数学必修一全部知识点+经典题+解析

数学必修一看题复习数学必修一看题复习 注 以下内容总结了数学必修一常考题型 请认真看完每一种类型的题目 题目给出了相应的解析 若解注 以下内容总结了数学必修一常考题型 请认真看完每一种类型的题目 题目给出了相应的解析 若解 析仍然看不懂 带着问题看每道例题前面的基础知识复习 析仍然看不懂 带着问题看每道例题前面的基础知识复习 注 看题时注意动笔写一写 本次要求是熟练每种题目的做题方法 以看和记忆为主 注 看题时注意动笔写一写 本次要求是熟练每种题目的做题方法 以看和记忆为主 集合部分集合部分 考点一 集合的定义及其关系考点一 集合的定义及其关系 基础知识复习 1 集合的概念 集合中的元素具有确定性 互异性和无序性 2 常用数集及其记法 表示自然数集 或表示正整数集 表示整数集 表示有理数集 表NN N ZQR 示实数集 3 集合与元素间的关系 对象与集合的关系是 或者 两者必居其一 aMaM aM 4 集合的表示法 自然语言法 用文字叙述的形式来描述集合 列举法 把集合中的元素一一列举出来 写在大括号内表示集合 描述法 具有的性质 其中为集合的代表元素 xxx 图示法 用数轴或韦恩图来表示集合 5 集合的分类 含有有限个元素的集合叫做有限集 含有无限个元素的集合叫做无限集 不含有任何元素的集合叫做空集 6 子集 真子集 集合相等 名称记号意义性质示意图 子集 BA 或 AB A 中的任一 元素都属 于 B 1 AA 2 A 3 若且BA 则BC AC 4 若且BA 则BA AB A B 或 BA 真子集 AB 或 BA BA 且 B 中至 少有一元 素不属于 A 1 A 为 A 非空子集 2 若且AB BA AB BA ABAB A B C D 则BC AC 集合 相等 AB A 中的任一 元素都属 于 B B 中 的任一元 素都属于 A 1 AB 2 BA A B 7 已知集合有个元素 则它有个子集 它有个真子集 它有个A 1 n n 2n21 n 21 n 非空子集 它有非空真子集 22 n 题型 1 集合元素的基本特征 例 1 2008 年江西理 定义集合运算 A Bz zxy xA yB 设 1 2 0 2AB 则集合A B 的所有元素之和为 A 0 B 2 C 3 D 6 解题思路 根据A B 的定义 让x在A中逐一取值 让y在B中逐一取值 xy在值就是 A B 的元素 解析 正确解答本题 必需清楚集合A B 中的元素 显然 根据题中定义的集合运算知 A B 4 2 0 故应选择 D 题型 2 集合间的基本关系 例 2 1 数集 ZnnX 12 与 ZkkY 14 之的关系是 A XY B YX C YX D YX 解题思路 可有两种思路 一是将X和Y的元素列举出来 然后进行判断 也可依选择支 之间的关系进行判断 解析 从题意看 数集X与Y之间必然有关系 如果 A 成立 则 D 就成立 这不可能 同样 B 也不能成立 而如果 D 成立 则 A B 中必有一个成立 这也不可能 所以只能是 C 例 2 2 设集合 则下列图形能表示 A 与 B 1 22 n nxnnAx xBx Z Z 关系的 是 解解 简单列举两个集合的一些元素 3113 1 0 1 2222 A 31 1 3 22 2 2 B 易知 BA 故答案选 A 例 2 3 若集合 且 求实数的值 2 60 10Mx xxNx ax NM a 解解 由 因此 i 若若时 得时 得 此时 2 6023xxx 或 2 3M 0a N NM ii 若时 得 若 满足 解得 0a 1 N a NM 11 23 aa 或 11 23 aa 或 故所求实数的值为或或a0 1 2 1 3 考点二 集合的基本运算考点二 集合的基本运算 基础知识复习基础知识复习 1 交集的定义交集的定义 一般地 由所有属于 A 且属于 B 的元素所组成的集合 叫做 A B 的交集 记作 A B 读作 A 交 B 即 A B x x A 且 x B 2 并集的定义并集的定义 一般地 由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素所组成的集合 叫做 A B 的并集 记作 A B 读作 A 并 B 即 A B x x A 或 x B 3 交集与并集的性质 A A A A A B B A A A A A A A B B A 4 全集与补集全集与补集 1 全集 如果集合 S 含有我们所要研究的各个集合的全部元素 这个集合就可以看作一 个全集 通常用 U 来表示 2 补集 设 S 是一个集合 A 是 S 的一个子集 即 AS 由 S 中 所有不属于 A 的元素组成的集合 叫做 