高考数学大二轮总复习与增分策略 专题四 数列、推理与证明 第3讲 数列的综合问题练习 文.doc

第3讲数列的综合问题1(2016浙江)设数列an的前n项和为Sn.若S24，an12Sn1，nN*，则a1_，S5_.答案1121解析由解得a11，a23，当n2时，由已知可得：an12Sn1，an2Sn11，得an1an2an，an13an，又a23a1，an是以a11为首项，以q3为公比的等比数列S5121.2(2016四川)已知数列an的首项为1，Sn为数列an的前n项和，Sn1qSn1，其中q0，nN*.(1)若2a2，a3，a22成等差数列，求数列an的通项公式；(2)设双曲线x21的离心率为en，且e2，证明：e1e2en.(1)解由已知，Sn1qSn1，Sn2qSn11，两式相减得an2qan1，n1.又由S2qS11得a2qa1，故an1qan对所有n1都成立所以数列an是首项为1，公比为q的等比数列从而anqn1.由2a2，a3，a22成等差数列，可得2a33a22，即2q23q2，则(2q1)(q2)0，由已知，q0，故q2.所以an2n1(nN*)(2)证明由(1)可知，anqn1.所以双曲线x21的离心率en.由e2，解得q.因为1q2(k1)q2(k1)，所以qk1(kN*)于是e1e2en1qqn1.故e1e2en.1.数列的综合问题，往往将数列与函数、不等式结合，探求数列中的最值或证明不等式.2.以等差数列、等比数列为背景，利用函数观点探求参数的值或范围.3.将数列与实际应用问题相结合，考查数学建模和数学应用.热点一利用Sn，an的关系式求an1数列an中，an与Sn的关系：an.2求数列通项的常用方法(1)公式法：利用等差(比)数列求通项公式(2)在已知数列an中，满足an1anf(n)，且f(1)f(2)f(n)可求，则可用累加法求数列的通项an.(3)在已知数列an中，满足f(n)，且f(1)f(2)f(n)可求，则可用累积法求数列的通项an.(4)将递推关系进行变换，转化为常见数列(等差、等比数列)例1已知数列an的前n项和为Sn，若Sn2an2n，则Sn_.答案n2n解析由Sn2an2n，得S1a12a12，a12，Sn2(SnSn1)2n (n2)，则Sn2Sn12n (n2)，1(n2)，所以是首项为1，公差为1的等差数列，所以n1n，故Snn2n.思维升华给出Sn与an的递推关系，求an，常用思路：一是利用SnSn1an(n2)转化为an的递推关系，再求其通项公式；二是转化为Sn的递推关系，先求出Sn与n之间的关系，再求an.跟踪演练1已知正项数列an的前n项和为Sn，且Sn，则数列an的通项公式是_答案an2n解析Sn，当n1时，a1S1，解得a12或a10(舍去)当n2时，由anSnSn1aa2(anan1)，因为an0，所以anan10，则anan12，所以数列an是首项为2，公差为2的等差数列，故an2n.热点二数列与函数、不等式的综合问题数列与函数的综合问题一般是利用函数作为背景，给出数列所满足的条件，通常利用点在曲线上给出Sn的表达式，还有以曲线上的切点为背景的问题，解决这类问题的关键在于利用数列与函数的对应关系，将条件进行准确的转化数列与不等式的综合问题一般以数列为载体，考查最值问题，不等关系或恒成立问题例2已知等比数列an的前n项和为Sn，S1，S3，S2成等差数列，且a1a33.(1)求an的通项公式an；(2)求Sn，并求满足Sn2的n的值解(1)设等比数列an的首项为a1，公比为q.依题意有a1(a1a1q)2(a1a1qa1q2)，由于a10，故2q2q0，又q0，从而q，由已知可得a1a1()23，故a14，an4()n1.(2)由(1)得a14，q，Sn1()n，由Sn1()n2得()n，当n为奇数时不满足，当n为偶数时，()n递减，()n.满足()n的n的值为2，即满足Sn2的n的值为2.思维升华解决数列与函数、不等式的综合问题要注意以下几点：(1)数列是一类特殊的函数，函数定义域是正整数，在求数列最值或不等关系时要特别重视；(2)解题时准确构造函数，利用函数性质时注意限制条件；(3)不等关系证明中进行适当的放缩跟踪演练2若数列an的前n项和为Sn，点(an，Sn)在yx的图象上(nN*)(1)求数列an的通项公式；(2)若c10，且对任意正整数n都有cn1cnan.