机变量的 联合 分布函数 本质上 二维随机变量就是定义在同一样本空间上的一对随机变量 类似地也可定义多维随机变量 131 若将 X Y 看成平面上随机点的坐标 则分布函数F x y 的值为 X Y 落在阴影部分的概率 如图1 图1 图2 132 三 联合分布函数的性质 只要知道了联合分布 两个变量的边缘分布也就随之确定 一般而言 仅知道边缘分布 往往不能确定联合分布 133 134 135 7二维离散型随机变量 一 联合分布律 136 例 设有一个装有4个红球 1个白球的袋子 现每次从中随机抽取一个 取后放回 连续抽取两次 令 137 138 二 边缘分布律 Y的分布律 X的分布律 139 三 条件分布律 140 第4周作业习题2 1 A组3 6 9 B组2 5 习题2 2 A组1 4 B组2 习题2 3 A组2 B组3 习题2 4 A组2 5 8 11 B组2 4 习题2 5 A组2 5 B组2 习题2 6 A组1 B组2 习题2 7 A组2 B组2 141 8二维连续型随机变量 一 联合概率密度 142 143 144 145 146 二 边缘概率密度 147 三 两种重要二维连续型分布 1 二维均匀分布 G G x y 2 1 x y 148 解 易见区域面积等于1 于是 X Y 的联合概率密度为 149 150 2 二维正态分布 151 152 定理 注意 153 四 条件概率密度 首先引入条件分布函数 然后得到条件概率密度 154 进一步可以化为 155 156 解 157 例3 设数X在区间 0 1 上随机地取值 当观察到X x 0 x 1 时 数Y在区间 x 1 上随机地取值 求Y的概率密度 158 9 随机变量的相互独立性 定义1 二 离散型随机变量相互独立的充分必要条件 一 随机变量相互独立的定义 三 连续型随机变量相互独立的充分必要条件 159 四 二维正态分布两个变量相互独立的充分必要条件 定理 二维正态分布中的参数反映了二维正态变量的两个分量之间的联系 即它们之间的相关系数 160 10 两个随机变量的函数的分布 一 离散型情形 例 设有二维随机变量 X Y 的联合分布为 161 二 连续型发型 162 163 1 和 Z X Y 的分布 已知 X Y 的联合密度是f x y 求Z X Y的分布密度 164 正态分布的可加性 165 定理 166 167 2 M max X Y 及m min X Y 的分布 设X Y相互独立 分布函数分别为FX x 和FY y 求M max X Y 和N min X Y 的分布 168 169 概率论数理统计第二章作业 习题2 4P68A组 1 5 9 13B组 2 4 习题2 5P73A组 5B组 1 3习题2 6P76A组 2B组 2习题2 8P87A组 3 B组 2 习题2 10P97A组 2 5B组 3 170 第二章习题课 一 主要内容 1 二维r v 的分布函数 离散型r v 的联合分布 连续型r v 的联合概率密度 2 边缘分布函数 边缘分布律 边缘概率密度 3 条件分布律 条件概率密度 4 随机变量的相互独立 5 两个r v 函数的分布 二 课堂练习 171 1 设某人从1 2 3 4四个数中依次取出两个数 记X为第一次所取出的数 Y为第二次所取出的数 若第一次取后不放回 求X和Y的联合分布律 172 173 第三章随机变量的数字特征 1 数学期望 一 问题引入 例 某车间生产某种产品 检验员每天随机地抽取n件产品作检验 查出的废品件数 是一个随机变量 它的可能取值为0 1 n 设检验员共查了N天 出现废品为0 1 2 n的天数分别为m0 m1 mn 问共检查的 天内 平均每天出现的废品件数为多少 天内检查出的总的废品件数为 天内平均每天检查出的废品件数为 174 几种常见离散型随机变量的数学期望 175 176 二 连续随机变量的数学期望 177 几种常见连续型随机变量的数学期望 1 均匀分布 2 指数分布 178 3 正态分布 179 三 随机变量函数的数学期望公式 180 例2 设X是离散型取款机变量 分布律如下表 求E X2 X 例3 181 例4已知某种产品的市场需求是随机变量X 单位 吨 它服从 2000 4000 上的的均匀分布 设每销售一吨该产品可获得3万元 若销售不出囤积仓库 每吨需保管费用1万元 问 如何安排生产计划 可获得最大利润 