高中数学函数知识点总结(经典收藏)

1 高中数学函数知识点总结高中数学函数知识点总结 1 对于集合 一定要抓住集合的代表元素 及元素的 确定性 互异性 无序性 CBAxyyxCxyyBxyxA 如 集合lg lg lg 中元素各表示什么 A 表示函数 y lgx 的定义域 B 表示的是值域 而 C 表示的却是函 数上的点的轨迹 2 进行集合的交 并 补运算时 不要忘记集合本身和空集的特殊情况 注重借助于数轴和文氏图解集合问题 空集是一切集合的子集 是一切非空集合的真子集 如 集合 Ax xxBx ax 2 2301 若 则实数 的值构成的集合为BAa 答 10 1 3 显然 这里很容易解出 A 1 3 而 B 最多只有一个元素 故 B 只能是 1 或者 3 根据条件 可以得到 a 1 a 1 3 但是 这里千万小心 还有 一个 B 为空集的情况 也就是 a 0 不要把它搞忘记了 3 注意下列性质 集合 的所有子集的个数是 12 12 aaan n 要知道它的来历 若 B 为 A 的子集 则对于元素 a1来说 有 2 种选择 在或者不在 同样 对于元素 a2 a3 an 都有 2 种选择 所以 总共有种选择 即集合 A 有个子集 2n2n 当然 我们也要注意到 这种情况之中 包含了这 n 个元素全部在何2n 全部不在的情况 故真子集个数为 非空真子集个数为21 n 22 n 若 2ABABAABB 3 德摩根定律 CCCCCC UUUUUU ABABABAB 有些版本可能是这种写法 遇到后要能够看懂 2 4 你会用补集思想解决问题吗 排除法 间接法 如 已知关于 的不等式的解集为 若且 求实数x ax xa MMMa 5 035 2 的取值范围 3 35 3 0 5 55 5 0 1 5 3 925 2 2 M a a M a a a 注意 有时候由集合本身就可以得到大量信息 做题时不要错过 如告 诉你函数 f x ax2 bx c a 0 在上单调递减 在上单调递增 1 1 就应该马上知道函数对称轴是 x 1 或者 我说在上 也应该马上可以想 到 m n 实际上就是方程 的 2 个根 5 熟悉命题的几种形式 可以判断真假的语句叫做命题 逻辑连接词有 或 且 和 非 若为真 当且仅当 均为真pqpq 若为真 当且仅当 至少有一个为真pqpq 若为真 当且仅当 为假 pp 命题的四种形式及其相互关系是什么 互为逆否关系的命题是等价命题 原命题与逆否命题同真 同假 逆命题与否命题同真同假 6 熟悉充要条件的性质 高考经常考 满足条件 满足条件 xxA pxxB q 若 则是 的充分非必要条件 pqBA 若 则是 的必要非充分条件 pqBA 若 则是 的充要条件 pqBA 若 则是 的既非充分又非必要条件 pq 7 对映射的概念了解吗 映射 f A B 是否注意到 A 中元素的任意性 和 B 中与之对应元素的唯一性 哪几种对应能构成映射 一对一 多对一 允许 B 中有元素无原象 注意映射个数的求法 如集合 A 中有 m 个元素 集合 B 中有 n 个元 素 则从 A 到 B 的映射个数有 nm个 3 如 若 问 到的映射有 个 到 4 3 2 1 A cbaB ABB 的映射有 个 到的函数有 个 若 则到的AAB 3 2 1 AAB 一一映射有 个 函数的图象与直线交点的个数为 个 xy ax 8 函数的三要素是什么 如何比较两个函数是否相同 定义域 对应法则 值域 相同函数的判断方法 表达式相同 定义域一致 两点必须同 时具备 9 求函数的定义域有哪些常见类型 例 函数的定义域是y xx x 4 3 2 lg 答 022334 函数定义域求法 分式中的分母不为零 偶次方根下的数 或式 大于或等于零 指数式的底数大于零且不等于一 对数式的底数大于零且不等于一 真数大于零 正切函数 xytan kkxRx 2 且 余切函数 xycot kkxRx 且 反三角函数的定义域 函数 y arcsinx 的定义域是 1 1 值域是 函数 y arccosx 的定义域是 1 1 值域是 0 函数 y arctgx 的定义域是 R 值域是 函数 y arcctgx 的定义域是 R 值 域是 0 当以上几个方面有两个或两个以上同时出现时 先分别求出满足每一个 条件的自变量的范围 再取他们的交集 就得到函数的定义域 10 如何求复合函数的定义域 如 函数的定义域是 则函数的定f xabbaF xf xfx 0 义域是 答 aa 复合函数定义域的求法 已知的定义域为 