高三 圆锥曲线知识点总结

1 第八章第八章 圆锥曲线圆锥曲线 专题复习专题复习 一 椭圆方程 1 椭圆的第一定义 为端点的线段以 无轨迹 方程为椭圆 212121 2121 2121 2 2 2 FFFFaPFPF FFaPFPF FFaPFPF 2 椭圆的方程形式 椭圆的标准方程 i 中心在原点 焦点在 x 轴上 ii 中心在原点 焦点在轴上 0 1 2 2 2 2 ba b y a x y 0 1 2 2 2 2 ba b x a y 一般方程 椭圆的参数方程 的参数方程为 0 0 1 22 BAByAx 1 2 2 2 2 b y a x 一象限应是属于 sin cos by ax 2 0 注意 椭圆参数方程的推导 得方程的轨迹为椭圆 sin cos baN 3 椭圆的性质 顶点 或 轴 对称轴 x 轴 轴 长轴长 短轴长 0 0 ba 0 0 ba ya2b2 焦点 或 焦距 准线 或 0 0 cc 0 0 cc 22 21 2baccFF c a x 2 离心率 焦半径 c a y 2 10 e a c e i 设为椭圆上的一点 为左 右焦点 则 00 yxP 0 1 2 2 2 2 ba b y a x 21 F F 证明 由椭圆第二定义可知 归结起 0 0 000 2 200 2 01 xaexx c a epFxexa c a xepF 来为 左加右减 ii 设为椭圆上的一点 为上 下焦点 则 00 yxP 0 1 2 2 2 2 ba a y b x 21 F F 通径 垂直于 x 轴且过焦点的弦叫做通径 坐标 2 2 2b d a 22 bb cc aa 4 共离心率的椭圆系的方程 椭圆的离心率是 0 1 2 2 2 2 ba b y a x 22 bac a c e 方程是大于 0 的参数 的离心率也是 我们称此方程为共离心tt b y a x 2 2 2 2 0 ba a c e 率的椭圆系方程 5 若 P 是椭圆 上的点 为焦点 若 则的面积为1 2 2 2 2 b y a x 21 F F 21PF F 21F PF 1020 PFaexPFaex 1020 PFaeyPFaey asin acos bsin bcos N y x N的轨迹是椭圆 2 用余弦定理与可得 若是双曲线 则面积为 2 tan 2 baPFPF2 21 2 cot 2 b 二 双曲线方程 1 双曲线的第一定义 的一个端点的一条射线以 无轨迹 方程为双曲线 212121 2121 2121 2 2 2 FFFFaPFPF FFaPFPF FFaPFPF 2 双曲线的方程 双曲线标准方程 一般方程 0 1 0 1 2 2 2 2 2 2 2 2 ba b x a y ba b y a x 0 1 22 ACCyAx 3 双曲线的性质 i 焦点在 x 轴上 顶点 焦点 准线方程 渐近 0 0 aa 0 0 cc c a x 2 线方程 或ii 焦点在轴上 顶点 焦点 0 b y a x 0 2 2 2 2 b y a x y 0 0 aa 准线方程 渐近线方程 或 参数方程 0 0 cc c a y 2 0 b x a y 0 2 2 2 2 b x a y 或 tan sec by ax sec tan ay bx 轴为对称轴 实轴长为 2a 虚轴长为 2b 焦距 2c 离心率 准线距yx a c e 两准线的距离 通径 参数关系 焦半径公式 对于 c a22 a b22 a c ebac 222 双曲线方程 分别为双曲线的左 右焦点或分别为双曲线的上下焦点 1 2 2 2 2 b y a x 21 F F 长加短减 原则 构成满足 与椭圆焦半径不同 椭圆焦半 aexMF aexMF 02 01 aMFMF2 21 aexFM aexFM 02 01 径要带符号计算 而双曲线不带符号 aeyFM aeyFM aeyMF aeyMF 0 2 0 1 02 01 4 等轴双曲线 双曲线称为等轴双曲线 其渐近线方程为 离心率 222 ayx xy 2 e 5 共轭双曲线 以已知双曲线的虚轴为实轴 实轴为虚轴的双曲线 叫做已知双曲线的共 y x M M F1 F2 y x M M F1 F2 3 轭双曲线 与互为共轭双曲线 它们具有共同的渐近线 2 2 2 2 b y a x 2 2 2 2 b y a x 0 2 2 2 2 b y a x 6 共渐近线的双曲线系方程 的渐近线方程为如果双曲线 0 2 2 2 2 b y a x 0 2 2 2 2 b y a x 的渐近线为时 它的双曲线方程可设为 0 b y a x 0 2 2 