用3.2.5关于点(直线)对称的直线方程.ppt

3 2 5关于点 直线 对称的直线方程 例已知直线l 2x y 3 0 求l关于点A 1 2 对称的直线l1的方程 解法一 当x 0时 y 3 点 0 3 在直线l上 关于 1 2 的对称点为 2 7 当x 2时 y 1 点 2 1 在直线l上 关于 1 2 的对称点为 4 3 因此 直线l1的方程为 化简得 2x y 11 0 题型一 两直线关于点对称 那么 点 2 7 4 3 在l1上 方法总结 第一步 在已知直线上找两点 整数点 一般令x 0和y 0 第二步 求出这两点关于已知点的对称点 第三步 利用两点式写出对称直线的方程 解法二 直线l1与l关于点A 1 2 对称 l l l与l1的斜率相同 kl1 2 直线l1的点斜式方程为 y 7 2 x 2 化简得 2x y 11 0 例已知直线l 2x y 3 0 求l关于点A 1 2 对称的直线l1的方程 题型一 两直线关于点对称 当x 0时 y 3 点 0 3 在直线l上 关于 1 2 的对称点为 2 7 点 2 7 在直线l1上 方法总结 若两条直线关于某点对称 则这两条直线平行 解题步骤是 第一步 由两线对称求出所求直线的斜率 第二步 在已知直线上找一点 一般令x 0或y 0 求出这点关于已知点的对称点 第三步 利用点斜式写出对称直线的方程 解法三 设点P x y 为直线l1上的任意一点 则其关于点A 1 2 对称的对称点Q为 2 x 4 y 直线l1与直线l关于点A 1 2 对称 点Q 2 x 4 y 在直线l上 2 2 x 4 y 3 0 即 2x y 11 0 例已知直线l 2x y 3 0 求l关于点A 1 2 对称的直线l1的方程 题型一 两直线关于点对称 求谁设谁 方法总结 求谁设谁 是解决数学问题的一种方法 解题步骤是 第一步 设出所求直线上任意一点P的坐标 x y 第二步 求出P点关于已知点的对称点Q的坐标 第三步 将点Q的坐标代入已知直线方程 整理得出所求直线的方程 此方法为通法 求对称的直 曲 线方程都用此方法 练习 1 直线y 3x 3关于点M 3 2 对称的直线l的方程是 解 设所求直线上的任意点坐标 x y 关于点M 3 2 对称点 6 x 4 y 对称点在已知直线上 将y 3x 3中的x y分别代以 6 x 4 y 得4 y 3 6 x 3 即3x y 17 0 所求直线方程为3x y 17 0 3x y 17 0 2 直线y 3x 4关于点P 2 1 对称的直线l的方程是 3x y 10 0 3 与直线2x y 1 0关于点 1 0 对称的直线的方程是 2x y 3 0 4 直线y 2x 1关于坐标原点对称的直线方程是 y 2x 1 题型二 两点关于直线对称问题 例若点A 2 0 关于直线y 2x 1对称的对称点为点B 则点B的坐标 2 2 方法总结 求已知点关于直线的对称点的步骤 第一步 设出所求点的坐标 m n 求谁设谁 第二步 利用以下条件列出方程组 两点的连线的斜率与已知直线垂直斜率之积为 1 两点连线段的中点在已知直线上 第三步 解方程组即可得到m n的值 从而得到所求点的坐标 1 点A 0 1 关于直线2x y 0的对称点坐标是 练习 2 点 3 9 关于直线x 3y 10 0对称的点的坐标为 1 3 例求点 2 5 关于直线x y 1 0的对称点的坐标 题型二 两点关于直线对称问题 解法一 例求点 2 5 关于直线x y 1 0的对称点的坐标 题型二 两点关于直线对称问题 解法二 由x y 1 0得到x y 1 将y 5代入 可得x 6 再由x y 1 0得到y x 1 将x 2代入 可得y 3 点 2 5 关于直线x y 1 0的对称点的坐标 6 3 方法总结 求已知点关于某直线的对称点 若直线的斜率为1或 1 则可简化运算 利用以上方法解答即可 注意 此方法对于斜率不是 1的情况不适用 1 点 1 0 关于直线x y 1 0的对称点是 练习 2 点M 3 1 关于直线y x的对称点的坐标是 1 2 1 3 3 点 1 1 关于直线x y 1 0的对称点的坐标是 2 2 4 点 2 2 关于直线x y 3 0的对称点坐标是 1 5 1 点 2 5 