高中函数大题专练

高中函数大题专练高中函数大题专练 已知关于x的不等式 2 4 4 0kxkx 其中kR 试求不等式的解集A 对于不等式的解集A 若满足AZB 其中Z为整数集 试探究集合B能否为有限集 若能 求出使得集合B中元素个数最少的k的所有取值 并用列举法表示集合B 若不能 请说明理由 对定义在 0 1 上 并且同时满足以下两个条件的函数 f x称为G函数 对任意的 0 1 x 总有 0f x 当 1212 0 0 1xxxx 时 总有 1212 f xxf xf x 成立 已知函数 2 g xx 与 21 x h xa 是定义在 0 1 上的函数 1 试问函数 g x是否为G函数 并说明理由 2 若函数 h x是G函数 求实数a的值 3 在 2 的条件下 讨论方程 21 x gh xm mR 解的个数情况 3 已知函数 2 1 2 x x xf 1 若2 xf 求x的值 2 若0 2 2 tmftf t 对于 2 3 t 恒成立 求实数m的取值范围 4 设函数 xf是定义在R上的偶函数 若当0 x 时 1 1 0 f xx 0 0 x x 1 求 xf在 0 上的解析式 2 请你作出函数 xf的大致图像 3 当0ab 时 若 f af b 求ab的取值范围 4 若关于x的方程0 2 cxbfxf有 7 个不同实数解 求 b c满足的条件 5 已知函数 0 b f xax x 1 若函数 f x是 0 上的增函数 求实数b的取值范围 2 当2b 时 若不等式 f xx 在区间 1 上恒成立 求实数a的取值范围 3 对于函数 g x若存在区间 m n mn 使 xm n 时 函数 g x的值域也是 m n 则称 g x是 m n上的闭函数 若函数 f x是某区间上的闭函数 试探求 a b应满足的 条件 6 设bxaxxf 2 求满足下列条件的实数a的值 至少有一个正实数b 使函数 xf的 定义域和值域相同 7 对于函数 xf 若存在Rx 0 使 00 xxf 成立 则称点 00 x x为函数的不动点 1 已知函数 0 2 abbxaxxf有不动点 1 1 和 3 3 求a与b的值 2 若对于任意实数b 函数 0 2 abbxaxxf总有两个相异的不动点 求a的取值 范围 3 若定义在实数集 R 上的奇函数 xg存在 有限的 n 个不动点 求证 n必为奇数 8 设函数 0 1 x x xxf 的图象为 1 C 1 C关于点 A 2 1 的对称的图象为 2 C 2 C对 应的函数为 xg 1 求函数 xgy 的解析式 2 若直线by 与 2 C只有一个交点 求b的值并求出交点的坐标 9 设定义在 0 上的函数 xf满足下面三个条件 对于任意正实数a b 都有 1f a bf af b 2 0f 当1 x时 总有 1f x 1 求 2 1 1 ff及的值 2 求证 0 在xf上是减函数 10 已知函数 xf是定义在 2 2 上的奇函数 当 0 2 x时 3 2 1 xtxxf t为常数 1 求函数 xf的解析式 2 当 6 2 t时 求 xf在 0 2 上的最小值 及取得最小值时的x 并猜想 xf在 2 0上的单调递增区间 不必证明 3 当9 t时 证明 函数 xfy 的图象上至少有一个点落在直线14 y上 11 记函数 2 7 2 x x xf的定义域为A Rabaxbxxg 012lg的定义域 为B 1 求A 2 若BA 求a b的取值范围 12 设 1 0 1 1 aa a a xf x x 1 求 xf的反函数 xf 1 2 讨论 xf 1 在 1 上的单调性 并加以证明 3 令 xxg a log1 当 nmnm 1 时 xf 1 在 nm 上的值域是 mgng 求a 的取值范围 13 集合 A 是由具备下列性质的函数 xf组成的 1 函数 xf的定义域是 0 2 函数 xf的值域是 2 4 3 函数 xf在 0 上是增函数 试分别探究下列两小题 判断函数 1 2 0 f xxx 及 2 1 46 0 2 x fxx 是否属于集合 A 并简要说明 理由 对于 I 中你认为属于集合 A 的函数 xf 不等式 1 2 2 xfxfxf 是否对 于任意的0 x总成立 若不成立 为什么 若成立 请证明你的结论 14 设函数 f x ax 2 bx 1 a b 为实数 F x 0 0 xxf xxf 1 若 f 1 0 且对任意实数 x 均有 f x 0 成立 求 F x 表达式 2 在 1 的条件下 当 x 2 2 时 g x f x kx 是单调函数 求实数 k 的取值范围 3 理 设 m 0 n0 a 0 且 f x 为偶函数 求证 F m F n 0 15 函数 f x bax x a b 是非零实常数 满足 f 2 1 且方程 f x x 有且仅有一个解 1 求 a b 的值 2 是否存在实常数 m 使得对定义域中任意的 