机理法建立系统的模型(071120)

第第 1 2 节节 数数 学学 模模 型型 为了分析研究系统 常常要建立系统的模型 模型可分为两类 一类是物理模型 如小 型实验装置 或模拟模型 如利用相似规律 用电路或网络来模拟实际物理过程 另一类是 数学模型 即用一定的数学方程式来描述系统 由于科学技术的发展 利用数学模型来分 析研究系统的方法得到了越来越广泛的应用 数学模型已从分析研究的工具 进一步发展 为直接应用于实际 解决实际问题的手段 实际系统是五花八门的 情况也比较复杂 加上研究分析系统的目的不同 数学模型 的形式也是很多的 从建立数学模型的方法来说大体上有以下两种 1 按照系统运动的机理和规律建立数学模型 例如对于生产过程 通常可按照物质守 恒 能量守恒和其他有关规律给出的关系式建立数学模型 但结果不但给出系统输 入输出变量之间的关系 也给出系统状态和输入输出之间的关系 使人们对系统有 一个比较清晰的了解 故有时称为 白箱模型 2 假设系统符合某种形式的数学方程式 测取系统的输入和输出变量 以一定数学方 法确定模型中有关参数 并可对模型的结构作某些修改 从而得到系统输入与输出之间的 数学模型 但系统的状态 即系统内部如何运动不得而知 故又称为 黑箱模型 3 这两种建立数学模型的方法可以说都是一大门类的学科体系 第一种方法可以得到 系统的详细描述 但必须对系统或过程作深入的研究分析 成为 过程动态学 这一分支 学科 第二种方法已发展成为 系统辨识 这一分支学科 尽管第一种方法对系统有详细 的描述 在系统的设计阶段就可以发挥作用 但要得到一个满意的结果 尤其是对一个比 较复杂的系统 常常是很困难的 这是后一种方法应运而生的主要原因 对这两种方法的 详细讨论超出本书的范围 有兴趣的读者可参阅有关文献 本书只对数学模型的一般特征 加以讨论 并着重于机理分析 对大多数工业生产过程来说 可用下述一般规律来描述 1 1 12 d d x CQ x u tQ x u tS x u t t 式中 称为系统或过程的状态变量 如温度 压力等 x 输入变量 u 容量 表示系统状态变量变化一个单位时 系统内部贮存物质量或能量的C 变化量 源或流 单位时间内由系统 或过程 本身产生或吸收的物质量或能量 S 单位时间内流入系统的物质量或能量 1 Q 单位时间内流出系统的物质量或能量 2 Q 时间 T 式 1 1 是物质守恒或能量守恒的具体表现 流入系统的物质流或能量流 加系统 1 Q 本身产生的物质流或能量流 减去流出系统的物质流或能量流 成为单位时间内贮存S 2 Q 于系统中的物质量或能量 它使系统的状态变量发生变化 的变化速率与贮存于xx d d x t 系统中的物质或能量流成正比 其比例系数即为容量 C 系统中温度 状态变量 的变化 说明系统中贮存的热量发生了变化 它是由于流入 与流出系统的能量的不同引起的 其中包括系统本身的源或流 例如一个进行化学反应的 化学反应器 反应过程中单位时间内放出的热量形成源 当流入流出的热量不相等时 系 统的状态 温度就会发生变化 其变化速率是单位时间内积蓄的热量 也就是单位时间内 流入流出热量差除以热容 温度变化一个单位所需的热量 容器中贮存物质里的变化 对液体或固体表现为液体或固体料位的变化 对气体表现为 容器压力的变化 液位 料位 压力是系统的状态变量 它们的变化是因为流入流出容器 的物质变化所引起的 容器的截面积越大 即容量越大 在同样的条件下 状态变量的变 化速率越小 d d x t 运动着的物体当以其速度 状态变量 发生变化时 意味着物体中贮存动能的变化 这是由于作用于物体的力或力矩变化 做功 而引起的 物体的质量或转动惯量就是它的 容量 容量越大 同样的速度变化 加速度或角加速度 所需的功 力 越大 在电路中 电容上电压的变化说明电容中贮存的电场能量发生变化 这是由于电容上 积蓄或释放电流而引起的 电容的大小就是其容量 电容越大 电容上同样的电压变化率 所需要的电流越大 电感中电流的变化则说明电感中贮存的磁场能量的变化 电感的大小 反应容量的大小 电感越大 流过电感的同样电流的变化率所需的电压越大 一般地说 流入流出系统的物质流或能量流或 以及源或流不仅是输入变量的函 1 Q 2 Q 数 常常还是系统变量的函数 例如化学反应器中温度的变化 使反应物料带入或带出的 热量流发生变化 同时也因反应速度的变化 使反应过程中放出或需要的反应热发生变化 气体容器中的压力增高 使流入的量因压差减小而减小 流出的量因压差增大而增大 运 动着的物体的速度增加后 常常使运动的阻力增加 电容上电压的增加 使电压差减小 因而使流入的电流减小 电感中电流的增大 使电路上压降增大 电感两端电压减小 因 此在式 1 1 中 一般的说 均为输入变量 状态变量和时间的函数 1 Q 