专题二：排列组合与概率统计

专题二 排列组合与概率统计 一 高考考试内容及要求 1 排列 组合 二项式定理 排列 组合 二项式定理 考试内容 考试内容 分类计数原理与分步计数原理 排列 排列数公式 组合 组合数公式 组合数的两个性 质 二项式定理 二项展开式的性质 考试要求 考试要求 1 掌握分类计数原理与分步计数原理 并能用它们分析和解决一些简单的应用问题 2 理解排列的意义 掌握排列数计算公式 并能用它解决一些简单的应用问题 3 理解组合的意义 掌握组合数计算公式和组合数的性质 并能用它们解决一些简单的应用问题 4 掌握二项式定理和二项展开式的性质 并能用它们计算和证明一些简单的问题 2 概率 概率 考试内容 考试内容 随机事件的概率 等可能性事件的概率 互斥事件有一个发生的概率 相互独立事件同时发生 的概率 独立重复试验 考试要求 考试要求 1 了解随机事件的发生存在着规律性和随机事件概率的意义 2 了解等可能性事件的概念的意义 会用排列组合的基本公式计算一些等可能性事件的概率 3 了解互斥事件 相互独立事件的意义 会用互斥事件的概率加法公式与相互独立事件的概率乘法公式 计算一些事件的概率 4 会计算事件在 n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率 3 概率与统计 概率与统计 考试内容 考试内容 离散型随机变量的分布列 离散型随机变量的期望值和方差 抽样方法 总体分布的估计 正 态分布 线性回归 考试要求 考试要求 1 了解离散型随机变量的意义 会求出某些简单的离散型随机变量的分布列 2 了解离散型随机变量的期望值 方差的意义 会根据离散型随机变量的分布列求出期望值 方差 3 会用随机抽样 系统抽样 分层抽样等常用的抽样方法从总体中抽取样本 4 会用样本频率分布去估计总体分布 5 了解正态分布的意义及主要性质 6 了解线性回归的方法和简单应用 二 走进高考 06 年 在 x4 10的展开式中常数项是 45 用数字作答 1 x 06 年 设集合 选择 I 的两个非空子集 A 和 B 要使 B 中最小的数大于 A 中最大的数 1 2 3 4 5I 则不同的选择方法共有 A B C D 50种49种48种47种 06 年 安排 7 位工作人员在 5 月 1 日到 5 月 7 日值班 每人值班一天 其中甲 乙二人都不能安排在 5 月 1 日和 2 日 不同的安排方法共有 2400 种 用数字作答 06 年 一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了 10 000 人 并根据所得数据画了样本的频率分布直 方图 如下图 为了分析居民的收入与年龄 学历 职业等方面的关系 要从这 10 000 人中再用分层抽 样方法抽出 100 人作进一步调查 则在 2500 3000 元 月收入段应抽出 人 0 0001 0 0002 0 0003 0 0004 0 0005 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 月收入 元 频率 组距 07 年 的展开式中 常数项为 15 则 n 2 1 nx x A 3 B 4 C 5 D 6 解 的展开式中 常数项为 15 则 所以 n 可以被 3 整除 当 n 3 时 2 1 nx x 2 2 333 1 15 nnn n Cx x 当 n 6 时 选 D 1 3 315C 2 6 15C 07 年 甲 乙 丙 3 位同学选修课程 从 4 门课程中 甲选修 2 门 乙 丙各选修 3 门 则不同的选修 方案共有 A 36 种 B 48 种 C 96 种 D 192 种 解 甲 乙 丙 3 位同学选修课程 从 4 门课程中 甲选修 2 门 乙 丙各选修 3 门 则不同的选修方案共有 种 选 C 233 444 96CCC 07 年 从 5 位同学中选派 4 位同学在星期五 星期六 星期日参加公益活动 每人一天 要求星期五有 2 人参加 星期六 星期日各有 1 人参加 则不同的选派方法共有 A 40 种 B 60 种 C 100 种 D 120 种 解 从 5 位同学中选派 4 位同学在星期五 星期六 星期日参加公益活动 每人一天 要求星期五有 2 人参加 星期六 