求的定 xfy nm xgfy 义域 可由解出 x 的范围 即为的定义域 nxgm xgfy 4 例例 若函数的定义域为 则的定义域为 xfy 2 2 1 log2xf 分析 分析 由函数的定义域为可知 所以 xfy 2 2 1 2 2 1 x 中有 log2xfy 2log 2 1 2 x 解 解 依题意知 2log 2 1 2 x 解之 得 42 x 的定义域为 log2xf 42 xx 11 函数值域的求法 1 直接观察法 对于一些比较简单的函数 其值域可通过观察得到 例 求函数 y 的值域 x 1 2 配方法 配方法是求二次函数值域最基本的方法之一 例 求函数 y 2x 5 x 1 2 的值域 2 x 3 判别式法 对二次函数或者分式函数 分子或分母中有一个是二次 都可通用 但 这类题型有时也可以用其他方法进行化简 不必拘泥在判别式上面 下面 我把这一类型的详细写出来 希望大家能够看懂 5 1 12 2 2 2 2 2 2 22 b a y型 直接用不等式性质 k x bx b y型 先化简 再用均值不等式 xm xn x1 例 y 1 x x x xmxn c y型 通常用判别式 xm xn xm xn d y型 xn 法一 用判别式 法二 用换元法 把分母替换掉 xx1 x 1 x 1 1 1 例 y x 1 1211 x1x1x1 4 反函数法 直接求函数的值域困难时 可以通过求其原函数的定义域来确定原函数 的值域 例 求函数 y 值域 65 43 x x 5 函数有界性法 直接求函数的值域困难时 可以利用已学过函数的有界性 来确定函数 的值域 我们所说的单调性 最常用的就是三角函数的单调性 例 求函数 y 的值域 1 1 x x e e2sin1 1sin y 2sin1 1cos y 2 2 2 11 0 11 2sin11 sin 1 1sin2 2sin1 2sin1 1cos 1cos 2sincos1 1 4sin 1 sin 4 1 sin 11 4 即 又由知 解不等式 求出 就是要求的答案 x x x ey ye ye y y y yy yy y yxyx y y x y y 6 函数单调性法 通常和导数结合 是最近高考考的较多的一个内容 例求函数 y 2 x 10 的值域 2 5x log3 1 x 6 7 换元法 通过简单的换元把一个函数变为简单函数 其题型特征是函数解析式含 有根式或三角 函数公式模型 换元法是数学方法中几种最主要方法之一 在求函数的 值域中同样发 挥作用 例 求函数 y x 的值域 1 x 8 数形结合法 其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义 如两点的距离公式直线 斜率等等 这 类题目若运用数形结合法 往往会更加简单 一目了然 赏心悦目 例 已知点 P x y 在圆 x2 y2 1 上 2 2 2 20 1 的取值范围 2 y 2 的取值范围 解 1 令则是一条过 2 0 的直线 d为圆心到直线的距离 R 为半径 2 令y 2即也是直线d d y x x y kyk x x R d xbyxbR 例求函数 y 的值域 2 2 x 8 2 x 解 原函数可化简得 y x 2 x 8 上式可以看成数轴上点 P x 到定点 A 2 B 8 间的距离之和 由上图可知 当点 P 在线段 AB 上时 y x 2 x 8 AB 10 当点 P 在线段 AB 的延长线或反向延长线上时 y x 2 x 8 AB 10 故所求函数的值域为 10 例求函数 y 的值域136 2 x x 54 2 x x 解 原函数可变形为 y 20 3 22 x 10 2 22 x 上式可看成 x 轴上的点 P x 0 到两定 点 A 3 2 B 2 1 的距离之和 7 由图可知当点 P 为线段与 x 轴的交点时 y AB min 12 23 22 43 故所求函数的值域为 43 注 求两距离之和时 要将函数 9 不等式法 利用基本不等式 a b 2 a b c 3 a b c 求ababc3 R 函数的最值 其题型特征解析式是和式时要求积为定值 解析式是积时 要求和为定值 不过有时须要用到拆项 添项和两边平方等技巧 例 倒数法 有时 直接看不出函数的值域时 把它倒过来之后 你会发现另一番境 况 例 求函数 y 的值域 3 2 x x 2 3 20 12111 220 222 20 1 2 时 时 0 0 x y x x x xy yxx xy y 多种方法综合运用 