解 产品产量为a 单位 吨 由题意是2000 4000之间的一常数 销售利润Y 单位 万元 是随机变量 且是市场需求量X的函数 182 1 在已知Y是X的连续函数前提下 当我们求E Y 时不必知道Y的分布 只需知道X的分布就可以了 2 上述定理可以推广到多维r v 函数 说明 183 G 例5 设二维随机变量 X Y 的联合概率分布为 184 四 数学期望的性质 1 E c c c为常数 2 E cX cE X c为常数 3 E X Y E X E Y 4 设X Y相互独立 则E XY E X E Y 5 E XY 2 E X2 E Y2 许瓦尔兹不等式 证明略 例7某机场送客汽车载有20名乘客 离开机场后共有10个车站可以下车 若某个车站无人下车 则该车站不停车 且每个乘客在各个车站下车的可能性相等 以X表示停车次数 求E X 解 设随机变量 185 将X分解成数个r v 之和 然后利用r v 和的数学期望等于r v 的数学期望之和来求解 这个方法具有一定的普遍意义 说明 186 2 方差 一 方差的定义 若X为离散型r v 其分布律为P X xk pk k 1 2 则 187 二 常见分布的方差 1 两点分布 188 2 二项分布 189 3 泊松分布 泊松分布的均值等于方差E X D X 的直观意义可解释为 设售票站单位时间接待的顾客人数服从参数为泊松分布 当越大时 即出现人数越多的时段 顾客的离解程度就越高 即越忙时 越会发生时忙时闲 忙闲不均的现象 190 4 均匀分布 5 指数分布 191 5 正态分布 192 三 方差的性质 性质10设C是常数 则D C 0 反之 若D X 0 则存在常数C 使得P X 1 1 性质20设X是r v C是常数 则有D CX C2D X 性质30设X Y是两个随机变量 则有 性质40设X Y是两个随机变量相互独立 则有 推论 设X1 X2 Xn是n个相互独立随机变量 则有 相互独立随机变量代数和的方差等于它们各自方差之和 193 例 设袋中有n张卡片 号码分别为1 2 n 现从袋中有放回地随机抽出k k n 张卡片 令X表示所抽得的k张卡片的号码之和 求E X 及D X 解 194 第三章作业1习题3 2P125A组 2 4B组 1 3习题3 3 132A组 1 3B组 2 4 195 4 协方差和相关系数 1 协方差的概念 196 197 解 首先求出均值E X 和E Y 及边缘分布和 198 即X与Y不相关 但是当 199 定义 若随机变量X与Y的相关系数 XY 0 则称X与Y不相关 对于随机变量X和Y 下列事实等价 1 Cov X Y 0 X与Y不相关 E XY E X E Y D X Y D X D Y 200 2协方差的性质 10Cov X Y Cov Y X 20Cov a1X b1 a2Y b2 a1a2Cov X Y 其中a1 a2 b1 b2是常数 30Cov X1 X2 Y Cov X1 Y Cov X2 Y 40 Cov X Y 2 D X D Y 50若X Y相互独立 则Cov X Y 0 201 二 相关系数 定义 202 证明 203 204 205 例 设二维随机变量 X Z 服从正态分布 且 其中随机变量X与Y分别满足正态分布和 求 206 207 三 相关系数的意义 函数相关 曲线相关 高度相关 低度相关 208 正相关 负相关 零相关 209 相关系数 XY刻划了X Y之间的线性相关关系 当 XY 0时 X Y不相关指它们之间没有线性相关关系 而不是说它们之间没有任何关系 说明 210 5 矩 协方差矩阵 一 定义 设X和Y是随机变量 显然 E X E Y 为一阶原点矩 D X D Y 为二阶中心矩 XY为二阶中心混合矩 1 若E Xk k 1 2 存在 则称它为X的k阶原点矩 2 若E X E X k k 1 2 存在 则称它为X的k阶中心矩 3 若E Xk Yl k l 1 2 存在 则称它为X和Y的k l阶混合矩 4 若E X E X k Y E Y l k l 1 2 存在 则称它为X和Y的k l阶中心混合矩 211 212 三 协方差阵的性质 10C是对称的 由协方差的性质Cov X Y Cov Y X ij ji可得 20 ii D Xi i 1 2 3 n 30 ij2 ii jj i j 1 2 n 由许瓦尔兹不等式可得 