星期日各有 1 人参加 则不同的选派方法共有种 选 B 22 53 60C A 07 年 5 位同学报名参加两个课外活动小组 每位同学限报其中的一个小组 则不同的报名方法共有 A 10 种B 20 种C 25 种D 32 种 解 5 位同学报名参加两个课外活动小组 每位同学限报其中的一个小组 则不同的报名方法共有 25 32 种 选 D 07 年 1 2x2 x 8的展开式中常数项为 用数字作答 1 x 解 1 2x2 x 8的展开式中常数项为 42 1 x 433 88 12 1 CC 10 07 年 的展开式中常数项为 用数字作答 8 2 1 12 1x x 解 的展开式中常数项为 8 2 1 12 1x x 2 8 1257C 11 07 年 从班委会 5 名成员中选出 3 名 分别担任班级学习委员 文娱委员与体育委员 其中甲 乙二人 不能担任文娱委员 则不同的选法共有 种 用数字作答 解 从班委会 5 名成员中选出 3 名 分别担任班级学习委员 文娱委员与体育委员 其中甲 乙二人不能担任 文娱委员 先从其余 3 人中选出 1 人担任文娱委员 再从 4 人中选 2 人担任学习委员和体育委员 不同的选法 共有种 12 34 3 4 336CA 12 07 年 从自动打包机包装的食盐中 随机抽取 20 袋 测得各袋的质量分别为 单位 g 492 496 494 495 498 497 501 502 504 496 497 503 506 508 507 492 496 500 501 499 根据频率分布估计总体分布的原理 该自动包装机包装的袋装食盐质量在 497 5g 501 5g 之间的概率约为 解 自动包装机包装的袋装食盐质量在 497 5g 501 5g 之间的概率约为 P 0 25 5 20 13 07 年 在某项测量中 测量结果 服从正态分布 N 1 2 0 若 在 0 1 内取值的概率为 0 4 则 在 0 2 内取值的概率为 解 在某项测量中 测量结果 服从正态分布 N 1 2 0 正态分布图象的对称轴为 x 1 在 0 1 内取值的概率为 0 4 可知 随机变量 在 1 2 内取值的概率于 在 0 1 内取值的概率相同 也为 0 4 这样随机变量 在 0 2 内取值的概率为 0 8 14 07 年 一个总体含有 100 个个体 以简单随机抽样方式从该总体中抽取一个容量为 5 的样本 则指定的 某个个体被抽到的概率为 解 一个总体含有 100 个个体 以简单随机抽样方式从该总体中抽取一个容量为 5 的样本 则指定的某个个体 被抽到的概率为 1 20 15 08 年 如图 一环形花坛分成四块 现有 4 种不同的花供选种 要求在每块里种 1 种花 ABCD 且相邻的 2 块种不同的花 则不同的种法总数为 A 96B 84C 60D 48 16 08 年 的展开式中的系数为 5 1 2 x 2 x A 10B 5C D 1 5 2 17 08 年 的展开式中的系数是 64 1 1 xx x A B C 3 D 4 4 3 18 的展开式中的系数是 44 1 1 xx x A B C 3 D 4 4 3 19 08 年 将 1 2 3 填入的方格中 要求每行 每列都没有重复数字 下面是一种填法 则不同的填3 3 写方法共有 A 6 种B 12 种C 24 种D 48 种 D B C A 123 312 231 20 08 年 从 20 名男同学 10 名女同学中任选 3 名参加体能测试 则选到的 3 名同学中既有男同学又有女同 学的概率为 A B C D 9 29 10 29 19 29 20 29 21 08 年 从 10 名男同学 6 名女同学中选 3 名参加体能测试 则选到的 3 名同学中既有男同学又有女同学 的不同选法共有 种 用数字作答 22 22 0909 年 年 甲组有 5 名男同学 3 名女同学 乙组有 6 名男同学 2 名女同学 若从甲 乙两组中各选出 2 名 同学 则选出的 4 人中恰有 1 名女同学的不同选法共有 A 150 种 B 180 种 C 300 种 D 345 种 解 分两类 1 甲组中选出一名女生有 112 536 225CCC 种选法 2 乙组中选出一名女生有 211 562 120CCC 种选法 故共有 345 种选法 选 D 