函数的最值与导数.ppt

1 3 3函数的最大 小 值与导数 1 函数的最大值 f x0 M 一般地 设函数y f x 的定义域为I 如果存在实数M满足 对于任意的x I 都有 存在x0 I 使得 那么称M是函数y f x 的最大值 f x M 2 函数的最小值 f x0 M 一般地 设函数y f x 的定义域为I 如果存在实数M满足 对于任意的x I 都有 存在x0 I 使得 那么称M是函数y f x 的最小值 f x M 复旧知新 a b f a f b 复旧知新 问题一 函数极值相关概念 1 若函数y f x 在点x b的函数值f b 比它在点x b附近其他点的函数值都小大 满足f b 0且在点x b附近的左侧f x 0 右侧f x 0 则把点b叫做函数y f x 的极大值点 f b 叫做函数y f x 的极大值 2 若函数y f x 在点x a的函数值f a 比它在点x a附近其他点的函数值都小 满足f a 0且在点x a附近的左侧f x 0 则把点a叫做函数y f x 的极小值点 f a 叫做函数y f x 的极小值 复旧知新 问题二 一般地 求函数y f x 的极值的方法是什么 解方程f x 0 当f x0 0时 1 如果在x0附近的左侧f x 0 右侧f x 0 那么f x0 是极小值 观察区间 a b 上函数y f x 的图象 你能找出它的极大值和极小值吗 你能找出它的最大值 最小值吗 讲授新课 x1 极大值 f x2 f x4 f x6 极小值 f x1 f x3 f x5 最大值 f a 最小值 f x3 性质探究 探究问题1 开区间上的最值问题 结论 在开区间内的连续函数不一定有最大值与最小值 若有最值 一定在极值点处取得 如图 观察 a b 上的函数y f x 的图像 它们在 a b 上有最大值 最小值吗 如果有 最大值和最小值在什么位置取到 性质探究 探究问题2 闭区间上的最值问题 y x o y f x 如图 观察 a b 上的函数y f x 的图像 它们在 a b 上有最大值 最小值吗 如果有 最大值和最小值分别是什么 一般地 如果在闭区间 a b 上函数y f x 的图像是一条连续不断的曲线 那么它必定有最大值和最小值 结论 特别地 若函数y f x 在区间 a b 上是单调函数 则最值则在端点处取得 y x o 思考1 观察下列图形 找出函数的最值并总结规律 图1 图3 图2 连续函数在 a b 上必有最值 并且在极值点或端点处取到 观察右边一个定义在区间 a b 上的函数y f x 的图象 发现图中 是极小值 是极大值 在区间上的函数的最大值是 最小值是 f x1 f x3 f x2 f b f x3 问题在于如果在没有给出函数图象的情况下 怎样才能判断出f x3 是最小值 而f b 是最大值呢 思考2 追踪练习 2 将y f x 的各极值与f a f b 端点处 比较 其中最大的一个为最大值 最小的一个最小值 求f x 在闭区间 a b 上的最值的步骤 1 求f x 在区间 a b 内极值 极大值或极小值 方法总结 例1 给出下列说法 1 函数在其定义域内若有最值与极值 则其极大值便是最大值 极小值便是最小值 2 在闭区间上的函数一定有最大值和最小值 3 若函数在其定义域上有最值 则一定有极值 反之 若有极值 则一定有最值 4 若函数在给定的区间上有最值 则最多有一个最大值 一个最小值 若函数有极值 则可有多个极值 其中说法正确的有 牛刀小试 4 例1 已知函数 求f x 在区间 0 3 上的最大值和最小值 典例精讲 例2 求函数f x 48x x3在区间 3 5 上的最值 求函数f x 2x3 3x2 12x 5在区间 2 1 上的最值 解 又f 2 1 f 1 8所以函数在区间 2 1 上最大值为12 最小值为 8 巩固练习 f x 6x2 6x 12 6 x2 x 2 6 x 2 x 1 令f x 0 得x 1或x 2 舍 当 20 函数单调递增 当 1 x 1时 f x 0 函数单调递减 所以当x 1时 函数取得极大值 且极大值f 1 12 练一练 求下列函数在给定区间上的最大值与最小值 4 函数y x3 3x2 在 2 4 上的最大值为 A 4 B 0 C 16 D 20 C 学以致用 反思 本题属于逆向探究题型 其基本方法最终落脚到比较极值与端点函数值大小上 从而解决问题 往往伴随有分类讨论 能力提升 已知函数在 2 2 上有最小值 37 1 求实数a的值 2 求f x 在 2 2 上的最大值 已知函数f x ax3 6ax2 b 问是否存在实数a b 使f x 在 1 2 上取得最大值3 最小值 29 若存在 求出a b的值 若不存在 请说明理由 例4 设函数f x tx2 2t2x t 1 t 0 1 求f x 的最小值h t 2 若h t 2t m对 0 t 2 恒成立 求实数m的取值范围 有关恒成立问题 一般是转化为求函数的最值问题 求解时首先要确定函数 看哪一个变量的范围已知 以已知范围的变量为自变量确定函数 课堂小结 1 规律总结 2 函数存在最值的的条件 3 一般地 求函数y f x 在区间 a b 上的最大值与最小值的步骤 1 求函数y f x 在开区间 a b 内的极值 2 计算端点处的函数值f a f b 并将