S 中子集 A 的补集 或余集 记作 CSA 即 CSA x xS 且 xA 3 性质 CU C UA A C UA A C UA A U 4 C UA C UB C U A B 5 C UA C UB C U A B 例 3 1 设集合 023 2 xxxA 0 5 1 2 22 axaxxB 1 若 2 BA 求实数a的值 注 这里的 注 这里的 I 指的是交 指的是交 Y 指的是并 指的是并 2 若ABA 求实数a的取值范围 解题思路 对于含参数的集合的运算 首先解出不含参数的集合 然后根据已知条件求参 数 解析 因为 2 1023 2 xxxA 1 由 2 BA 知 B 2 从而得0 5 1 42 22 aa 即 034 2 aa 解得1 a或3 a 当1 a时 2 204 2 xxB 满足条件 当3 a时 2044 2 xxxB 满足条件 所以1 a或3 a 2 对于集合B 由 3 8 5 4 1 4 22 aaa 因为ABA 所以AB S CsA A 当0 即3 a时 B 满足条件 当0 即3 a时 2 B 满足条件 当0 即3 a时 2 1 AB才能满足条件 由根与系数的关系得 7 2 5 521 1 221 2 2 a a a a 矛盾 故实数a的取值范围是3 a 例 3 2 已知集合 且 求实数 m 的取值范围 24 Axx Bx xm ABA 注 这里的 注 这里的 I 指的是交 指的是交 Y 指的是并 指的是并 解解 由 可得 ABA AB 在数轴上表示集合 A 与集合 B 如右图所示 由图形可知 4m 例 3 3 设集合 若 求实数的值 2 4 21 9 5 1AaaBaa 9AB a 注 这里的 注 这里的 I 指的是交 指的是交 Y 指的是并 指的是并 解解 由于 且 则有 2 4 21 9 5 1AaaBaa 9AB 当解得 此时 不合题意 故舍去 21 9 a 时 5a 4 9 25 9 0 4 AB 当时 解得 2 9a 33a 或 不合题意 故舍去 3 4 5 9 9 2 2 aAB 时 合题意 3 4 7 9 9 8 4 aAB 所以 3a 函数部分函数部分 考点一 判断两函数是否为同一个函数考点一 判断两函数是否为同一个函数 基础知识复习基础知识复习 1 构成函数的三要素 定义域 对应关系和值域 注意 1 构成函数三个要素是定义域 对应关系和值域 由于值域是由定义域和对应关 系决定的 所以 如果两个函数的定义域和对应关系完全一致 即称这两个函数相等 或 为同一函数 2 两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致 而与表示自变量和函数值 的字母无关 相同函数的判断方法 定义域一致 表达式相同 两点必须同时具备 例 1 试判断以下各组函数是否表示同一函数 1 2 xxf 33 xxg 2 x x xf 01 01 x x xg 2 4 m x B A 4 m x 3 1212 nn xxf 1212 nn xxg n N 4 xxf 1 x xxxg 2 5 12 2 xxxf 12 2 tttg 解题思路 要判断两个函数是否表示同一个函数 就要考查函数的三要素 解析 1 由于xxxf 2 xxxg 33 故它们的值域及对应法则都不相 同 所以它们不是同一函数 2 由于函数 x x xf 的定义域为 0 0 而 01 01 x x xg的定 义域为 R 所以它们不是同一函数 3 由于当 n N 时 2n 1 为奇数 xxxf nn 1212 xxxg nn 1212 它们的定义域 值域及对应法则都相同 所以它们是同一函数 4 由于函数xxf 1 x的定义域为 0 xx 而xxxg 2 的定义域 为 10 xxx或 它们的定义域不同 所以它们不是同一函数 5 函数的定义域 值域和对应法则都相同 所以它们是同一函数 答案 1 2 4 不是 3 5 是同一函数 考点二 求函数的定义域 值域考点二 求函数的定义域 值域 知识点复习 知识点复习 1 求函数的定义域时 一般遵循以下原则 是整式时 定义域是全体实数 f x 是分式函数时 定义域是使分母不为零的一切实数 f x 是偶次根式时 定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合 f x 对数函数的真数大于零 当对数或指数函数的底数中含变量时 底数须大于零且不 等于 1 中 tanyx 2 xkkZ 零 负 指数幂的底数不能为零 没有 0 的 0 次方 也没有 0 的负数次方 若是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时 