23 23 0909 年 年 甲 乙两人从 4 门课程中各选修 2 门 则甲 乙所选的课程中至少有 1 门不相同的选法共有 A 6 种 B 12 种 C 30 种 D 36 种 解解 用间接法即可 222 444 30CCC 种 故选故选 C 24 24 0909 年 年 甲 乙两人从 4 门课程中各选修 2 门 则甲 乙所选的课程中恰有 1 门相同的选法有 A 6 种 B 12 种 C 24 种 D 30 种 解析 解析 本题考查分类与分步原理及组合公式的运用 可先求出所有两人各选修 2 门的种数 2 4 2 4 CC 36 再求 出两人所选两门都相同和都不同的种数均为 2 4 C 6 故只恰好有 1 门相同的选法有 24 种 25 25 0909 年 年 10 xy 的展开式中 73 x y的系数与 37 x y的系数之和等于 解 373 101010 2240CCC 26 26 0909 年 年 4 xyy x 的展开式中 33 x y的系数为 6 解解 4 224 xyy xx yxy 只需求 4 xy 展开式中的含xy项的系数 2 4 6C 27 06 年 本小题满分 12 分 A B 是治疗同一种疾病的两种药 用若干试验组进行对比试验 每个试验组由 4 只小白鼠组成 其中 2 只 服用 A 另 2 只服用 B 然后观察疗效 若在一个试验组中 服用 A 有效的小白鼠的只数比服用 B 有效的多 就 称该试验组为甲类组 设每只小白鼠服用 A 有效的概率为 服用 B 有效的概率为 2 3 1 2 求一个试验组为甲类组的概率 文 观察 3 个试验组 求这 3 个试验组中至少有一个甲类组的概率 理 观察 3 个试验组 用表示这 3 个试验组中甲类组的个数 求的分布列和数学期望 解 1 设 Ai表示事件 一个试验组中 服用 A 有效的小鼠有 i 只 i 0 1 2 Bi表示事件 一个试验组中 服用 B 有效的小鼠有 i 只 i 0 1 2 依题意有 P A1 2 P A2 P B0 1 3 2 3 4 9 2 3 2 3 4 9 1 2 1 2 1 4 P B1 2 所求概率为 P P B0 A1 P B0 A2 P B1 A2 1 2 1 2 1 2 1 4 4 9 1 4 4 9 1 2 4 9 4 9 文 所求概率为 P 1 1 3 4 9 604 729 理 的可能值为 0 1 2 3 且 B 3 P 0 3 P 1 C31 2 4 9 5 9 125 729 4 9 5 9 100 243 P 2 C32 2 P 3 3 4 9 5 9 80 243 4 9 64 729 的分布列为 数学期望 E 3 4 9 4 3 0123 P 125 729 100 243 80 243 64 729 28 06 年 本小题满分 12 分 某批产品成箱包装 每箱 5 件 一用户在购进该批产品前先取出 3 箱 再从每箱中任意抽取 2 件产品进行 检验 设取出的第一 二 三箱中分别有 0 件 1 件 2 件二等品 其余为一等品 用 表示抽检的 6 件产品中二等品的件数 求 的分布列及 的数学期望 若抽检的 6 件产品中有 2 件或 2 件以上二等品 用户就拒绝购买这批产品 求这批产品级用户拒绝 的概率 解 可能的取值为 0 1 2 3 P 0 C C C C 18 100 9 50 P 1 C C C C C C C C C 12 25 P 2 C C C C C C C C C 15 50 P 3 8 分 C C C C 1 25 的分布列为 0123 P 9 50 12 25 15 50 1 25 数学期望为 E 1 2 所求的概率为 p P 2 P 2 P 3 12 分 15 50 1 25 17 50 29 06 年 本小题满分 分 某批产品成箱包装 每箱 5 件 一用户在购进该批产品前先取出 3 箱 再从每箱中任意出取 2 件产品进行检验 设取出的第一 二 三箱中分别有 0 件 1 件 2 件二等品 其余为一等品 I 求取 6 件产品中有 1 件产品是二等品的概率 II 若抽检的 6 件产品中有 2 件或 2 件以上二等品 用户就拒绝购买这批产品 求这批产品被用户拒绝的概 率 解 设表示事件 第二箱中取出 i 件二等品 i 0 1 i A 表示事件 第三箱中取出 i 件二等品 