总之 在具体求某个函数的值域时 首先要仔细 认真观察其题型 特征 然后再选择恰当的方法 一般优先考虑直接法 函数单调性法和 3 3 2 0 1111 33 33 2 22 x xx 应用公式a b c时 注意使者的乘积变成常数 x x xxxx abc 3 3 1 3 3 2 x 3 2x 0 x 1 5 xx 3 2x x x 3 2x 应用公式abc时 应注意使3者之和变成常数 abc 8 基本不等式法 然后才考虑用其他各种特殊方法 12 求一个函数的解析式或一个函数的反函数时 注明函数的定义域了 吗 切记 做题 特别是做大题时 一定要注意附加条件 如定义域 单 位等东西要记得协商 不要犯我当年的错误 与到手的满分失之 交臂 如 求fxexf x x 1 令 则txt 10 xt 2 1 f tet t 2 12 1 f xexx x 2 12 10 13 反函数存在的条件是什么 一一对应函数 求反函数的步骤掌握了吗 反解 x 互换 x y 注明定义域 如 求函数的反函数f x xx xx 10 0 2 答 fx xx xx 1 11 0 在更多时候 反函数的求法只是在选择题中出现 这就为我们这些喜欢 偷懒的人提供了大方便 请看这个例题 2004 全国理 函数的反函数是 B 1 11 xxy A y x2 2x 2 x 1 B y x2 2x 2 x 1 C y x2 2x x 1 排除选项 C D 现在看 值域 原函数至于为 y 1 则反函数定义域为 x 1 答案为 B 我题目已经做完了 好像没有动笔 除非你拿来写 书 思路能不能明 白呢 14 反函数的性质有哪些 9 反函数性质 1 反函数的定义域是原函数的值域 可扩展为反函数中的 x 对应原 函数中的 y 2 反函数的值域是原函数的定义域 可扩展为反函数中的 y 对应原 函数中的 x 3 反函数的图像和原函数关于直线 x 对称 难怪点 x y 和点 y x 关于直线 y x 对称 互为反函数的图象关于直线 y x 对称 保存了原来函数的单调性 奇函数性 设的定义域为 值域为 则yf x ACaAbCf a bf 1 ba ff afbaf fbf ab 111 由反函数的性质 可以快速的解出很多比较麻烦的题目 如 04 上海春季高考 已知函数 则方程的解 2 4 log 3 x xf4 1 xf x 15 如何用定义证明函数的单调性 取值 作差 判正负 判断函数单调性的方法有三种 1 定义法 根据定义 设任意得 x1 x2 找出 f x1 f x2 之间的大小关系 可以变形为求的正负号或者与 1 的关系 12 12 f xf x xx 1 2 f x f x 2 参照图象 若函数 f x 的图象关于点 a b 对称 函数 f x 在关于点 a 0 的对 称区间具有相同的单调性 特例 奇函数 若函数 f x 的图象关于直线 x a 对称 则函数 f x 在关于点 a 0 的对称区间里具有相反的单调性 特例 偶函数 3 利用单调函数的性质 函数 f x 与 f x c c 是常数 是同向变化的 函数 f x 与 cf x c 是常数 当 c 0 时 它们是同向变化的 当 c 0 时 它们是反向变化的 如果函数 f1 x f2 x 同向变化 则函数 f1 x f2 x 和它们同向变 化 函数相加 10 如果正值函数 f1 x f2 x 同向变化 则函数 f1 x f2 x 和它们同向 变化 如果负值函数 f1 2 与 f2 x 同向变化 则函数 f1 x f2 x 和它们 反向变化 函数相乘 函数 f x 与在 f x 的同号区间里反向变化 1 f x 若函数 u x x 与函数 y F u u 或 u 同向变化 则在 上复合函数 y F x 是 递增的 若函数 u x x 与函数 y F u u 或 u 反向变化 则在 上复合函数 y F x 是递减的 同增异减 若函数 y f x 是严格单调的 则其反函数 x f 1 y 也是严格单调的 而且 它们的增减性相同 如 求的单调区间yxx log1 2 2 2 设 由则uxxux 2 2002 且 如图 log1 2 2 11uux u O 1 2 x 当 时 又 xuuy log01 1 2 当 时 又 xuuy log12 1 2 f g g x f g x f x g x f x g x 都 是正数 增增增增增 增减减 减增减 减减增减减 11 16 如何利用导数判断函数的单调性 在区间 内 若总有则为增函数 在个别点上导数等于abf