二次函数y=ax2+bx+c的图像与性质ppt.ppt

二次函数y ax2 bx c图象和性质 一般地 抛物线y a x h k与y ax的相同 不同 2 2 知识回顾 形状 位置 y ax 2 y a x h k 2 上加下减 左加右减 知识回顾 抛物线y a x h 2 k有如下特点 1 当a 0时 开口 当a 0时 开口 向上 向下 2 对称轴是 3 顶点坐标是 直线X h h k 直线x 3 直线x 1 直线x 2 直线x 3 向上 向上 向下 向下 3 5 1 2 3 7 2 6 你能说出二次函数y x 6x 21图像的特征吗 2 1 2 探究 如何画出的图象呢 我们知道 像y a x h 2 k这样的函数 容易确定相应抛物线的顶点为 h k 二次函数也能化成这样的形式吗 配方 y x 6 3 2 1 2 你知道是怎样配方的吗 1 提 提出二次项系数 2 配 括号内配成完全平方 3 化 化成顶点式 归纳 二次函数y x 6x 21图象的画法 1 化 化成顶点式 2 定 确定开口方向 对称轴 顶点坐标 3 画 列表 描点 连线 2 1 2 画二次函数的图象取点时先确定顶点 再在顶点的两旁对称地取相同数量的点 一般取5 7个点即可 注意 求二次函数y ax bx c的对称轴和顶点坐标 函数y ax bx c的顶点是 配方 提取二次项系数 配方 加上再减去一次项系数绝对值一半的平方 整理 前三项化为平方形式 后两项合并同类项 化简 去掉中括号 这个结果通常称为求顶点坐标公式 函数y ax bx c的对称轴 顶点坐标是什么 1 说出下列函数的开口方向 对称轴 顶点坐标 函数y ax bx c的对称轴 顶点坐标是什么 对于y ax2 bx c我们可以确定它的开口方向 求出它的对称轴 顶点坐标 与y轴的交点坐标 与x轴的交点坐标 有交点时 这样就可以画出它的大致图象 方法归纳 二次函数y ax2 bx c a 0 的图象和性质 顶点坐标与对称轴 位置与开口方向 增减性与最值 抛物线 顶点坐标 对称轴 位置 开口方向 增减性 最值 y ax2 bx c a 0 y ax2 bx c a 0 由a b和c的符号确定 由a b和c的符号确定 向上 向下 在对称轴的左侧 y随着x的增大而减小 在对称轴的右侧 y随着x的增大而增大 在对称轴的左侧 y随着x的增大而增大 在对称轴的右侧 y随着x的增大而减小 根据图形填表 图象的画法 步骤 1 利用配方法或公式法把 化为 的形式 2 确定抛物线的开口方向 对称轴及顶点坐标 3 在对称轴的两侧以顶点为中心左右对称描点画图 所以当x 2时 解法一 配方法 例当x取何值时 二次函数有最大值或最小值 最大值或最小值是多少 因为所以当x 2时 因为a 2 0 抛物线有最低点 所以y有最小值 总结 求二次函数最值 有两个方法 1 用配方法 2 用公式法 解法二 公式法 又 例已知函数 当x为何值时 函数值y随自变量的值的增大而减小 解法一 抛物线开口向下 对称轴是直线x 3 当x 3时 y随x的增大而减小 解法二 抛物线开口向下 对称轴是直线x 3 当x 3时 y随x的增大而减小 例已知二次函数 的最大值是0 求此函数的解析式 解 此函数图象开口应向下 且顶点纵坐标的值为0 所以应满足以下的条件组 由 解方程得 所求函数解析式为 练习1 已知抛物线y ax2 bx c与抛物线y 2x2形状相同 且顶点坐标为 1 5 的函数解析式为 2 若抛物线y a x m 2 n的图象与函数y 2x2的图象的形状相同 且顶点为 3 2 则函数的解析式为 3 已知抛物线y ax2 bx c与抛物线y x2形状相同 但开口方向相反 且顶点坐标为 1 5 的函数解析式为 4 抛物线y x2 mx n的顶点坐标是 2 3 求m n的值 5 不画图象 说明抛物线y x2 4x 