i 0 1 2 i B 1 依题意所求的概率为 1001 i PP A BP AB 1001 P A P BP A P B 21112 33244 2222 5555 CCCCC CCCC 12 25 2 解法一 所求的概率为 2001 1 PP ABP 22 34 22 55 127 1 2550 CC CC 解法二 所求的概率为 110212 2 PP A BP ABP A B 110212 P A P BP A P BP A P B 1112212 3244242 222222 555555 17 50 CCCCCCC CCCCCC 30 07 年 本小题满分 12 分 从某批产品中 有放回地抽取产品二次 每次随机抽取 1 件 假设事件 A 取出的 2 件产品中至多有 1 件是二等品 的概率 0 96P A 1 求从该批产品中任取 1 件是二等品的概率 p 2 若该批产品共 100 件 从中任意抽取 2 件 表示取出的 2 件产品中二等品的件数 求的分布列 解 1 记表示事件 取出的 2 件产品中无二等品 0 A 表示事件 取出的 2 件产品中恰有 1 件二等品 1 A 则互斥 且 故 01 AA 01 AAA 01 P AP AA 01 21 2 2 1 C 1 1 P AP A ppp p 于是 2 0 961p 解得 舍去 12 0 20 2pp 2 的可能取值为 012 若该批产品共 100 件 由 1 知其二等品有件 故100 0 220 2 80 2 100 C316 0 C495 P 11 8020 2 100 C C160 1 C495 P 2 20 2 100 C19 2 C495 P 所以的分布列为 012 P 316 495 160 495 19 495 31 07 年 本小题满分 12 分 从某批产品中 有放回地抽取产品二次 每次随机抽取 1 件 假设事件 A 取出的 2 件产品中至多有 1 件是二等品 的概率 0 96P A 1 求从该批产品中任取 1 件是二等品的概率 p 2 若该批产品共 100 件 从中任意抽取 2 件 求事件 取出的 2 件产品中至少有一件二等品 的概率B P B 解 1 记表示事件 取出的 2 件产品中无二等品 0 A 表示事件 取出的 2 件产品中恰有 1 件二等品 1 A 则互斥 且 故 01 AA 01 AAA 01 P AP AA 01 21 2 2 1 C 1 1 P AP A ppp p 于是 2 0 961p 解得 舍去 12 0 20 2pp 2 记表示事件 取出的 2 件产品中无二等品 0 B 则 0 BB 若该批产品共 100 件 由 1 知其中二等品有件 故 100 0 220 2 80 0 2 100 C316 C495 P B 00 316179 1 1 495495 P BP BP B 32 07 年 本小题满分 12 分 某商场经销某商品 顾客可采用一次性付款或分期付款购买 根据以往资料 统计 顾客采用一次性付款的概率是 0 6 经销一件该商品 若顾客采用一次性付款 商场获得利润 200 元 若 顾客采用分期付款 商场获得利润 250 元 求 3 位购买该商品的顾客中至少有 1 位采用一次性付款的概率 求 3 位顾客每人购买 1 件该商品 商场获得利润不超过 650 元的概率 解 记表示事件 位顾客中至少 位采用一次性付款 则表示事件 位顾客中无人采用A31A3 一次性付款 2 1 0 6 0 064P A 1 1 0 0640 936P AP A 记表示事件 位顾客每人购买 件该商品 商场获得利润不超过元 B31650 表示事件 购买该商品的位顾客中无人采用分期付款 0 B3 表示事件 购买该商品的位顾客中恰有 位采用分期付款 1 B31 则 01 BBB 3 0 0 60 216P B 12 13 0 60 40 432P BC 01 P BP BB 01 P BP B 0 2160 432 0 648 33 07 年 本小题满分 12 分 某商场经销某商品 根据以往资料统计 顾客采用的付款期数的分布列为 12345 P 0 40 20 20 10 1 商场经销一件该商品 采用 1 期付款 其利润为 200 元 分 2 期或 3 期付款 其利润为 250 元 分 4 期或 5 期 付款 