关于直线x 1的对称点的坐标为 0 5 练习 2 点P 1 2 关于直线y 1对称的点的坐标是 1 0 例求直线x 2y 3 0关于直线x 1对称的直线的方程 题型三 两线关于直线对称问题 解 方法 若两直线关于直线x a对称 则这两直线的斜率互为相反数 1 直线x 4y 2 0关于直线x 2对称的直线方程是 练习 2 2012 贵阳模拟 直线x 2y 1 0关于直线x 3对称的直线方程为 解 直线x 2y 1 0关于直线x 3对称 所以对称直线的斜率为 2 再由直线x 2y 1 0与直线x 3的交点为 3 2 对称直线的方程为y 2 2 x 3 即2x y 8 0 故答案为2x y 8 0 x 4y 2 0 x 2y 8 0 例直线3x y 3 0关于x y 2 0对称的直线方程为 题型三 两线关于直线对称问题 x 2y 9 0 方法总结 求已知直线关于某直线的对称对称直线 若直线的斜率为1或 1 则可简化运算 利用以上方法解答即可 注意 此方法对于斜率不是 1的情况不适用 求已知直线关于某直线的对称对称直线 斜率不是 1的情况 一般不予考查 1 直线x 2y 3 0关于直线x y 1 0的对称直线方程为 练习 2x y 0 2 直线3x 4y 2关于直线y x的对称直线的方程是 4x 3y 2 3 求直线l1 y 2x 3关于直线l y x 1对称的直线l2的方程 x 2y 0 4 2012 汕头一模 已知直线x 3y 1 0关于直线y x对称的直线方程是 3x y 1 0 5 直线2x 3y 6 0关于直线x y 2 0对称的直线方程为 3x 2y 16 0 例1已知两点A 8 6 B 4 0 在直线l 3x y 2 0上找一点P 使 PA PB 最大 则点P的坐标为 题型四 两线段之和最小 之差最大 问题 方法总结 使 PA PB 最大 若A B在l的同侧 则直接连线求交点P即可 若A B在l的异侧 则将其中一点对称到l的另一侧 连线与l的交点即为P P 判断两点在直线的同侧还是异侧 只需把两点代入直线方程 若之积为正 同侧 若之积为负 异侧 例2已知直线l x 2y 8 0和两点A 2 0 B 2 4 若直线l上存在点P使得 PA PB 最小 则点P的坐标为 题型四 两线段之和最小 之差最大 问题 方法总结 使 PA PB 最大 若A B在l的异侧 则直接连线求交点P即可 若A B在l的同侧 则将其中一点对称到l的另一侧 连线与l的交点即为P 2 3 解 2 0 8 2 8 8 0 点A B在直线l的同侧 判断两点在直线的同侧还是异侧 只需把两点代入直线方程 若之积为正 同侧 若之积为负 异侧 练习 1 已知点A 3 4 和B 2 1 试在y轴上求一点P 使 PA PB 的值最小 并求出点P的坐标 练习 2 已知点A 3 5 B 2 15 在直线l 3x 4y 4 0上求一点P 使 PA PB 最小 练习 3 1 已知两点A 3 3 B 5 1 直线l y x 在直线l上求一点P 使 PA PB 最小 2 已知两点A 3 3 B 5 1 直线l y x 在直线l上求一点P 使 PA PB 最大 练习 4 已知平面上两点A 3 3 及B 2 15 在直线l 3x 4y 4 0上有一点P 可使 PB PA 最大 则点P的坐标为 8 5 5 已知直线l y x 1 点A 1 2 B 3 1 若在直线l上存在一点P 使得 PA PB 最大 则点P坐标为 3 2 6 已知点A 3 1 在直线x y 0和y 0上分别有点M和N使 AMN的周长最短 求点M N的坐标 例 ABC中 已知点A 3 1 和点B 10 5 B的平分线所在直线方程为x 4y 10 0 求BC边所在直线的方程 题型五 与角平分线有关的问题 方法 角的两边关于角的平分线对称 练习 1 已知在 ABC中 顶点A的坐标为 1 4 ABC的平分线所在直线方程为x 2y 0 ACB的平分线所在直线方程为x y 1 0 求BC边所在的直线方程 练习 2 在 ABC中 已知BC边上的高所在直线的方程为x 2y 1 0 A的平分线所在直线的方程为y 0 若点B的坐标为 1 2 求点C的坐标 3 已知 ABC的顶点A 1 5 AB边上的中线所在直线方程为20