xf x 0 零 不影响函数的单调性 反之也对 若呢 f x 0 如 已知 函数在 上是单调增函数 则 的最大af xxaxa 01 3 值是 B 1C 2D 3 令f xxax a x a 33 33 0 2 则或x a x a 33 由已知在 上为增函数 则 即f x a a 1 3 13 a 的最大值为 3 17 函数 f x 具有奇偶性的必要 非充分 条件是什么 f x 定义域关于原点对称 若总成立为奇函数函数图象关于原点对称fxf xf x 若总成立为偶函数函数图象关于 轴对称fxf xf xy 注意如下结论 1 在公共定义域内 两个奇函数的乘积是偶函数 两个偶函数的 乘积是偶函数 一个偶函数与奇函数的乘积是奇函数 若是奇函数且定义域中有原点 则 2f x f 0 0 如 若 为奇函数 则实数f x aa a x x 22 21 为奇函数 又 f xxRRf 000 即 aa a 22 21 01 0 0 12 又如 为定义在 上的奇函数 当 时 f xxf x x x 1101 2 41 求在 上的解析式 f x 11 令 则 xxfx x x 1001 2 41 又为奇函数 f xf x x x x x 2 41 2 14 又 ff x x x x x x x x 00 2 41 10 0 2 41 01 判断函数奇偶性的方法 一 定义域法 一个函数是奇 偶 函数 其定义域必关于原点对称 它是函数为奇 偶 函数的必要条件 若函数的定义域不关于原点对称 则函数为非奇 非偶函数 二 奇偶函数定义法 在给定函数的定义域关于原点对称的前提下 计算 然后根据函数 xf 的奇偶性的定义判断其奇偶性 这种方法可以做如下变形 f x f x 0 奇函数 f x f x 0 偶函数 f x 1 偶函数 f x f x 1 奇函数 f x 三 复合函数奇偶性 f g g x f g x f x g x f x g x 奇奇奇奇偶 奇偶偶非奇非偶奇 偶奇偶非奇非偶奇 13 18 你熟悉周期函数的定义吗 若存在实数 在定义域内总有 则为周期TTf xTf xf x 0 函数 T 是一个周期 如 若 则f xaf x 答 是周期函数 为的一个周期 f xTaf x 2 我们在做题的时候 经常会遇到这样的情况 告诉你 f x f x t 0 我 们要马上反应过来 这时说这个函数周期 2t 推导 0 2 2 0 f xf xt f xf xt f xtf xt 同时可能也会遇到这种样子 f x f 2a x 或者说 f a x f a x 其实 这都是说同样一个意思 函数 f x 关于直线对称 对称轴可以由括号内 的 2 个数字相加再除以 2 得到 比如 f x f 2a x 或者说 f a x f a x 就都表示函数关于直线 x a 对称 2 2 2 2 2 222 22 22 2 fxxaxb f axf axf bxf bx fxfax faxfbx fxfbx taxbxtba f tf tba fxfxba fxbaa b 又如 若图象有两条对称轴 即 令则 即 所以函数以为周期因不知道的大小关系 为保守起见我加了一个绝对值 偶偶偶偶偶 14 19 你掌握常用的图象变换了吗 联想点 x y f xfxy 与的图象关于轴 对称 x y 联想点f xf xx 与的图象关于轴 对称 x y x y 联想点f xfx 与的图象关于 原点 对称 x y x y 联想点 x y y x f xfxyx 与的图象关于 直线对称 1 联想点 x y 2a x y f xfaxxa 与的图象关于 直线对称2 联想点 x y 2a x 0 f xfaxa 与的图象关于 点 对称 20 将图象 左移个单位 右移个单位 yf x a a a a yf xa yf xa 0 0 上移个单位 下移个单位 b b b b yf xab yf xab 0 0 这是书上的方法 虽然我从来不用 但可能大家接触最多 我还是写 出来吧 对于这种题目 其实根本不用这么麻烦 你要判断函数 y b f x a 怎么由 y f x 得到 可以直接令 y b 0 x a 0 画出点的坐标 看点和原点的关系 就可以很直观的看出函数平移的轨迹了 注意如下 翻折 变换 x y f xf x f xfx 把轴下方的图像翻到上面 把轴右方的图像翻到上面 如 f xx log 2 1 作出及的图象yxyx loglog 22 11 19 你熟练掌握常用函数的图象和性质了吗 k 为斜率 b 为直线与 y 轴的交点 