其利润为 300 元 表示经销一件该商品的利润 求事件 购买该商品的 3 位顾客中 至少有 1 位采用 1 期付款 的概率 A P A 求的分布列及期望 E 解 由表示事件 购买该商品的 3 位顾客中至少有 1 位采用 1 期付款 A 知表示事件 购买该商品的 3 位顾客中无人采用 1 期付款 A 2 1 0 4 0 216P A 1 1 0 2160 784P AP A 的可能取值为元 元 元 200250300 200 1 0 4PP 250 2 3 0 20 20 4PPP 300 1 200 250 1 0 40 40 2PPP 的分布列为 200250300 P0 40 40 2 200 0 4250 0 4300 0 2E 元 240 34 08 年 本小题满分 12 分 注意 在试题卷上作答无效 注意 在试题卷上作答无效 已知 5 只动物中有 1 只患有某种疾病 需要通过化验血液来确定患病的动物 血液化验结果呈阳性的即为患病 动物 呈阴性即没患病 下面是两种化验方法 方案甲 逐个化验 直到能确定患病动物为止 方案乙 先任取 3 只 将它们的血液混在一起化验 若结果呈阳性则表明患病动物为这 3 只中的 1 只 然后再 逐个化验 直到能确定患病动物为止 若结果呈阴性则在另外 2 只中任取 1 只化验 求依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率 理 表示依方案乙所需化验次数 求的期望 35 解 解 设 分别表示依方案甲需化验 1 次 2 次 1 A 2 A 表示依方案乙需化验 2 次 3 次 1 B 2 B 表示依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数 A 依题意知与独立 且 2 A 2 B 12 AAA B 121 442 122 1231 5553 1112 555 AC C P AP AP B CAC C A A 122122 1127 55525 P AP AA BP AP AP B A 8 1 0 72 25 P AP A 的可能取值为 2 3 32 44 12 331 553 32 55 CC P BP B CC C A 12 32 2 3 55 PP BPP B 次 3212 232 4 555 E 36 08 年 本小题满分 12 分 购买某种保险 每个投保人每年度向保险公司交纳保费元 若投保人在购买保险的一年度内出险 则可以获a 得 10 000 元的赔偿金 假定在一年度内有 10 000 人购买了这种保险 且各投保人是否出险相互独立 已知保险 公司在一年度内至少支付赔偿金 10 000 元的概率为 4 10 1 0 999 求一投保人在一年度内出险的概率 p 设保险公司开办该项险种业务除赔偿金外的成本为 50 000 元 为保证盈利的期望不小于 0 求每位投保 人应交纳的最低保费 单位 元 解 各投保人是否出险互相独立 且出险的概率都是 记投保的 10 000 人中出险的人数为 p 则 4 10 Bp 记表示事件 保险公司为该险种至少支付 10 000 元赔偿金 则发生当且仅当 2 分AA0 1 P AP A 1 0 P 4 10 1 1 p 又 4 10 1 0 999P A 故 5 分0 001p 该险种总收入为元 支出是赔偿金总额与成本的和 10 000a 支出 10 00050 000 盈利 10 000 10 00050 000 a 盈利的期望为 9 分10 00010 00050 000EaE 由知 43 10 10 B 3 10 000 10E 444 10105 10EaE 44434 101010105 10a 0E 444 1010105 100a 1050a 元 15a 故每位投保人应交纳的最低保费为 15 元 12 分 37 08 年 本小题满分 12 分 甲 乙两人进行射击比赛 在一轮比赛中 甲 乙各射击一发子弹 根据以往资料知 甲击中 8 环 9 环 10 环的概率分别为 0 6 0 3 0 1 乙击中 8 环 9 环 10 环的概率分别为 0 4 0 4 0 2 设甲 乙的射击相互独立 求在一轮比赛中甲击中的环数多于乙击中环数的概率 求在独立的三轮比赛中 至少有两轮甲击中的环数多于乙击中环数的概率 