x f x f m x 4 恒成立 为什么 3 在直角坐标系中 求定点 A 3 1 到此函数图象上任意一点 P 的距离 AP 的最小值 函数大题专练答案函数大题专练答案 已知关于x的不等式 2 4 4 0kxkx 其中kR 试求不等式的解集A 对于不等式的解集A 若满足AZB 其中Z为整数集 试探究集合B能否为有限集 若能 求出使得集合B中元素个数最少的k的所有取值 并用列举法表示集合B 若不能 请说明理由 解 1 当0k 时 4 A 当0k 且2k 时 4 4 Ak k 当2k 时 4 4 A 不单独分析2k 时的情况不扣分 当0k 时 4 4 Ak k 2 由 1 知 当0k 时 集合B中的元素的个数无限 当0k 时 集合B中的元素的个数有限 此时集合B为有限集 因为 4 4k k 当且仅当2k 时取等号 所以当2k 时 集合B的元素个数最少 此时 4 4A 故集合 3 2 1 0 1 2 3B 对定义在 0 1 上 并且同时满足以下两个条件的函数 f x称为G函数 对任意的 0 1 x 总有 0f x 当 1212 0 0 1xxxx 时 总有 1212 f xxf xf x 成立 已知函数 2 g xx 与 21 x h xa 是定义在 0 1 上的函数 1 试问函数 g x是否为G函数 并说明理由 2 若函数 h x是G函数 求实数a的值 3 在 2 的条件下 讨论方程 21 x gh xm mR 解的个数情况 解 1 当 0 1x 时 总有 2 g xx0 满足 当 1212 0 0 1xxxx 时 2222 1212121212 g xxxx2x xxxg xg x 满足 2 若a1 时 h 0a10 不满足 所以不是G函数 若a1 时 h x 在x0 1 上是增函数 则h x0 满足 由 1212 h xxh xh x 得 1212 xxxx a 21a 21 a 21 即 12 xx a 121 211 因为 1212 0 0 1xxxx 所以 1 x 021 1 2 x 021 1 1 x与 2 x不同时等于 1 11 xx 021 211 11 xx 1 a 121 21 当 12 xx0 时 11 xx 1 1 121 21 min a1 综合上述 a1 3 根据 知 a 1 方程为 xx 42m 由 x 021 1 0 x1 得 x0 1 令 x 2t1 2 则 22 11 mttt 24 由图形可知 当m0 2 时 有一解 当m02 时 方程无解 已知函数 2 1 2 x x xf 1 若2 xf 求x的值 2 若0 2 2 tmftf t 对于 2 3 t 恒成立 求实数m的取值范围 解 1 当0 x时 0 xf 当0 x时 x x xf 2 1 2 由条件可知 2 2 1 2 x x 即 012222 xx 解得 212 x 02 x 21log2 x 2 当 2 1 t时 0 2 1 2 2 1 22 2 2 t t t tt m 即 1212 42 tt m 0122 t 122 t m 2 2 3 12 65 17 t t 故m的取值范围是 17 设函数 xf是定义在R上的偶函数 若当0 x 时 1 1 0 f xx 0 0 x x 1 求 xf在 0 上的解析式 2 请你作出函数 xf的大致图像 3 当0ab 时 若 f af b 求ab的取值范围 4 若关于x的方程0 2 cxbfxf有 7 个不同实数解 求 b c满足的条件 解 1 当 0 x 时 11 11f xfx xx 2 xf的大致图像如下 4 3 2 1 1 4 2246 3 因为0ab 所以 f af b 22 111111 11112 ababab 22ababab 解得ab的取值范围是 1 4 由 2 对于方程 f xa 当 0a 时 方程有 3 个根 当0 1a 时 方程有 4 个根 当 1a 时 方程有 2 个根 当 0a 时 方程无解 15 分 所以 要使关于x的方程 0 2 cxbfxf 有 7 个不同实数解 关于 xf 的方程 0 2 cxbfxf 有一个在区间 0 1 的正实数根和一个等于零的根 所以 0 0 1 cf xb 即 10 0bc 已知函数 0 b f xax x 1 若函数 f x是 0 上的增函数 求实数b的取值范围 2 当2b 时 若不等式 f xx 在区间 1 上恒成立 求实数a的取值范围 3 对于函数 g x若存在区间 m n mn 使 xm n 时 函数 g x的值域也是 m n 则称 g x是 m n上的闭函数 若函数 f x是某区间上的闭函数 试探求 a b应满足的 条件 解 1 当 0 x 时 b f xa x 设 12 0 x x 且 12 xx 由 f x是 0 上的增函数 则 12 f xf x 12 12 12 0 b xx f xf x x x 由 12 