2 2 b y a x 例如 若双曲线一条渐近线为且过 求双曲线的方程 xy 2 1 2 1 3 p 解 令双曲线的方程为 代入得 0 4 2 2 y x 2 1 3 1 28 22 yx 7 直线与双曲线的位置关系 区域 无切线 2 条与渐近线平行的直线 合计 2 条 区域 即定点在双曲线上 1 条切线 2 条与渐近线平行的直线 合计 3 条 区域 2 条切线 2 条与渐近线平行的直线 合计 4 条 区域 即定点在渐近线上且非原点 1 条切线 1 条与渐近线平行的直线 合计 2 条 区域 即过原点 无切线 无与渐近线平行的直线 注意 过定点作直线与双曲线有且仅有一个交点 可以作出的直线数目可能有 0 2 3 4 条 若直线与双曲线一支有交点 交点为二个时 求确定直线的斜率可用代入法 与渐近线求交和两根之和与两根之积同号 若 P 在双曲线 则常用结论 1 P 到焦点的距离为 m 与 n 则 P 到两1 2 2 2 2 b y a x 准线的距离比为 m n 简证 e PF e PF d d 2 1 2 1 n m 从双曲线一个焦点到另一条渐近线的距离等于 b 三 抛物线方程 设 抛物线的标准方程 类型及其几何性质 0 p pxy2 2 pxy2 2 pyx2 2 pyx2 2 图形 y x O y x O y x O y x O 焦点 0 2 p F 0 2 p F 2 0 p F 2 0 p F 准线 2 p x 2 p x 2 p y 2 p y y x F1F2 1 2 3 4 5 3 3 4 范围 Ryx 0Ryx 00 yRx0 yRx 对称轴轴x轴y 顶点 0 0 离心率1 e 焦点 1 2 x p PF 1 2 x p PF 1 2 y p PF 1 2 y p PF 注意 顶点 xcbyay 2 24 4 2 a b a bac 则焦点半径 则焦点半径为 0 2 2 ppxy 2 P xPF 0 2 2 ppyx 2 P yPF 通径为 2p 这是过焦点的所有弦中最短的 或 的参数方程为 或 为参数 pxy2 2 pyx2 2 pty ptx 2 2 2 2 2 2 pty ptx t 关于抛物线焦点弦的几个结论 设 AB 为过抛物线 y2 2px p 0 焦点的弦 A x1 y1 B x2 y2 直线 AB 的倾斜角为 则 x1x2 y1y2 p2 2 4 p AB 以 AB 为直径的圆与准线相切 焦点 F 对 A B 在准线上射影的张角为 2 2 sin p 900 112 FAFBP 四 圆锥曲线的统一定义 1 圆锥曲线的统一定义 平面内到定点 F 和定直线 的距离之比为常数 的点的轨迹 le 当时 轨迹为椭圆 10 e 当时 轨迹为抛物线 1 e 当时 轨迹为双曲线 1 e 当时 轨迹为圆 当时 0 e a c e bac 0 2 圆锥曲线方程具有对称性 例如 椭圆的标准方程对原点的一条直线与双曲线的交点是 关于原点对称的 因为具有对称性 所以欲证 AB CD 即证 AD 与 BC 的中点重合即可 3 当椭圆的焦点位置不明确 而无法确定其标准方程时 可设方程为 22 xy mn 1 m 0 n 0 且 m n 这样可以避免讨论和繁杂的运算 椭圆与双曲线的标准方程均可 用简单形式 mx2 ny2 1 mn 0 来表示 所不同的是 若方程表示椭圆 则要求 m 0 n 0 且 m n 若方程表示双曲线 则要求 mn 0 利用待定系数法求标准方程时 应注意此方法的合理使用 以避免讨论 4 双曲线是具有渐近线的曲线 复习中要注意以下两个问题 1 已知双曲线方程 求它的渐近线方程 将双曲线的标准方程 中的 22 22 1 xy ab 5 常数 1 换成 0 即得 0 然后分解因式即可得到其渐近线方程 22 22 xy ab 0 若求中心不在原点 对称轴平行于坐标轴的双曲线的渐近线方程 只需将双曲 xy ab 线方程 x y 分别配方 然后将常数 1 换成 0 再分解因式 则可得渐近线方程 例 如双曲线 1 的渐近线方程为 0 即 y 3 x 2 因此 如果 2 2 2 2 3 y x 2 2 2 2 3 y x 双曲线的方程已经确定 那么它的渐近线方程也就确定了 2 求已知渐近线的双曲线方程 已知渐近线方程为 0 时 可设双曲线方程axby 为 再利用其他条件确定的值 求法的实质是待定系数法 如 2222 0 a xb y 果已知双曲线的渐近线 双曲线方程却不是惟一确定的 5 在建立抛物线的标准方程的坐标系时 以抛物线的顶点为坐标原点 对称轴为一条坐标 轴建立坐标系 这样不仅具有对称性 而且曲线过原点 方程不含常数项 