求证：对任意正整数n2，总有.(1)解Snan，当n2时，anSnSn1an1an，anan1.又S1a1，a1，an()n1()2n1.(2)证明由cn1cnan2n1，得当n2时，cnc1(c2c1)(c3c2)(cncn1)035(2n1)n21(n1)(n1)(1)()()()(1)()().又，原式得证热点三数列的实际应用用数列知识解相关的实际问题，关键是合理建立数学模型数列模型，弄清所构造的数列是等差模型还是等比模型，它的首项是什么，项数是多少，然后转化为解数列问题求解时，要明确目标，即搞清是求和，还是求通项，还是解递推关系问题，所求结论对应的是解方程问题，还是解不等式问题，还是最值问题，然后进行合理推算，得出实际问题的结果例3自从祖国大陆允许台湾农民到大陆创业以来，在11个省区设立了海峡两岸农业合作试验区和台湾农民创业园，台湾农民在那里申办个体工商户可以享受“绿色通道”的申请、受理、审批一站式服务，某台商第一年年初到大陆就创办了一座120万元的蔬菜加工厂M，M的价值在使用过程中逐年减少，从第二年到第六年，每年年初M的价值比上年年初减少10万元，从第七年开始，每年年初M的价值为上年年初的75%.(1)求第n年年初M的价值an的表达式；(2)设An，若An大于80万元，则M继续使用，否则须在第n年年初对M更新，证明：必须在第九年年初对M更新(1)解当n6时，数列an是首项为120，公差为10的等差数列，故an12010(n1)13010n，当n7时，数列an从a6开始的项构成一个以a61306070为首项，以为公比的等比数列，故an70()n6，所以第n年年初M的价值an(2)证明设Sn表示数列an的前n项和，由等差数列和等比数列的求和公式，得当1n6时，Sn120n5n(n1)，An1205(n1)1255n9580，当n7时，由于S6570，故Sn570(a7a8an)5707041()n6780210()n6.因为an是递减数列，所以An是递减数列因为An，A882.73480，A976.8231时，求使TnSn3成立的最小正整数n的值押题依据本题综合考查数列知识，第(1)问考查反证法的数学方法及逻辑推理能力，第(2)问是高考的热点问题，即数列与不等式的完美结合，其中将求数列前n项和的常用方法“裂项相消法”与“错位相消法”结合在一起，考查了综合分析问题、解决问题的能力解(1)若数列an是等比数列，则由n1得a1S1ka2，从而a2ka3.又取n2得a1a2S2ka3，于是a10，显然矛盾，故数列an不是等比数列(2)由条件得解得从而Snan1.当n2时，由Sn1an，得anSnSn1an1an，即an12an，此时数列是首项为a2、公比为2的等比数列综上所述，数列an的通项公式为an从而其前n项和Sn2n2 (nN*)由得bnn2，从而cnn2n2.记C1，记C2121220n2n2，则2C2120221n2n1，两式相减得C2(n1)2n1，从而Tn(n1)2n1(n1)2n1，则不等式TnSn3可化为2n10，因为nN*，故n9，从而最小正整数n的值是10.A组专题通关1在一个有穷数列每相邻两项之间添加一项，使其等于两个相邻项的和，我们把这样的操作叫做该数列的一次“H扩展”已知数列1,2.第一次“H扩展”后得到1,3,2；第二次“H扩展”后得到1,4,3,5,2.那么第10次“H扩展”后得到的数列的项数为()A1 023 B1 025C513 D511答案B解析设第n次“H扩展”后得到的数列的项数为an，则第n1次“H扩展”后得到的数列的项数为an12an1，an112(an1)，2.又a11312，an1是以2为首项，2为公比的等比数列，an122n1，an2n1，a1021011 025.