数学必修五复习提纲——解三角形

数学必修五复习资料 1 第一章第一章 解三角形解三角形 一 知识点总结一 知识点总结 1 1 正弦定理 正弦定理 2 sinsinsin abc R ABC 变形 变形 2 2 余弦定理 余弦定理 3 3 三角形面积公式 三角形面积公式 4 4 射影定理 了解 射影定理 了解 a bcosC ccosB b acosC ccosA c acosB bcosA 5 5 三角形中的常用结论 三角形中的常用结论 2sin 2sin 2sin sin sin sin 222 sin sin sin 2 sin sinsinsin sin sinsinsinsin ABCab aRAbRBcRC abc ABC RRR a b cABC a b cabc R AB AB C C CAB c 边边角角互互化化 大大角角对对大大边边 222 222 222 2cos 2cos 2cos abcbcA bacacB cbabaC 222 222 222 cos 2 cos 2 cos 2 bca A bc acb B ac bac C ab 111 222 ABCabc Sahbhch 111 sinsinsin 2224 ABC abc SabCbcAacB R 或 1 abc abc 即两边之和大于第三边 两边之差小于第三边 2 sinsincoscos ABCABabABAB在中 3 sincos 0sin sincossin 2222 4 C sincos 2 0sinsin sincos 2222 5 ABAB ABBABABA AB ABABABAB 在锐角三角形中 和是任意两个角 则 理由 在 文字说明 锐角三角形中 任一角的 钝角三角形中 若 正 则 弦值大于其他角的 理由 在一般三 余弦值 角形中 coscos0 0coscos coscoscoscos0 AB ABABABABAB 理由 6 222 sin sin cos costan tan sincos cossin 2222 ABC ABC ABCABCABC ABCAB AB C C 三角形中的诱导公式 数学必修五复习资料 2 二 常见题型二 常见题型 1 1 解三角形 解三角形 利用正弦定理 已知两角和任意一边 AASAAS ASAASA 求其他的两边及一角 只有一解 已知两边和其中一边的对角 SSASSA 求其他边角 无解 一解 两解 利用余弦定理 已知三边 SSSSSS 求三角 只有一解 已知两边及夹角 SASSAS 求第三边和其他两角 只有一解 已知两边和其中一边的对角 SSASSA 求其他边角 无解 一解 两解 已知 SSA 利用正弦定理与余弦定理求解的区别 2 2 判断三角形形状或求值 判断三角形形状或求值 方法一 确定最大角方法一 确定最大角 只要知道三边的关系 就可以利用余弦定理的推论求出角 只要知道三边的关系 就可以利用余弦定理的推论求出角 方法二 边化角方法二 边化角 统一化成角 统一化成角 方法三 角化边方法三 角化边 统一化成边 统一化成边 已知条件定理应用一般解法 正弦定理 先求角 B 1 A 为钝角或直角 a b 一解 再求 sinB a b 无解 2 A 为锐角 先求 sinB 若 sinB 1 无解 若 sinB 1 一解 若 sinB 1 a b 一解 B 是锐角 a b 两解 B 是锐角或钝角 两边和其中一边的对角 SSASSA 如 如 a a b b A A 余弦定理 先求 c 边 先利用余弦定理写出关于 c 的方程 再求 c 最后根据方程根的情 况确定三角形解的个数 222222 2sin 2sin 2sin 2cossinsinsin2sinsincos aRA bRB cRC abcbcAABCBCA 常常用用公公式式 222222222 sin sin sin 222 cos cos cos 222 abc ABC RRR bcaacbabc ABC bcacab 常常用用公公式式 sin sin sinsin 22 sin2 sin2 2 ABAB kk ABABAB 常常见见结结论论 等等腰腰三三角角形形 原原理理 或或 等等腰腰三三角角形形或或直直角角三三角角形形 222 222 222 222 222 90 90 abcA abcA abc bac cab 常常见见结结论论 钝钝角角三三角角形形 直直角角三三角角形形 锐锐角角三三角角形形 数学必修五复习资料 3 常见的形式 常见的形式 3 3 构成三角形三边的问题 构成三角形三边的问题 4 4 周长面积问题 周长面积问题 记得同时利用两个公式 余弦定理和完全平方公式 记得同时利用两个公式 余弦定理和完全平方公式 5 5 正 余弦定理的综合应用 正 余弦定理的综合应用 例 4 在中 角所对应的边分别为 ABC A B C a b c2 3a tantan4 22 ABC 求及2sincossinBCA A B b c 解析 由得 tantan4 22 ABC cossin 22 4 sincos 22 CC CC 1 4 sincos 22 CC 1 sin 2 C 又 由得 即 0 C 5 66 CC 或2sincossinBCA 2sincossin BBBC sin 0BC BC 6 BC 2 3 ABC coscos coscoscos cos sin2sincos 3 sin2sincos aAbB abc ABC baC ABC abc bcabcABC 等等腰腰三三角角形形或或直直角角三三角角形形 等等边边三三角角形形 直直角角三三角角形形 等等腰腰三三角角形形 且且等等边边三三角角形形 22 2 121 21 2121 28 21 12 aaaa aaa aa aaa 例 设为钝角三角形的三边 求实数的取值范围 解 考虑最大角 依题意 即 为钝角和两边之和大 的取值范围为 于第三边 2 8 222 222 2 3 23 513 5 13 32 xx x xx x 例2 已知锐角三角形边长分别为 求的取值范围 解 依题意 即的取值范围是 考虑三个角都是锐 角 2 2 22 2cos 2abcAbcbbcc 2 222 2 2 2010 360 13 sin10 3 40 24 20 20 2cos2 20120 77 ABCABC SbcAbcbc