2 QSUx 在某些特定的情况下 和可与状态变量无关 1 Q 2 QS 实际系统常常不像式 1 1 那样简单 主要有以下几种情况 1 一个系统中往往有多个储能元件 相应地有多个状态变量 因此要用一组式 1 1 那样的微分方程描述 系统的输入输出变量也往往有多个相互独立的量 形成多入多出的高阶 维 系统 2 在很多实际情况下 状态变量不仅仅是时间的函数 也是空间位置的函数 如 管式化学反应器 其温度是沿着管长而不同的 这时式 1 1 只适用于管长的 一个微元体内 系统的完整描述要用偏微分方程 这种系统称为分布参数系统 亦称为无限维系统 因为系统是由无穷多个微元体构成的 每个微元体都有相 应的状态变量 3 实际系统中常常包含有一些随机变化或不确定的因素 受各种随机干扰的影响 使系统的状态变量 输入输出变量是随机变化的 成为随机性系统 无论怎样复杂的系统 都可以用式 1 1 作为其基本的描述 这一描述反映了系统的 两个基本特征 1 储存性 储存性的一个含义是说系统的内部有储能或物质的元件 系统状态的变化是系统内部 储能或物质量发生变化的反映 系统的输入输出变量 是影响流入或流出系统的物质量或 能量变化的一个因素 储存性的另一个含义是系统当前时刻的状态变量或输出变量 保存过去时刻的信息 这是因为系统具有储能和物质量的特点 而流入流出能量或物质量的大小是有限的 物质 量或能量的流动具有一定的 阻力 使系统的状态不可能有阶跃跳动 因而输出变量对系 统输入的变化有一个相应的过程 或者说在系统输入不变以后 状态变量仍会有所变化 好像是储存了历史的输入信息 或者说 状态或输出变量对输入的变化有 滞后 现象 系统的存储性对分析实际问题有指导意义的 例如图 1 3 所示多侧线分馏塔 常常提出这 样的问题 为什么 流出量之和 不等于 流入量 是否仪表不准确 而常见 5 1i i Q 0 Q 仪表维护人员说 表都校对过了 是准的 因此 我们必须分析分馏塔内是否有积蓄量 的变化 是否稳定 也就是分馏塔的状态 温度 压力 液位 组分等 是否有变化 而 不能认为不变就是稳定了 因在塔内积蓄量或状态有变化时 自然不会满足 0 Q 0i QQ 显然 这种储存作用与系统的容量有关 容量 越大 在其他条件相同时 储存作用越大 2 因果性 因果性也有两种含义 其一是说系统状态 或输出变化是有原因的 它是由系统的输入 或者说流入和流出系统的物质流或能量流的变 化而引起的 这一点是很明显的 因果性的另一层含义指未来的输入不会影 响现在的输出或现在的状态变量 只有现在的 状态变量和现在与未来的输入才会影响现在和未来的状态和输出 0 tX 0 tU 储存性和因果性都是客观存在的事实 由于这两个特性 在研究系统输入输出和状态 变量之间的关系时 需要注意以下事实 对所研究的系统 若只知道当前时刻及其以后 0 t 未来 的输入是不能唯一确定以后的状态和输出的 这是因为系统 0 tU 0 t 0 tY 具有储存性 即使在后输入作用不变 即等于零 系统的状态和输出仍会有所 0 t 0 tU 变化 其变化的大小是由系统过去的输入或当前的状态所决定的 在 0 tU 0 tX 以后的变化 由于系统状态具有储存性 不仅与有关 而且与历史的输入 0 t 0 tU 亦有关 或者说不仅与有关 与系统时刻的状态 在数学上 0 tU 0 tU 0 t 0 tX 常常称为初始状态 亦有关 例如图 1 3 所示塔底液位 当塔底抽出量增大以后 也为是否下降 由于抽出量只 5 Q 是一个输入变量 即使在其他流量不变的情况下 液位的变化还取决于增大时的初始状 5 Q 态 若此刻液位的状态是上升的 而增大的作用不足抵消初值的影响 液位将继续上升 5 Q 只是上升的速度降低而已 如果系统在后的状态或输出只与时刻以后的输入有关 0 t 0 tX 0 tY 0 t 0 tU 图1 3 分分 馏馏 塔塔 Q1 Q5 Q4 Q3 Q2 Q0 而与无关 则称系统是松弛的 显然 若历史的输入作用对系统的影响已经消 0 tX 失 且系统的输入在时刻以前不再变化 即系统处于稳定或平衡状态 则系统是松弛的 0 t 如以平衡状态为系统状态变量的坐标原点 则此时 时刻 系统的初始状态 X 0 t 0 t 0 也就是说 若初始状态为零 则系统必是松弛的 但系统是松弛 未必初始状态为零 第第 1 3 节节 实实 例例 例 1 1 热水混合罐 图 1 4 及其控制系统 控制系统的功能是维持罐内水温一定 水位的高度也应在给定的范围内 为此设置了 温度调节器 TC 和水位调节器 LC 由热偶和液位变送器测得的温度和水位信号 送给相应 的调节器 并与给定的和比较以后 按一定的规律去调节阀门和 以维持温 s T s H 1 U 2 T 度和水位一定 由于热水和冷水的温度和是变化的 阀门的开度也是因用水量要 