则其定义域一般是各 f x 基本初等函数的定义域的交集 对于求复合函数定义域问题 主要记住两个个问题 对于求复合函数定义域问题 主要记住两个个问题 1 1 定义域指的是一个 定义域指的是一个 x x 的取值的取值 范围 范围 2 2 括号范围对括号范围 例如 括号范围对括号范围 例如 f x 1 定义域是 定义域是 1 2 求 求 f 2x 定义域 定义域 先求第一个括号的范围先求第一个括号的范围 x 1 属于 属于 2 3 所以 所以 2x 属于 属于 2 3 所以 所以 x 属于 属于 1 3 2 对于含字母参数的函数 求其定义域 根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨 论 由实际问题确定的函数 其定义域除使函数有意义外 还要符合问题的实际意义 2 2 求值域的几种方法 1 配方法 对于 可化为 二次函数型 的函数常用配方法 2 基本函数法 一些由基本函数复合而成的函数可以利用基本函数的值域来求 如函数 32 log 2 2 1 xxy就是利用函数uy 2 1 log 和32 2 xxu的值域来求 3 判别式法 通过对二次方程的实根的判别求值域 如求函数 22 12 2 xx x y的值域 由 22 12 2 xx x y得012 1 2 2 yxyyx 若0 y 则得 2 1 x 所以 0 y是函数值域中的一个值 若0 y 则由0 12 4 1 2 2 yyy得 0 2 133 2 133 yy且 故所求值域是 2 133 2 133 4 分离常数法分离常数法 常用来求 分式型 函数的值域 已知 cos x 属于 1 1 如求函数 1cos 3cos2 x x y的值域 因为 1cos 5 2 1cos 3cos2 xx x y 因为 cos x 属于 1 1 所以 2 0 1cos x 所以 2 5 1cos 5 x 故 2 1 y 5 利用对号函数求值域 如求函数 4 3 2 x x y的值域 1 当0 x时 0 y 2 当0 x时 x x y 4 3 若0 x 则 x 4 x 的最小值是 4 可得 0 y 3 4 若0 x 则 x 4 x 的最大值是 4 可得 3 4 y 0 综上所述 此时从而得所求值域是 4 3 4 3 6 6 换元法 通过变量代换达到化繁为简 化难为易的目的 在一个表达式中频繁出现的 换元法 通过变量代换达到化繁为简 化难为易的目的 在一个表达式中频繁出现的 部分换成部分换成 t t 注意换元后新元的取值范围 另 注意换元后新元的取值范围 另 t t 则 则 t t 属于属于 7 图象法 如果函数的图象比较容易作出 则可根据图象直观地得出函数的值域 求某 些分段函数的值域常用此法 题型 1 求有解析式的函数的定义域 例 2 08 年湖北 函数 xf 4323ln 1 22 xxxx x 的定义域为 注 这里的 注 这里的 I 指的是交 指的是交 Y 指的是并 指的是并 A 2 4 B 1 0 0 4 C 1 0 0 4 D 1 0 0 4 解题思路 函数的定义域应是使得函数表达式的各个部分都有意义的自变量的取值范围 解析 欲使函数 xf有意义 必须并且只需 0 04323 043 023 22 2 2 x xxxx xx xx 1 0 0 4 x 故应选择D 题型 2 求抽象函数的定义域 例 3 2006 湖北 设 x x xf 2 2 lg 则 x f x f 2 2 的定义域为 注 这里的 注 这里的 I 指的是交 指的是交 Y 指的是并 指的是并 A 4 00 4 B 4 11 4 C 2 11 2 D 4 22 4 解题思路 要求复合函数 x f x f 2 2 的定义域 应先求 xf的定义域 解析 由 2 0 2 x x 得 f x的定义域为22x 故 22 2 2 22 x x 解得 4 11 4x 故 x f x f 2 2 的定义域为 4 11 4 选 B 题型 3 求函数的值域 例 4 求下列函数的定义域与值域 1 2 32 54 x y x 2 2yxx 解解 1 要使函数有意义 则 解得 所以原函数的定义域是540 x 5 4 x 5 4 x x 所以值域为 32112813 45 2332333 0 5445445445444 xxx y xxxx 3 4 y y 2 所以原函数的定义域是 R 值域是 22 19 2 24 yxxx 9 4 考点三 映射的概念考点三 映射的概念 基础知识复习基础知识复习 映射的概念 设 是两个集合 如果按照某种对应法则 对于集合中任何一个元素 在集ABfA 合中都有唯一的元素和它对应 那么这样的对应 包括集合 以及到的对BABAB 应法则 