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第三章系统模型 系统模型概述 结构模型 层次分析法 模型概念及特征 系统模型的分类 建模原则及常用方法 结构模型概念及特征 解析结构模型的建立 应用案例 设一个质量为m 长度为l的摆 其偏离中心线的角度为 很小 t st 方程的解是以为周期的简谐震动 建立单摆简谐运动的类似模型 mg l L C电路 电路中q t st 解是以为周期的简谐震动 一一对应模拟 C L L C电路图 蒙特卡罗的特点是在所研究系统的模型中模拟随机事件 即对于所求的值应该设定什么样的概率过程为题进行求解的技术方法 启发性思考法 蒙特卡罗法计算值 1 1 在边长为1的的正方形中任意打N个点 并将n个点置于扇形部分 如使点数N足够大 则认为近似等于正方形和扇形面积之比 即 N n 12 12 1 4 即 4n N与概率现象本身没有任何关系的问题 也可用概率的方法来解决 是一种 想法的转换 即启发性思考方法 第8节结构模型 StructureModel 在开发和改造一个系统时 首先需要了解系统中各要素间存在怎样的关系 即了解和掌握系统的结构 即建立系统的结构模型 1结构模型 就是用有向连接图来描述系统各要素间的关系 以表示一个作为要素集合体的系统模型 一结构模型的概念及性质 1 结构模型是一种几何模型 节点表示系统的要素 有向边表示要素间的关系 2 结构模型是以定性分析为主的模型 3 结构模型可以用矩阵形式描述 进行定性与定量分析 结构模型的建模方法很多 其中一种为解析结构模型法 InterpretStructureModel S3 2基本性质 ISM是美国华费尔特教授于1973年作为分析复杂的社会经济系统有关问题而开发的一种方法 其特点是把复杂的系统分解为若干子系统或要素 利用人们的实践经验和知识 以及计算机的帮助 最终将系统构造成多级递阶的结构模型 ISM的程序为 组织构造ISM小组 10人左右 设定问题选择系统要素 制定系统明细表 构思有向图 建立连接矩阵和可达矩阵 对可达矩阵进行分解 建立结构模型 由结构模型转化为解析结构模型 3解析结构模型 1有向连接图 由若干节点和有向边连接而成的图象 即为节点和有向边的集合 表示为 G S E 2邻接矩阵A 描述图中节点两两之间的直接关系 A中元素3可达矩阵R 用矩阵形式反映有向连接图各节点之间通过一定路径可以到达的程度 Si经若干路径到达Sj否则 二 解析结构模型的建立 可达矩阵 邻接矩阵A 单位矩阵I 并经过一定的运算后求得 即有A1 A I再设A2 A I 2 用布尔代数运算规则 一般地 通过依此运算后 可得 A1 A2 An 1 An则有R An 1 A I n 1R 可达矩阵 它表明各节点间经过长度不大于 n 1 条通道可以到达的程度 对于节点数n为个的图 最长的通路长度肯定不超过 n 1 例 现有如下图所示7个要素组成的系统 试建立它的关系 并求邻接矩阵和可达矩阵 有向连接图 由此可得邻接矩阵A A的元素全为零的行所对应的节点为汇点 A的元素全为零的列所对应的节点为源泉 对应每一节点的行中元素值为1的数量 是离开该节点的有向边数 对应每一节点的列中元素值为1的数量 是进入该节点的有向边数 矩阵A的特性 建立可达矩阵R 经计算后得 A I 1 A I 2 A I 3 R A I 2 布尔代数运算规则 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 4可达矩阵的分解 建立ISM模型 区域分解 1 S 将要素分成区域 不同区域的要素相互间是没有关系的 首先将R中的元素划分为可达集和先行集 1 要素Si的可达集R Si R中第Si行矩阵元素为1对应的列要素的集合 即 N为节点集合 rij 1表示Si与Sj关联 区域分解 2 要素Sj的先行集A Sj R中第Sj列矩阵元素为1所对应的行要素的集合 即 3 共同集合T 可达集R Si 与先行集A Sj 的交集等于先行集A Sj 的要素集合 即 4 确立不同区域任取属于共同集的两要素Su Sv 若 则Su Sv属同一区域 若 则Su Sv属于不同区域 这样运算后的集合称区域分解 可写成 其中M为区域数 级间分解 2 P 将系统中的所有要素 以可达矩阵为准则划分不同层次 在一个多级结构中 它的最上层要素Si的R Si 只能由Si自身和Si的强连通要素组成 同时Si的先行集只能由由Si自身和结构中的下一级可能到达的要素以及Si的强连通要素组成 若Si是最上层单元 需满足 找出最高一级要素后 将其从可达矩阵中划去相应的行与列 在从剩下的可达矩阵中寻找新的最高级要素 依此类推 级间分解 级间划分可用下式表示 其中K为级次若定义 L0 则 其中 分别是由要素组成的子图求得的可达集和先行集 强连通划分 3 L 级间分解后 每级要素中可能有强连通要素 