简谐运动周期公式证明

为了使示意图更加简洁 全部假设 k 1 这样的话以为 F回 kx 并且在此强调 并且在此强调 此处负号只表示方向 不表示数值 所以在证明中使用数值关系时全部忽略负此处负号只表示方向 不表示数值 所以在证明中使用数值关系时全部忽略负 号 号 所以回复力 F 数值上和在图中的线段长度等于位移 X 所以在 2 个示意 图中都是用一条线表示的 6 一般简谐运动周期公式证明一般简谐运动周期公式证明 因为简谐运动可以看做圆周运动的投影 所以其周期也可以用圆周运动的公式 来推导 见右图 圆周运动的 很明显 v 无法测量到 所以根据 得到 其中向心力 F 便可以用三角函数转换回复力得到即 F kxF kx 中负号只表示方向 所以在这省略 中负号只表示方向 所以在这省略 所以得到 因为 x 与 r 之间的关系是 x rcos 所以上式继续化简得到 然后再将 V 带入之前的圆周运动 T 中 即可得到 4 单摆周期公式证明单摆周期公式证明 首先必须明确只有在偏角不太大的情况 一般认为小于首先必须明确只有在偏角不太大的情况 一般认为小于 5 5 下 单摆的运动 下 单摆的运动 可以近似地视为简谐运动 可以近似地视为简谐运动 单摆周期公式证明 见示意图 在偏角很小时 我们可以近似的看做图中红色箭头即位移 x 回复 力 垂直于平衡位置 于是我们便可以得到 sin 同时因为回复力为重力与速度平行方向上的分力即图中重力分力 2 重力分 力 1 即 L 的延长线 于是我们可以得到 AOB 与重力和它的分力所构成的三角 形相似 注意相似时的三角形方向 即可得到 注意 此处比例关系中的位移 注意 此处比例关系中的位移 x x 虽然在虽然在 k 1k 1 的假设下数值上等于回复力的假设下数值上等于回复力 F F 但是必须清楚在意义上但是必须清楚在意义上 G G2 2才是真正的回复力才是真正的回复力 F F 因为回复力 因为回复力 F F 为重力与速度平为重力与速度平 行方向上的分力即行方向上的分力即 G G2 2 7 7 于是根据相似我们可以得到 于是化简得到 于是得到 然后将这个转换带入一般简谐运动周期公式便得到了单摆的周期公式 1 5 5 运动方程推导运动方程推导编辑编辑 定义 一个做匀速圆周运动的物体在一条直径上的投影所做的运动即为简谐运 动 R 是匀速圆周运动的半径 也是简谐运动的振幅 是匀速圆周运动的角速度 也叫做简谐运动的圆频率 是 t 0 时匀速圆周运动的物体偏离该直径的角度 逆时针为正方向 叫做 简谐运动的初相位 在 t 时刻 简谐运动的位移 x Rcos t 简谐运动的速度 v Rsin t 简谐运动的加速度 a 2Rcos t 这三个式子叫 做简谐运动的方程 3 简单推导简单推导 根据简谐运动的定义 简谐运动与圆周运动示意图 在右图的示意图中 我们可以清晰的看出上面各个概念在途中的表示 O 点为 圆心 也为简谐运动的平衡位置 对位移的推导使用三角函数的有关知识 t 即角度 运用三角函数便求出 了 O 点与结束位置的距离 即位移 此图中位移为负数 即设定左边方向为 正方向 所以得出方程 x Rcos t 因为速度即为 运用微积分的知识对位移方程进行微分 便可得到导数 Rsin t 即 v Rsin t 同理 加速度为 也可以写为 二次导数 于是我们再次对速度方程进行微分 得到二次导数 2Rcos t 即 a 2Rcos t 3 说明 说明 1 这个运