5可由抛物线y x2经过怎样的平移得到 y 2x2 5x 3 y x 3 x 2 y x2 4x 9 求下列二次函数图像的开口 顶点 对称轴 请画出草图 小试牛刀 3 9 6 抛物线位置与系数a b c的关系 a决定抛物线的开口方向 a 0开口向上 a 0开口向下 x y c 0 图象与y轴交点在y轴负半轴 c决定抛物线与y轴交点 0 c 的位置 c 0 图象与y轴交点在y轴正半轴 c 0 图象过原点 x y a b决定抛物线对称轴的位置 对称轴是直线x a b同号 对称轴在y轴左侧 b 0 对称轴是y轴 a b异号 对称轴在y轴右侧 o x y 左同右异 y o x y o x 图1 图2 o x y X 1 o x y X 1 o x y 顶点坐标是 y x 6 二次函数有最大或最小值由a决定 当x 时 y有最大 最小 值 y x y x x 能否说出它们的增减性呢 7 b2 4ac决定抛物线与x轴交点情况 y o x y o x y o x 0 抛物线与x轴有两个交点 0 抛物线与x轴有唯一的公式点 0 抛物线与x轴无交点 7 b2 4ac决定抛物线与x轴交点情况 y o x y o x y o x 0 抛物线与x轴有两个交点 0 抛物线与x轴有唯一的公式点 0 抛物线与x轴无交点 c决定抛物线与y轴交点的位置 c 0 图象与y轴交点在x轴上方 c 0 图象过原点 c 0 图象与y轴交点在x轴下方 顶点坐标是 5 二次函数有最大或最小值由a决定 当x 时 y有最大 最小 值y b 2a 4a 4ac b 2 1 例2 已知函数y ax2 bx c的图象如下图所示 x 为该图象的对称轴 根据图象信息你能得到关于系数a b c的一些什么结论 y 1 x 1 抛物线y 2x2 8x 11的顶点在 A 第一象限B 第二象限C 第三象限D 第四象限2 不论k取任何实数 抛物线y a x k 2 k a 0 的顶点都在 A 直线y x上B 直线y x上C x轴上D y轴上3 若二次函数y ax2 4x a 1的最小值是2 则a的值是 A4B 1C 3D 4或 1 C B A 4 若二次函数y ax2 bx c的图象如下 与x轴的一个交点为 1 0 则下列各式中不成立的是 A b2 4ac 0B 0 5 若把抛物线y x2 2x 1向右平移2个单位 再向下平移3个单位 得抛物线y x2 bx c 则 A b 2c 6B b 6 c 6C b 8c 6D b 8 c 18 B B 6 若一次函数y ax b的图象经过第二 三 四象限 则二次函数y ax2 bx 3的大致图象是 7 在同一直角坐标系中 二次函数y ax2 bx c与一次函数y ax c的大致图象可能是 C C 二次函数y ax2 bx c a 0 的图象和性质 顶点坐标与对称轴 位置与开口方向 增减性与最值 抛物线 顶点坐标 对称轴 位置 开口方向 增减性 最值 y ax2 bx c a 0 y ax2 bx c a 0 由a b和c的符号确定 由a b和c的符号确定 向上 向下 在对称轴的左侧 y随着x的增大而减小 在对称轴的右侧 y随着x的增大而增大 在对称轴的左侧 y随着x的增大而增大 在对称轴的右侧 y随着x的增大而减小 根据图形填表 五 学习回顾 填写表格 1 相同点 1 形状相同 图像都是抛物线 开口方向相同 2 都是轴对称图形 3 都有最 大或小 值 4 a 0时 开口向上 在对称轴左侧 y都随x的增大而减小 在对称轴右侧 y都随x的增大而增大 a 0时 开口向下 在对称轴左侧 y都随x的增大而增大 在对称轴右侧 y都随x的增大而减小 驶向胜利的彼岸 回味无穷 二次函数y ax2 bx c a 0 与 ax 的关系 2 不同点 1 位置不同 2 顶点不同 分别是和 0 0 3 对称轴不同 分别是和y轴 4 最值不同 分别