xx 12 0 x x 知 1212 0 0 xxx x 所以0b 即 0 b 2 当2b 时 2 f xax x 在 1 x 上恒成立 即 2 ax x 因为 2 2 2x x 当 2 x x 即2x 时取等号 2 1 所以 2 x x 在 1 x 上的最小值为2 2 则2 2a 3 因为 b f xa x 的定义域是 0 0 设 f x是区间 m n上的闭函数 则 0mn 且0b 4 若0mn 当0b 时 b f xa x 是 0 上的增函数 则 f mm f nn 所以方程 b ax x 在 0 上有两不等实根 即 2 0 xaxb 在 0 上有两不等实根 所以 2 12 12 40 0 0 ab xxa xxb 即0 0ab 且 2 40ab 当0b 时 bb f xaa xx 在 0 上递减 则 f mn f nm 即 0 b an a m bmnb am n 所以0 0ab 若0mn 当0b 时 bb f xaa xx 是 0 上的减函数 所以 f mn f nm 即 0 b an a m bmnb am n 所以0 0ab 设bxaxxf 2 求满足下列条件的实数a的值 至少有一个正实数b 使函数 xf的定义域和值域相同 解 1 若0 a 则对于每个正数b bxxf 的定义域和值域都是 0 故0 a满足条件 2 若0 a 则对于正数b bxaxxf 2 的定义域为D 0 a b 但 xf的值域 0A 故AD 即0 a不合条件 3 若0 a 则对正数b 定义域 0 a b D a b xf 2 max xf的值域为 2 0 a b a b a b 2 4 2 0 a aa a 综上所述 a的值为 0 或4 对于函数 xf 若存在Rx 0 使 00 xxf 成立 则称点 00 x x为函数的不动点 1 已知函数 0 2 abbxaxxf有不动点 1 1 和 3 3 求a与b的值 2 若对于任意实数b 函数 0 2 abbxaxxf总有两个相异的不动点 求a的取值 范围 3 若定义在实数集 R 上的奇函数 xg存在 有限的 n 个不动点 求证 n必为奇数 解 1 由不动点的定义 0 xxf 0 1 2 bxbax 代入1 x知1 a 又由3 x及1 a知3 b 1 a 3 b 2 对任意实数b 0 2 abbxaxxf总有两个相异的不动点 即是对任意的实数b 方程0 xxf总有两个相异的实数根 0 1 2 bxbax中04 1 2 abb 即01 24 2 bab恒成立 故04 24 2 1 a 10 a 故当10 a时 对任意的实数b 方程 xf总有两个相异的不动点 1 3 xg是 R 上的奇函数 则0 0 g 0 0 是函数 xg的不动点 若 xg有异于 0 0 的不动点 00 xx 则 00 xxg 又 000 xxgxg 00 xx 是函数 xg的不动点 xg的有限个不动点除原点外 都是成对出现的 所以有k2个 kN 加上原点 共有12 kn个 即n必为奇数 设函数 0 1 x x xxf 的图象为 1 C 1 C关于点 A 2 1 的对称的图象为 2 C 2 C对应的函数为 xg 1 求函数 xgy 的解析式 2 若直线by 与 2 C只有一个交点 求b的值并求出交点的坐标 解 1 设 vup是 x xy 1 上任意一点 u uv 1 设 P 关于 A 2 1 对称的点为 yv xu yv xu yxQ 2 4 2 4 代入 得 4 1 2 4 1 42 x xy x xy 4 4 4 1 2 x x xxg 2 联立 094 6 4 1 2 2 bxbx x xy by 004 94 4 6 22 bbbbb或 4 b 1 当0 b时得交点 3 0 2 当4 b时得交点 5 4 9 设定义在 0 上的函数 xf满足下面三个条件 对于任意正实数a b 都有 1f a bf af b 2 0f 当1 x时 总有 1f x 1 求 2 1 1 ff及的值 2 求证 0 在xf上是减函数 解 1 取 a b 1 则 1 2 1 1 1 1fff 故 又 11 1 2 2 1 22 ffff 且 2 0f 得 1 1 2 11 12 2 fff 2 设 0 21 xx 则 22 21111 11 1 xx f xf xfxf xff x xx 1 f x 2 1 1 x f x 依1 0 1 2 21 x x xx可得 再依据当1 x时 总有 1f x 成立 可得 2 1 1 x f x 即0 12 xfxf成立 故 0 在xf上是减函数 10 已知函数 xf是定义在 2 2 上的奇函数 当 0 2 x时 3 2 1 xtxxf t为常数 1 求函数 xf的解析式 2 当 6 2 t时 求 xf在 0 2 上的最小值 及取得最小值时的x 并猜想 xf在 2 0上的单调递增区间 不必证明 3 当9 t时 证明 函数 