一次函数 10ykxb k y y log2x O 1 x k0 y b O a b O x x a 15 的双 反比例函数 推广为是中心 200y k x kyb k xa kO ab 曲线 二次函数图象为抛物线30 2 4 4 2 2 2 yaxbxc aa x b a acb a 顶点坐标为 对称轴 b a acb a x b a2 4 42 2 开口方向 向上 函数ay acb a 0 4 4 2 min ay acb a 0 4 4 2 向下 max 121212 2 b x a bc xxxxxx aaa A A 根的关系 2 2 1212 1212 mn 2 f xaxbxc f xa xmn f xa xxxxxx f xa xxxxhx hxh 二次函数的几种表达形式 一般式 顶点式 为顶点 是方程的个根 函数经过点 应用应用 三个二次 二次函数 二次方程 二次不等式 的关系 二次方程 axbxcxxyaxbxcx 2 12 2 00 时 两根 为二次函数的图象与 轴 的两个交点 也是二次不等式解集的端点值 axbxc 2 00 求闭区间 m n 上的最值 y a 0 O k x1 x2 x 16 2 max min 2 max min 2 2 2 4 min maxmax 4 m n 0 b nff mff n a b mff nff m a b nm a cba fff mf n a a 区间在对称轴左边 区间在对称轴右边 区间在对称轴边 也可以比较和对称轴的关系 距离越远 值越大 只讨论的情况 求区间定 动 对称轴动 定 的最值问题 一元二次方程根的分布问题 如 二次方程的两根都大于axbxck b a k f k 2 0 0 2 0 指数函数 401yaaa x 对数函数 501yx aa a log 由图象记性质 注意底数的限定 对勾函数 60yx k x k 0 mn22 0 0 mn 0 b mn a f m f n f m f n 在区间 内有根 在区间 内有1根 y y ax a 1 0 a1 1 O 1 x 0 a0 0 且且a a 1 1 f f x x y y f f x x f f y y f f f f x x f f y y y x 5 5 三角函数型的抽象函数三角函数型的抽象函数 f f x x t tgx gx f f x x y y 1 yfxf yfxf f f x x cotcotx x f f x x y y 1 yfxf yfxf 例例 1 1 已知函数f x 对任意实数x y均有f x y f x f y 且当x 0 时 f x 0 f 1 2 求f x 在区间 2 1 上 19 的值域 分析 先证明函数f x 在 R 上是增函数 注意到f x2 f x2 x1 x1 f x2 x1 f x1 再根据区间求其值域 例例 2 2 已知函数f x 对任意实数x y均有f x y 2 f x f y 且当x 0 时 f x 2 f 3 5 求不等式 f a2 2a 2 0 x N f a b f a f b a b N f 2 4 同时成 立 若存在 求出f x 的解析式 若不存在 说明理由 分析 先猜出f x 2x 再用数学归纳法证明 例例 6 6 设f x 是定义在 0 上的单调增函数 满足 yf xf 20 f x y f x f y f 3 1 求 1 f 1 2 若f x f x 8 2 求x的取值范围 分析 1 利用 3 1 3 2 利用函数的单调性和已知关系式 例例 7 7 设函数y f x 的反函数是y g x 如果f ab f a f b 那么g a b g a g b 是否正确 试说明 理由 分析 设f a m f b n 则g m a g n b 进而m n f a f b f ab f g m g n 例例 8 8 已知函数f x 的定义域关于原点对称 且满足以下三个条件 x1 x2是定义域中的数时 有f x1 x2 1 12 21 xfxf xfxf f a 1 a 0 a是定义域中的一个数 当 0 x 2a时 f x 0 试问 1 f x 的奇偶性如何 说明理由 2 在 0 4a 上 f x 的单调性如何 说明理由 分析 1 利用f x1 x2 f x1 x2 判定 f x 是奇函数 3 先证明f x 在 0 2a 上是增函数 再证明其在 2a 4a 上也是增函数 对于抽象函数的解答题 虽然不可用特殊模型代替求解 但可用特 殊模型理解题意 有些抽象函数问题 对