空间解析几何及向量代数测试题及答案

军教院军教院 第八章空间解析几何测试题第八章空间解析几何测试题 一 填空题 共一 填空题 共 7 7 题 题 2 2 分分 空 共空 共 2020 分 分 1 1 四点四点 组成的四面体的体积是组成的四面体的体积是 0 0 0 O 1 0 0 A 0 1 1 B 0 0 1 C 1 6 2 2 已知向量已知向量 则则 2 1 0 2 1 0 1 1 1 a 3 2 1 b 0 0 1 c cba 3 3 点点到直线到直线的距离是的距离是 1 0 1 03zx yx 66 11 4 4 点点到平面到平面的距离是的距离是 2 0 1 321xyz 3 14 7 5 5 曲线曲线 C C 对对 xoyxoy 坐标面的射影柱面是坐标面的射影柱面是 22 0 1 xyz zx 22 10 xxy 对对 yozyoz 坐标面的射影柱面是坐标面的射影柱面是 对对 xozxoz 坐标面的射坐标面的射 22 1 0zyz 影柱面是影柱面是 10zx 6 6 曲线曲线 C C 绕绕轴旋转后产生的曲面方程是轴旋转后产生的曲面方程是 曲 曲 2 2 0 xy z x 422 4 xyz 线线 C C 绕绕轴旋转后产生的曲面方程是轴旋转后产生的曲面方程是 y 22 2xzy 7 7 椭球面椭球面的体积是的体积是 1 2549 222 zyx 40 二 计算题 共二 计算题 共 4 4 题题 第第 1 1 题题 1010 分分 第第 2 2 题题 1515 分分 第第 3 3 题题 2020 分分 第第 4 4 题题 1010 分分 共共 5555 分 分 1 1 过点过点作作 3 3 个坐标平面的射影点个坐标平面的射影点 求过这求过这 3 3 个射影点的平面方程个射影点的平面方程 这里这里 P a b c 是是 3 3 个非零实数个非零实数 a b c 解解 设点设点在平面在平面上的射影点为上的射影点为 在平面 在平面上的射影上的射影 P a b c0z 1 0 M a b0 x 点为点为 在平面 在平面上的射影点为上的射影点为 则 则 2 0 Ma b0y 3 0 Mac 12 0 M Mac 13 0 M Mb c 于是于是 所确定的平面方程是所确定的平面方程是 1 M 12 M M 13 M M 00 0 xaybz ac bc 即即 0bc xaac ybabz 2 2 已已知知空空间间两两条条直直线线 1 l 0 10 xy z 2 l 0 10 xy z 1 1 证证明明和和是是异异面面直直线线 2 2 求求和和间间的的距距离离 3 3 求求公公垂垂线线方方程程 1 l 2 l 1 l 2 l 证明 证明 1 1 的的标标准准方方程程是是 经经过过点点 方方向向向向量量 1 l 1 110 xyz 1 l 1 0 0 1 M 1 1 1 0 v 的标准方程是的标准方程是 经过点经过点 方方向向向向量量 2 l 2 110 xyz 2 l 2 0 0 2 M 2 1 1 0 v 于于是是 所以 所以和和是是异异面面直直线线 1212 003 1106 110 M Mv v 0 1 l 2 l 2 2 由于由于 12 0 0 2 vv 12 2vv 和和间间的的距距离离 1 l 2 l 1212 12 6 3 2 M Mv v d vv 3 3 公公垂垂线线方方程程是是 即即 1 1100 002 2 1100 002 xyz xyz 0 0 xy xy 3 3 求曲线求曲线绕绕 x x 轴旋转产生的曲面方面轴旋转产生的曲面方面 2 2 1 xy z 解 设解 设是母线是母线上任意一点上任意一点 则过则过的纬圆方程是的纬圆方程是 1111 Mx y z 2 2 1 xy z 1111 Mx y z 1 1 222222 111 1 0 xyzxyz xx 又又 2 2 2 11 1 2 1 xy z 由 由 1 1 2 2 消去 消去得到得到 111 x y z 222 2220 xyz 4 4 已已知知单单叶叶双双曲曲面面 为为腰腰椭椭圆圆上上的的点点 222 1 4925 xyz 0 0 2 P 1 1 求求经经过过点点两两条条直直母母线线方方程程及及其其夹夹角角 P 2 2 求求这这两两条条直直母母线线所所在在的的平平面面的的方方程程及及平平面面与与腰腰椭椭圆圆所所在在平平面面的的 夹夹角角 解解 1 1 设设单单叶叶双双曲曲面面两两直直母母线线方方程程是是与与 1 253 1 253 xzy wu xzy uw 1 253 1 253 xzy tv xzy vt 把把点点分分别别代代入入上上面面两两方方程程组组 求求得得代代入入直直母母线线方方程程 0 0 2 P wu tv 得得到到过过点点的的两两条条直直母母线线与与 即即 0 0 2 P 1 253 1 253 xzy xzy 1 253 1 253 xzy xzy 与与 15106300 15106300 xyz xyz 15106300 15106300 xyz xyz 两两直直母母线线 的的方方向向向向量量可可分分别别取取和和 设设两两直直母母线线 1 0 3 5 v 2 0 3 5 v 的的夹夹角角是是 则则有有 12 12 8 cos 17 v v v v 8 arccos 17 2 2 两两直直母母线线 所所在在平平面面的的方方程程是是 即即 2 0350 035 xyz 2x 显显然然平平面面与与腰腰椭椭圆圆所所在在的的平平面面的的夹夹角角是是0 0 四四 证证明明题题 共共 2 2 题题 第第一一题题 1 10 0 分分 第第二二题题 1 15 5 分分 共共 2 25 5 分分 1 1 求求证证 曲曲线线在在一一个个球球面面上上 这这里里的的 23 222 111 ttt r t tttttt t 证证明明 设设 则则有有 即即 r tx y z 222 xyzy 222 11 24 xyz 所以曲线所以曲线在在球球心心为为 半半径径为为的的球球 23 222 111 ttt r t tttttt 1 0 0 2 1 2 面面上上 2 2 证证明明 1 1 双双曲曲抛抛物物面面的的同同族族的的所所有有直直母母线线都都平平行行于于同同一一平平面面 2 2 双双曲曲抛抛物物面面的的同同族族的的两两条条直直母母线线异异面面 证证明明 1 1 双双曲曲抛抛物物面面的的u u 族族直直母母线线 中中任任一一条条直直母母线线都都平平行行于于平平面面 0 b y a x v v 族族直直母母线线 中中任任一一条条直直母母线线都都平平行行于于平平面面 0 b y a x 因因而而结结论论成成立立 5 5 分分 2 2 不不妨妨取取 u u 族族直直母母线线来来证证明明 任任取取u u 族族直直母母线线中中两两条条直直母母线线 和和 1 l z b y a x u u b y a x 2 1 1 2 l z b y a x u u b y a x 2 2 2 其其中中 由由于于 的的第第一一个个方方程程表表示示的的平平面面平平行行于于 的的第第一一个个方方程程表表 21 uu 示示的的平平面面 即即和和在在两两个个平平行行平平面面上上 因因而而和和不不会会相相交交 1 l 2 l 1 l 2 l 又又由由于于直直线线的的方方向向向向量量为为 1 l 2 1 1 1 0 1 1 111