一般构成一个回路 只需选择一个要素即可 强连通划分 接例可达矩阵分解 区域划分 因为 R 3 A 7 则S3 S7分属不同区域 所以 区域划分为 因为 S1 S5满足 所以 S1 S5分属两区域的最高层次 即 L1 S1 S5 再有N L0 L1进行第二级分解 接例可达矩阵分解 级间分解 该表的最高级 即为可达矩阵的第二级要素L2 2 4 6 由N L0 L1 L2 得 该表的最高级 即为可达矩阵的第三级要素为 L3 3 7 这样 经过三级划分 将R中的7个单元划分成三层次 即 2 P L1 L2 L3 强连通划分 4 6 属强连通块 作出递阶有向图 层次结构图 案例 人口系统影响总人口增长问题 新中国成立以来 人们的期望寿命有了较大提高 相对死亡率降低了 国民收入的不断增长 生活水平不断提高 计划生育政策贯彻不力等等 导致我国人口速度增长过快 为此 成立了各方面人员参加的研究小组对人口增长问题进行了研究 主要任务为 应用ISM讨论和确定我国总人口增长的影响因素 根据经验和对话建立可达矩阵 解析结构模型 通过模型中各因素分析 为制定有关人口政策 控制人口等政策提供依据 经ISM小组讨论后 认为主要影响因素有11个 并经多次讨论后确定它们之间的关系 三 解析结构模型的应用 S1期望寿命 S2保健水平 S3生育能力 S4计生政策 S5思想风格 S6营养 S7环境污染 S8国民收入 S9国民素质 S10出生率 S11死亡率 S12总人口 Si与Sj互有关系 Sj与Si有关系 Si与Sj有关系 根据以上对话过程 建立可达矩阵 123456789101112 1 11 121 2 3 11 123 10 124 10 121 3 6 10 11 121 7 11 121 3 4 8 10 11 124 9 10 1210 1211 1212 1 2 6 7 822 3 6 84 8 967893 4 6 8 9 101 2 6 7 8 101 12 123456789101112 I j R Si A Sj R Si A Sj R 2 R 6 R 7 R 8 R 9 共同集合不存在空集 所以没有区域之分 首先找出R 12 R 12 A 12 所以第一层次为要素12第二层次为要素10 11第三层次为要素1 3 4第四层次为要素2 6 7 8 9 总人口 出生率 死亡率 生育能力 思想风俗 期望寿命 计生政策 保健水平 营养水平 国民收入 环境污染 国民素质 人口系统解析结构模型 已知可达矩阵M 试用规范方法建立其递阶结构模型 29 三 建立递阶结构模型的规范方法 建立反映系统问题要素间层次关系的递阶结构模型 可在可达矩阵M的基础上进行 一般要经过区域划分 级位划分 骨架矩阵提取和多级递阶有向图绘制等四个阶段 这是建立递阶结构模型的基本方法 现以例3 8 3所示问题为例说明 与图3 8 3对应的可达矩阵 其中将Si简记为i 为 30 例3 8 3某系统由七个要素 S1 S2 S7 组成 经过两两判断认为 S2影响S1 S3影响S4 S4影响S5 S7影响S2 S4和S6相互影响 这样 该系统的基本结构可用要素集合S和二元关系集合Rb来表达 其中 S S1 S2 S3 S4 S5 S6 S7 Rb S2 S1 S3 S4 S4 S5 S7 S2 S4 S6 S6 S4 31 1234567 1234567 M 32 1 区域划分 区域划分即将系统的构成要素集合S 分割成关于给定二元关系R的相互独立的区域的过程 首先以可达矩阵M为基础 划分与要素Si i 1 2 n 相关联的系统要素的类型 并找出在整个系统 所有要素集合S 中有明显特征的要素 有关要素集合的定义如下 33 可达集R Si 系统要素Si的可达集是在可达矩阵或有向图中由Si可到达的诸要素所构成的集合 记为R Si 其定义式为 R Si Sj Sj S mij 1 j 1 2 n i 1 2 n先行集A Si 系统要素Si的先行集是在可达矩阵或有向图中可到达Si的诸要素所构成的集合 记为A Si 其定义式为 A Si Sj Sj S mji 1 j 1 2 n i 1 2 n共同集C Si 系统要素Si的共同集是Si在可达集和先行集的共同部分 即交集 记为C Si 其定义式为 C Si Sj Sj S mij 1 mji 1 j 1 2 n i 1 2 n 34 系统要素Si的可达集R Si 先行集A Si 共同集C Si 之间的关系如图4 7所示 图4 7可达集 先行集 共同集关系示意图 Si A Si C Si R Si 35 起始集B S 和终止集E S 系统要素集合S的起始集是在S中只影响 到达 其他要素而不受其他要素影响 不被其他要素到达 的要素所构成的集合 记为B S B S 中的要素在有向图中只有箭线流出 而无箭线流入 是系统的输入要素 其定义式为 B S Si Si S C Si B