1 T 2 T3U 求不同而变化 设置温度和水位调节器是很必要的 U1 T1Q1 Q2 T2 Ts TC T U3Q3 Hs H U2 图 1 4 a 实际系统 LS 将系统划分为调节器和热水槽两部分 可得图 1 4 b 所示的框图 对热水罐来说 我们要研究的是 和 输入 对水位高度和水温的关系 1 U 2 U 3 U 1 T 2 THT 罐内水位的变化是罐内储水量变化的反映 按物料平衡可列出下式 1 2 123 d d H FQQQ t 其中 是罐的截面积 容量 设为常数 F 设 只与阀门的开度有关 即 1 Q 2 Q 1 3a 111 UQQ 1 3b 222 UQQ 则不仅与阀门开度有关 且与水位高度 H 形成的压力有关 设水的重度不 随温 3 Q 度 变 可到出下式 是常数 1 33 HUkQ v v k 3c 对于罐内温度的变化 可按照热量守恒关系写出相应的关系式 为简单起见 假设罐 内各处温度是均匀的 且 T T3 忽略散热损失 则有 热热水水罐罐 调调节节器器 T1 T2 U3 U2 U1 H T Hs 图1 4 b 系统框图 Ts 1 4 112233 d d T www C T SQ TSQ TSQ T t 其中 是水的比热容 设为常数 w S 是罐的热容量 即罐中所有的水温升高所需要的热量 由于罐中水位的变化 T CC 1 热容量也是变化的 可由下式 1 5 TW CSF H 1 6 d dd ddd T ww C THT SF TSF H ttt 将式 1 2 和式 1 5 代入 1 6 得 1 1122 d d T FHQ TTQ TT t 7 写成状态方程式 令 TXHX 21 1 2121212 543211 2 1 UUTTXXf UUTTXXf X X T H 8 其中 1 13322111 XUQUQUQ F f 1 22222111 1 2 XTUQXTUQ FX f d d H H t d d T X t d d x X t 尽管热水混合罐不是一个很复杂的系统 并且在推导数学模型的过程中作出了一定的 假设 其结果还是一个不易求解的非线性微分方程组 这一系统的存储性是很明显的 由于储存 性和因果性 温度和水位一般不会有阶跃式的 变化 且其变化不仅与输入有关 也与初始状 态有关 例如 若某瞬间将开大 其他均不 1 U 变 罐中水位是否一定升高 水温是否一 1n L 定下降 答案都是否定的 请读者自行考虑 Vn Vn 1 图 1 5 分馏塔板 Ln Ln 1 例 1 2 分馏塔 分馏塔主要部分是各层塔板 对各层塔板都可以写出相似的数学模型 这里仅以无进 出料的塔板为例 1 5 N 表示塔板序号 是上一层塔板流到本层的液体流量 是 1 n L n L 本层流到下一层的液体流量 和分别表示本层和下一层往上层的汽相流量 假设汽 n V 1 n V 油两相只在塔板上进行传热与传质 可写出下述数学模型 按物料平衡有 1 9 11 d d n nnnn M LLVV t 按焓平衡有 1 10 1111 d d nn nnnnnnnn M h LhL hVHV H t 按组分平衡有 1 11 11 11 d d nn j nnjnn jnnjnn j M X LXL XVYV Y t 式中 第 n 层塔板上的液相滞留量 n M 汽相热焓 H 液相热焓 h 第 n 层塔板 第 j 个液相组分浓度 jn X 第 n 层塔板 第 j 个汽相组分浓度 jn Y 一般地说 都是状态变量 温度 焓 和组分 11 nnnn VVLL n M 的 函数 同时还要满足有关规律 例如 1 相平衡规律 1 jnjnjn XkY 12 其中 k 为相平衡系数 2 归一化方程 1 1 1 n C j jn X 13a 露点和泡点方程 1 n C j jn Y 1 1 13b 3 塔板水利学方程 1 3 2 0nnn kLMM 14 可以看到 塔板数学模型不仅是非线性的 随着组分数的增加 所需的方程数也增 n C 加 再考虑到一个分馏塔往往有几十层塔板 对一个分馏塔来说 其方程个数常常在 100 个以上 这些都为方程的求解带来不少困难 例 1 3催化裂化装置提升管式反应器 图 1 6 反映物料进入提升管后 由 于催化剂具有较高的温度而全部汽化 在催化剂的作用下产生以裂化为主的 吸热反应 同时产生焦炭沉积在催化 剂上 使催化剂的活性降低 沿提升 管的高度 活性逐渐降低 反应速度 逐渐降低 反应温度也逐渐降低 反 应物的重度因不断裂化 也沿高度逐 渐降低 因此 这是一个典型的分布 参数系统 式 1 1 所示的关系式只 能在沿高度的一个微元体内适用 用 z 表示提升管的高度 在微元体 dz 内的热平衡关系式可用下式描述 见图 1 6 在时间内 微元体内积蓄的热量是 t z 0rac CzTQ