40C是非负定的 即对任意的n维向量a a1 a2 an T 都有aTCa 0 E XY 2 E X2 E Y2 许瓦尔兹不等式 213 四 n维正态变量 214 2 性质 20n维r v X1 X2 Xn 服从n维正态分布的的充要条件是X1 X2 Xn的任一线性组合l1X1 l2X2 lnXn服从一维正态分布 30若 X1 X2 Xn 服从n维正态分布 设Y1 Y2 Yn是Xj j 1 2 n 的线性函数 则 Y1 Y2 Yn 也服从多维正态分布 40若 X1 X2 Xn 服从n维正态分布 则 X1 X2 Xn 相互独立与 X1 X2 Xn 两两不相关是等价的 10n维r v X1 X2 Xn 的每一个分量Xi i 1 2 n都是正态分布 反之 若X1 X2 Xn的都是正态分量 且相互独立 则 X1 X2 Xn 服从n维正态分布 215 216 第三章习题课 一 主要内容 1 随机变量的数学期望 函数的数学期望 性质 2 方差定义 性质 3 几类常见分布的数学期望 方差 5 相关系数的定义 性质 4 协方差定义 性质 6 几类矩的定义 二 课堂练习 217 1 一台设备由三大部件构成 在设备运转中各部件需要调整的概率分别为0 1 0 2和0 3 假设各部件的状态相互独立 以X表示同时需要调整的部件数 试求X的数学期望和方差 218 219 第四章大数定律及中心极限定理 在统计活动中 人们发现 在相同的条件下大量重复进行同一种随机实验时 一事件发生的次数与实验次数的比 即该事件发生的频率值会趋近于一常数 重复实验的次数越多 这一结论越显著 这就是最早的大数定理 一般的大数定理讨论了个随机变量平均值的稳定性 大数定理是对随机现象进行概型化研究的重要基础 第三章的理论是以公理化定义为基础的 进而演绎推导 对公理化的概率定义并没有明确提示概率与现实试验中事件发生的概率值的内在联系 中心定理证明了 个随机变量的和 时的极限分布是正态分布 本章的内容就是利用第三章的理论和工具对随机事件发生的概率次数频率的稳定性进行研究 并使用极限工具提示出正态分布广泛使用的原因 以及使用正态分布处理实际问题的近似方法 221 一 问题的提出 提法一 当n足够大时 频率与概率p有较大偏差的可能性很小 用数学语言来讲 就是要证明 对于任意 0 1 大数定律 随机变量的均值序列收敛于常数序列 定理1 切比雪夫不等式 证明 定义1 如果对于任意的n 1 X1 X2 Xn都相互独立 且具有相同的分布 则称X1 X2 Xn为全同独立分布的随机变量序列 定义2 概率收敛性 定义3 224 提法二 强大数定律 即证明 定理2 切比雪夫大数定律的特殊情况 设r v X1 X2 Xn 相互独立 且具有相同的数学期望和方差 225 性质 226 2 中心极限定理 中心极限定理 centrallimittheorem x的分布趋于正态分布的过程 230 一 中心极限定理 对于独立随机变量序列 1 2 n 假定E i D i 存在 令 231 1 独立同分布的中心极限定理 设r v Xk k 1 2 相互独立 服从同一分布 i i d 且具有有限的数学期望和方差 232 2 李雅普诺夫定理 233 3 德莫佛 拉普拉斯定理 234 例1 某单位内部有260部电话分机 每部分机有4 的概率使用外线 各分机是否使用外线是相互独立的 问 总机至少要有多少条外线才能有95的把握保证各部分机使用时不必等候 解 235 例2 设某车间有200台车床 每台车床由于种种原因出现停车 且每台车床开车的概率为0 6 假定每台车床停或开车是相互独立的 若每台车床开车时需消耗1000W电能 问要以99 9 的概率保证这个车间不致因供电不足而影响生产 需供应多少电能 解 236 例3 一加法器同时收到20个噪声电压Vk k 1 2 20 设这20个电压是独立产生的 均服从区间 0 10 的均匀分布 若 237 解 由于Vk均服从 0 1 上的均匀分布 迥有 由全同分布的中心极限定理知 238 例3 在一家保险公司有10000个人参加了寿命保险 每人每年付12元保险费 已知在一年内一个人的死亡概率为0 6 其死亡时家属可向保险公司领取1000元 问 保险公司亏损的概率有多大 解 设X表示一年内的死亡人数 则X B n p 其中n 10000 P 0 6 设Y表示公司一年的利润 则Y 12 1