xfy 的图象上至少有一个点落在直线14 y上 解 1 2 0 x时 0 2 x 则 33 2 1 2 1 xtxxxtxf 函数 xf是定义在 2 2 上的奇函数 即 xfxf 3 2 1 xtxxf 即 3 2 1 xtxxf 又可知 00 f 函数 xf的解析式为 3 2 1 xtxxf 2 2 x 2 2 2 1 xtxxf 6 2 t 0 2 x 0 2 1 2 xt 27 8 3 2 1 2 1 2 1 3 3 222 2 22 2 t xtxtx xtxxf 22 2 1 xtx 即 3 6 3 2 2 t x t x 0 2 3 6 t 时 ttf 9 62 min 猜想 xf在 2 0上的单调递增区间为 3 6 0 t 3 9 t时 任取22 21 xx 0 2 1 2 221 2 12121 xxxxtxxxfxf xf在 2 2 上单调递增 即 2 2ffxf 即 42 24 ttxf 9 t 1442 1424 tt 42 2414 tt 当9 t时 函数 xfy 的图象上至少有一个点落在直线14 y上 11 记函数 2 7 2 x x xf的定义域为A Rabaxbxxg 012lg的定义域 为B 1 求A 2 若BA 求a b的取值范围 解 1 32 0 2 3 0 2 7 2 x x x x x xA 2 012 axbx 由BA 得0 a 则 a orx b x 1 2 即 2 1 b a B 0 1 2 3 2 0 a b 60 2 1 b a 12 设 1 0 1 1 aa a a xf x x 1 求 xf的反函数 xf 1 2 讨论 xf 1 在 1 上的单调性 并加以证明 3 令 xxg a log1 当 nmnm 1 时 xf 1 在 nm 上的值域是 mgng 求a 的取值范围 解 1 11 1 1 log 1 xx x x xf a 或 2 设 21 1xx 0 11 2 1 1 1 1 21 21 2 2 1 1 xx xx x x x x 10 a时 2 1 1 1 xfxf xf 1 在 1 上是减函数 1 a时 2 1 1 1 xfxf xf 1 在 1 上是增函数 3 当10 a时 xf 1 在 1 上是减函数 ngnf mgmf 1 1 由x x x aa log1 1 1 log 得ax x x 1 1 即 011 2 xaax 可知 方程的两个根均大于1 即 1 2 1 01 0 a a f2230 a 当1 a时 xf 1 在 1 上是 增函数 mgnf ngmf 1 1 amamnn anamnm 1 1 1 a 舍去 综上 得 2230 a 13 集合 A 是由具备下列性质的函数 xf组成的 1 函数 xf的定义域是 0 2 函数 xf的值域是 2 4 3 函数 xf在 0 上是增函数 试分别探究下列两小题 判断函数 1 2 0 f xxx 及 2 1 46 0 2 x fxx 是否属于集合 A 并简要说明 理由 对于 I 中你认为属于集合 A 的函数 xf 不等式 1 2 2 xfxfxf 是否对 于任意的0 x总成立 若不成立 为什么 若成立 请证明你的结论 解 1 函数2 1 xxf不属于集合 A 因为 1 f x的值域是 2 所以函数 2 1 xxf不属于集合 A 或 1 490 49 54xf 当时 不满足条件 x xf 2 1 64 2 0 x 在集合 A 中 因为 函数 2 fx的定义域是 0 函数 2 fx的值域是 2 4 函数 2 fx在 0 上是增函数 2 0 4 1 2 1 6 1 2 2 x xfxfxf 1 2 2 xfxfxf不等式对于任意的0 x总成立 14 设函数 f x ax 2 bx 1 a b 为实数 F x 0 0 xxf xxf 1 若 f 1 0 且对任意实数 x 均有 f x 0 成立 求 F x 表达式 2 在 1 的条件下 当 x 2 2 时 g x f x kx 是单调函数 求实数 k 的取值范围 3 理 设 m 0 n0 a 0 且 f x 为偶函数 求证 F m F n 0 解 1 f 1 0 1 ab由 f x 0 恒成立 知 b 2 4a a 1 2 4a a 1 2 0 a 1 从而 f x x 2 2x 1 F x 0 1 0 1 2 xx xx 2 由 1 可知 f x x 2 2x 1 g x f x kx x 2 2 k x 1 由于 g x 在 2 2 上是单调函 数 知 2 2 2 k 或 2 2 2 k 得 k 2 或 k 6 3 f x 是偶函数 f x f x 而 a 0 xf在 0上为增函数 对于 F x 当 x 0 时 x 0 F x f x f x F x 当 x0 F x f x f x F x F x 是奇函数且 F x 在 0上为增函数 m 0 n n 0 知 F