故选B.2在数列an中，an1ana (nN*，a为常数)，若平面上的三个不共线的非零向量，满足a1a2 016，三点A，B，C共线且该直线不过O点，则S2 016等于()A1 007 B1 008C2 016 D2 012答案B解析a1a2 016，且三点A，B，C共线，必有a1a2 0161，又an1ana，an1ana为常数，故数列an为等差数列，故S2 0161 008，故选A.3已知函数yf(x)对任意自变量x都有f(x1)f(1x)，且函数f(x)在1，)上单调若数列an是公差不为0的等差数列，且f(a6)f(a20)，则an的前25项之和为()A0 B.C25 D50答案C解析由已知函数关系可知a6a202，又an是等差数列，所以a6a20a5a21a4a22a3a23a2a24a1a25a7a19a8a18a9a17a10a16a11a15a12a142a132，所以数列的前25项和为122125，故选C.4今有女善织，日益功疾，且从第2天起，每天比前一天多织相同量的布，若第1天织5尺布，现在一月(按30天计)共织390尺布，则每天比前一天多织的布的尺数为(不作近似计算)()A. B.C. D.答案C解析由题意可知，该女每天的织布量成等差数列，首项是5，公差为d，前30项和为390.根据等差数列前n项和公式，有390305d，解得d.5已知定义在R上的函数f(x)，g(x)满足ax，且f(x)g(x)f(x)g(x)，若有穷数列 (nN*)的前n项和等于，则n等于()A5 B6 C7 D8答案A解析令h(x)，则h(x)0，故函数h(x)为减函数，即0a0，其前n项和为Sn，若S312，且2a1，a2，1a3成等比数列(1)求数列an的通项公式；(2)记bn (nN*)，且数列bn的前n项和为Tn，证明：Tn0，d3，a11.数列an的通项公式an13(n1)3n2.(2)证明bn()，Tnb1b2b3bn(1)()()(1).nN*，0，故Tn，又Tn为单调递增，当n1时，取最小值，故Tn.B组能力提高112008年5月18日某爱心人士为一位孤儿去银行存款a元，存的是一年定期储蓄；2009年5月18日他将到期存款的本息一起取出，再加a元后，还存一年的定期储蓄，此后每年5月18日都如此，假设银行一年定期储蓄的年利率r不变，直到2015年5月18日这位孤儿准备上大学时，他将所有的存款和利息全部取出并且资助给这位孤儿，则取出的钱数共为()Aa(1r)7元Ba(1r)7(1r)元C.(1r)7r元D.(1r)8(1r)元答案D解析由题意，2009年5月18日的存款为a(1r)a元；2010年5月18日的存款为a(1r)2a(1r)a元；2011年5月18日的存款为a(1r)3a(1r)2a(1r)a元；2012年5月18日的存款为a(1r)4a(1r)3a(1r)2a(1r)a元；2013年5月18日的存款为a(1r)5a(1r)4a(1r)3a(1r)2a(1r)a元；2014年5月18日的存款为a(1r)6a(1r)5a(1r)4a(1r)3a(1r)2a(1r)a元；到2015年5月18日他所有的存款和本息为a(1r)7a(1r)6a(1r)5a(1r)4a(1r)3a(1r)2a(1r)(1r)8(1r)元12已知函数f(x)x2(a8)xa2a12，且f(a24)f(2a8)，设等差数列an的前n项和为Sn (nN*)，若Snf(n)，则的最小值为()A. B.C. D.答案D解析由题意可得a242a8或a242a82()，解得a1或a4，当a1时，f(x)x29x10，数列an不是等差数列；当a4时，f(x)x24x，Snf(n)n24n，a15，a27，an5(75)(n1)2n3，1，当且仅当n1，即n1时取等号，n为正数，故当n3时原式取最小值，故选D.13对于数列an，若m，nN* (mn)，都有t (t为常数)成立，则称数列an具有性质P(t)(1)若数列an的通项公式为an2n，且具有性质P(t)，则t的最大值为_；(2)若数列an的通项公式为ann2，且具有性质P(10)，则实数a的取值范围是_答案(1)2(2)36，)解析(1)t0，所以数列antn是递增数列，即an1t(n1)(antn)0.因为an2n，所以上式化简为t2n，得t2，故t的最大值为2.(2)由已知条件得100.所以数列an10n是递增数列，即an110(n1)(an10n)0.因为ann2，所以上式化简为an(n1)(2n9)，令f(n)n(n1)(2n9)，由三次函数的图象性质可知f(n)min为f(1)或f(2)或f(3)或f(4)f(1)14，f(2)30，f(3)36，f(4)20.所以f(n)min36，所