形式更为简单 便于应用 五 直线和圆锥曲线的位置关系 相交 相切 相离 1 直线 与圆锥曲线 C 位置关系的判断 判断直线 与圆锥曲线 C 的位置关系时 将直线 的方程代入曲线 C 的方程 消去 y 也可消去 x 得一个关于变量 x 或 y 的一元二次方程 ax2 bx c 0 当 a 0 时 若 0 则 与 C 相交 若 0 则 与 C 相切 若 0 则有 与 C 相离 当 a 0 时 即得到一个一次方程 若方程有解 则直线 与 C 相交 此时只有一个 公共点 若 C 为双曲线 则 平行于双曲线的渐近线 若 C 为抛物线 则 平行于抛物线的对称轴 注意 注意 当直线与双曲线 抛物线只有一个公共点时 直线和双曲线 抛物线可能相切 也可能相交 2 直线被圆锥曲线截得的弦长公式 斜率为 k 的直线被圆锥曲线截得弦 AB 6 设 则 弦长公式 当时 弦长公式还可以写成 注意 注意 利用这个公式求弦长时 应注意应用韦达定理 六 求曲线的方程 1 坐标法的定义 在直角坐标系中 用坐标表示点 把曲线看成满足某种条件的点的集合或轨迹 用曲 线上点的坐标 x y 所满足的方程表示曲线 通过研究方程的性质间接地来 研究曲线的性质 这就是坐标法 2 坐标法求曲线方程的步骤 建系 设点 点满足的几何条件坐标化 整理化简成最简形式 证明 可省略 但必 须删去增加的或者补上丢失的解 3 求轨迹方程的常用方法 直接法 定义法 代入法 参数法等 七七 规律方法指导规律方法指导 1 三种圆锥曲线定义 标准方程及简单几何性质的对比 椭圆双曲线抛物线 1 到两定点 F1 F2的距离之和 为定值 2a 2a F1F2 的点 的轨迹 1 到两定点 F1 F2的距离之差 的绝对值的为定值 2a 0 2a F1F2 的点的轨 迹 定义 2 与定点和定直线的距离之比 为定值 e 的点的轨迹 0 e 1 2 与定点和定直线的距离之比 为定值 e 的点的轨迹 e 1 与定点和定直线的距离 相等的点的轨迹 图形 方 程 标 准 7 方 程 参 数 方 程 参数为离心角 参数为离心角 t 为参数 范围 中心原点 O 0 0 原点 O 0 0 顶点 a 0 a 0 0 b 0 b a 0 a 0 0 0 对称轴 x 轴 y 轴 长轴长 2a 短轴长 2b x 轴 y 轴 实轴长 2a 虚轴长 2b x 轴 焦点F1 c 0 F2 c 0 F1 c 0 F2 c 0 焦距 离心率 e 1 准线 渐近线 2 有关圆锥曲线综合题类型 1 求圆锥曲线方程 一般求已知曲线类型的曲线方程问题 可采用 先定形 后定式 再定量 的步骤 定形 指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置 如果位置不确定时 考虑是否 多解 此时注意数形结合 在图形上标出已知条件 检查轴上的点 垂直于轴的直线的位 置是否准确等 定式 根据 形 设方程的形式 注意曲线系方程的应用 如当椭圆的焦点不确定 在哪个坐标轴上时 可设方程为mx2 ny2 1 m 0 n 0 定量 由题设中的条件找到 式 中特定系数的等量关系 通过解方程得到量的大 小 此处注意 n 个未知数 列够 n 个独立的方程 并注意 点在线上 条件及韦达定理的 使用 注意 求指定的圆锥曲线的方程是高考命题的重点 主要考查学生识图 画图 数形 结合 等价转化 分类讨论 逻辑推理 合 8 理运算及创新思维能力 解决好这类问题 除要求同学们熟练掌握好圆锥曲线的定义 性 质外 命题人还常常将它与对称问题 弦长问题 最值问题等综合在一起命制难度较大的 题 解决这类问题常用定义法和待定系数法 2 求取值范围或最值 函数方法 将待求范围参数表示为另一个变量的函数 注意求函数的定义域 方程与不等式组 n 个未知数 列够 n 个独立方程或不等式 注意归纳总结列不 等式的方法 利用几何性质求参数范围 利用不等式性质 结合几何性质 求参数范同 3 解析几何问题中 解决运算问题的几点措施 解析几何图形结构 问题结构多 且易于发散 一旦形成为图形或知识点的综合 往 往最具运算量 最为繁难复杂 因此 有时即便是明确了解法甚至较细的步骤 解题过程 当中也常常被卡住 算不到底 算不出正确结果也是常有的事 因此 如何解决运算量问 题 对于解题成功与否至关重要 解决运算问题 可以有以下措施 1 不断提高运算和恒等变形能力 注意培养观察问题 分析问题 转化问题 解决问 题的能力 避免 思维定势 提高思维灵活性 具体审题中多收集些信息 综观全局 权衡 利弊 再决定解题策略 加强训练运算基本功 不断提高恒等变形的能力 2 善于