Si i 1 2 n 如在于图4 5所对应的可达矩阵中 B S S3 S7 当Si为S的起始集 终止集 要素时 相当于使图4 7中的阴影部分C Si 覆盖到了整个A Si R Si 区域 这样 要区分系统要素集合S是否可分割 只要研究系统起始集B S 中的要素及其可达集 或系统终止集E Si 中的要素及其先行集要素 能否分割 是否相对独立 就行了 36 利用起始集B S 判断区域能否划分的规则如下 在B S 中任取两个要素bu bv 如果R bu R bv 为空集 则bu bv及R bu R bv 中的要素属同一区域 若对所有u和v均有此结果 均不为空集 则区域不可分 如果R bu R bv 则bu bv及R bu R bv 中的要素不属同一区域 系统要素集合S至少可被划分为两个相对独立的区域 利用终止集E S 来判断区域能否划分 只要判定 A eu A ev eu ev为E S 中的任意两个要素 是否为空集即可 区域划分的结果可记为 S P1 P2 Pk Pm 其中Pk为第k个相对独立区域的要素集合 经过区域划分后的可达矩阵为块对角矩阵 记作M P 37 为对给出的与图4 5所对应的可达矩阵进行区域划分 可列出任一要素Si 简记作i i 1 2 7 的可达集R Si 先行集A Si 共同集C Si 并据此写出系统要素集合的起始集B S 如表4 1所示 表4 1可达集 先行集 共同集和起始集例表 38 因为B S S3 S7 且有R S3 R S7 S3 S4 S5 S6 S1 S2 S7 所以S3及S4 S5 S6 S7与S1 S2分属两个相对独立的区域 即有 S P1 P2 S3 S4 S5 S6 S1 S2 S7 这时的可达矩阵M变为如下的块对角矩阵 O O 39 2 级位划分 区域内的级位划分 即确定某区域内各要素所处层次地位的过程 这是建立多级递阶结构模型的关键工作 设P是由区域划分得到的某区域要素集合 若用L1 L2 Ll表示从高到低的各级要素集合 其中l为最大级位数 则级位划分的结果可写出 P L1 L2 Ll 某系统要素集合的最高级要素即该系统的终止集要素 级位划分的基本做法是 找出整个系统要素集合的最高级要素 终止集要素 后 可将它们去掉 再求剩余要素集合 形成部分图 的最高级要素 依次类推 直到确定出最低一级要素集合 即Ll 40 为此 令LO 最高级要素集合为L1 没有零级要素 则有 L1 Si Si P L0 C0 Si R0 Si i 1 2 n L2 Si Si P L0 L1 C1 Si R1 Si i n Lk Si Si P L0 L1 Lk 1 Ck 1 Si Rk 1 Si i n 4 3 式 4 3 中的Ck 1 Si 和Rk 1 Si 是由集合P L0 L1 Lk 1中的要素形成的子矩阵 部分图 求得的共同集和可达集 经过级位划分后的可达矩阵变为区域块三角矩阵 记为M L 41 如对例4 1中P1 S3 S4 S5 S6 进行级位划分的过程示于表4 2中 表4 2级位划分过程表 42 对该区域进行级位划分的结果为 P1 L1 L2 L3 S5 S4 S6 S3 同理可得对P2 S1 S2 S7 进行级位划分的结果为 P L1 L2 L3 S1 S2 S7 这时的可达矩阵为 43 3 提取骨架矩阵 提取骨架矩阵 是通过对可达矩阵M L 的缩约和检出 建立起M L 的最小实现矩阵 即骨架矩阵A 这里的骨架矩阵 也即为M的最小实现多级递阶结构矩阵 对经过区域和级位划分后的可达矩阵M L 的缩检共分三步 即 检查各层次中的强连接要素 建立可达矩阵M L 的缩减矩阵M L 如对原例M L 中的强连接要素集合 S4 S6 作缩减处理 把S4作为代表要素 去掉S6 后的新的矩阵为 543127 543127 M L L1L2L3 L1L2L3 0 0 44 去掉M L 中已具有邻接二元关系的要素间的超级二元关系 得到经进一步简化后的新矩阵M L 如在原例的M L 中 已有第二级要素 S4 S2 到第一级要素 S5 S1 和第三级要素 S3 S7 到第二级要素的邻接二元关系 即S4RS5 S2RS1和S3RS4 S7RS2 故可去掉第三级要素到第一级要素的超级二元关系 S3R2S5 和 S7R2S1 即将M L 中3 5和7 1的 1 改为 0 得 45 进一步去掉M L 中自身到达的二元关系 即减去单位矩阵 将M L 主对角线上的 1 全变为 0 得到经简化后具有最小二元关系个数的骨架矩阵A 如对原例有 46 4 绘制多级递阶有向图D A 根据骨架矩阵A 绘制出多级递阶有向图D A 即建立系统要素的递阶结构模型 绘图一般分为如下三步 分区域从上到下逐级排列系统构成要素 同级加入被删除的与某要素 如原例中的S4 有强连接关系的要素 如S6 及表征它们相互关系的有向弧 按A 所示的邻接二元关系 用级间有向弧连接成有向图D A 47 原