解 记分别表示甲击中 9 环 10 环 12 AA 分别表示乙击中 8 环 9 环 12 BB 表示在一轮比赛中甲击中的环数多于乙击中的环数 A 表示在三轮比赛中至少有两轮甲击中的环数多于乙击中的环数 B 分别表示三轮中恰有两轮 三轮甲击中环数多于乙击中的环数 12 CC 2 分 112122 AA BA BA B AAA 112122 P AP A BA BA B AAA 112122 P A BP A BP A B AAA 112122 P AP BP AP BP AP B AAA 6 分0 3 0 40 1 0 40 1 0 40 2 8 分 12 BCC 222 13 1 3 0 2 1 0 2 0 096P CCP AP A 33 2 0 20 008P CP A 12 分 1212 0 0960 0080 104P BP CCP CP C 38 38 0909 年 年 甲 乙二人进行一次围棋比赛 约定先胜 3 局者获得这次比赛的胜利 比赛结束 假设在一局中 甲获胜的概率为 0 6 乙获胜的概率为 0 4 各局比赛结果相互独立 已知前 2 局中 甲 乙各胜 1 局 求再赛 2 局结束这次比赛的概率 求甲获得这次比赛胜利的概率 解析 本小题考查互斥事件有一个发生的概率 相互独立事件同时发生的概率 综合题 解 记 第i局甲获胜 为事件 5 4 3 iAi 第j局甲获胜 为事件 5 4 3 jBi 设 再赛 2 局结束这次比赛 为事件 A 则 4343 BBAAA 由于各局比赛结果相互独立 故 434343434343 BPBPAPAPBBPAAPBBAAPAP 52 0 4 04 06 06 0 记 甲获得这次比赛胜利 为事件 B 因前两局中 甲 乙各胜 1 局 故甲获得这次比赛胜利当且 仅当在后面的比赛中 甲先胜 2 局 从而 54354343 ABAAABAAB 由于各局比赛结果相互独立 故 54354343 ABAAABAAPBP 648 0 6 04 06 06 06 04 06 06 0 54354343 54354343 APBPAPAPAPBPAPAP ABAPAABPAAP 39 39 0909 年 年 某车间甲组有 10 名工人 其中有 4 名女工人 乙组有 10 名工人 其中有 6 名女工人 现采用分 层抽样 层内采用不放回简单随即抽样 从甲 乙两组中共抽取 4 名工人进行技术考核 求从甲 乙两组各抽取的人数 求从甲组抽取的工人中恰有 1 名女工人的概率 求抽取的 4 名工人中恰有 2 名男工人的概率 解析 本题考查概率统计知识 要求有正确理解分层抽样的方法及利用分类原理处理事件概率的能力 第一问解析 本题考查概率统计知识 要求有正确理解分层抽样的方法及利用分类原理处理事件概率的能力 第一问 直接利用分层统计原理即可得人数 第二问注意要用组合公式得出概率 第三问关键是理解清楚题意以及恰有直接利用分层统计原理即可得人数 第二问注意要用组合公式得出概率 第三问关键是理解清楚题意以及恰有 2 名男工人的具体含义 从而正确分类求概率 名男工人的具体含义 从而正确分类求概率 解 I 由于甲 乙两组各有 10 名工人 根据分层抽样原理 要从甲 乙两组中共抽取 4 名工人进行技术考 核 则从每组各抽取 2 名工人 II 记A表示事件 从甲组抽取的工人中恰有 1 名女工人 则 15 8 2 10 1 6 1 4 C CC AP III i A表示事件 从甲组抽取的 2 名工人中恰有i名男工人 210 i j B表示事件 从乙组抽取的 2 名工人中恰有j名男工人 210j B表示事件 抽取的 4 名工人中恰有 2 名男工人 i A与 j B独立 210 ji 且 021120 BABABAB 故 021120 BABABAPBP 021120 BPAPBPAPBPAP 2 10 2 6 2 10 2 6 2 8 1 4 1 6 2 10 1 6 1 4 2 10 2 4 2 10 2 4 C C C C C CC C CC C C C C 75 31 故抽取的 4 名工人中恰有 2 名男工人的概率为 75 31 4040 0909 年 年 甲 乙二人进行一次围棋比赛 约定先胜 3 局者获得这次比赛的胜利 比赛结束 假设在一局中 甲获胜的概率为 0 6 乙获胜的概率为