叫做集合到的映射 记作 fAB fAB 给定一个集合到集合的映射 且 如果元素和元素对应 那么我AB aA bB ab 们把元素叫做元素的象 元素叫做元素的原象 baab 例 5 06 陕西 为确保信息安全 信息需加密传输 发送方由明文 密文 加密 接 收方由密文 明文 解密 已知加密规则为 明文 a b c d对应密文 2 2 23 4 abbccdd 例如 明文1 2 3 4对应密文5 7 18 16 当接收方收到密文 14 9 23 28时 则解密得到的明文为 A 7 6 1 4 B 6 4 1 7 C 4 6 1 7 D 1 6 4 7 解题思路 密文与明文之间是有对应规则的 只要按照对应规则进行对应即可 解析 当接收方收到密文 14 9 23 28 时 有 214 29 2323 428 ab bc cd d 解得 6 4 1 7 a b c d 解密得到的明文为 C 考点四 函数的表达式考点四 函数的表达式 题型 1 由复合函数的解析式求原来函数的解析式 例 6 04 湖北改编 已知 1 1 x x f 2 2 1 1 x x 则 xf的解析式可取为 解题思路 这是复合函数的解析式求原来函数的解析式 应该首选换元法 解析 令t x x 1 1 则 1 1 t t x 1 2 2 t t tf 1 2 2 x x xf 故应填 2 1 2 x x 题型 2 求二次函数的解析式 例 7 普宁市城东中学 09 届高三第二次月考 二次函数 xf满足 xxfxf2 1 且1 0 f 求 xf的解析式 在区间 1 1 上 xfy 的图象恒在mxy 2的图象上方 试确定实数m的范围 解题思路 1 由于已知 xf是二次函数 故可应用待定系数法待定系数法求解 2 用数表示 形 可得求 2xfmx 对于 1 1 x恒成立 从而通过分离参数 求函数的最值即 可 解析 设 2 0 f xaxbxc a 则 22 1 1 1 2 f xf xa xb xcaxbxc axab 与已知条件比较得 22 0 a ab 解之得 1 1 a b 又 0 1fc 2 1f xxx 由题意得 2 12xxxm 即 2 31mxx 对 1 1x 恒成立 易得 2 min 31 1mxx 考点五 分段函数考点五 分段函数 基础知识复习 基础知识复习 在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数 在不同的范围里求函数值时必须把自 变量代入相应的表达式 分段函数的解析式不能写成几个不同的方程 而应写成函数值几 种不同的表达式并用一个左大括号括起来 并分别注明各部分的自变量的取值情况 注意 1 分段函数是一个函数 不要把它误认为是几个函数 2 分段函数的定义域是各段 定义域的并集 值域是各段值域的并集 题型 1 根据分段函数的图象写解析式 例 8 07 年湖北 为了预防流感 某学校对教室用药 物消毒法进行消毒 已知药物释放过程中 室内每立方米空气中含药量 y 毫克 与时间 t 小时 成正比 药物释放完毕后 y 与 t 的函数关系式 为 a y 1 16 1 a 为常数 如图所示 根据图中提供的信息 回答下列 问题 从药物释放开妈 每立方米空气中的含药量 y 毫克 与时间 t 小 时 之间的函数关系式为 据测定 当空气中每立方米的含药量降低到 0 25 毫克以下时 学生方可进教室 那 么从药物释放开始 至少需要经过 小时后 学生才能回到教室 思路点拨 根据题意 药物释放过程的含药量 y 毫克 与时间 t 是一次函数 药物释放完 毕后 y 与 t 的函数关系是已知的 由特殊点的坐标确定其中的参数 然后再由所得的表达 式解决 解析 观察图象 当1 00 t时是直线 故ty10 当1 0 t时 图象过 1 1 0 所以 a 1 0 16 1 1 即1 0 a 所以 1 0 16 1 1 0 0 10 1 0 t tt y t 6 0 16 1 16 1 25 0 16 1 5 01 01 0 t aa 所以至少需要经过6 0小时 题型 2 由分段函数的解析式画出它的图象 例 9 2006 上海 设函数54 2 xxxf 在区间 6 2 上画出函数 xf的图像 思路 点拨 需将 来绝对值符号打开 即先解054 2 xx 然后依分界点将函数分段表示 再画出图象 解析 2 2 2 452156 45 45 15 xxxx f xxx xxx 或 如右上图 考点六考点六 函数的单调性函数的单调性 基础知识复习 基础知识复习 定义及判定方法 函数的 性 质 定义图象判定方法 函数的 单调性 如果对于属于定义域 I 内某个区间上的任意两 个自变量的值 x1 x2 当 x x1 1 x x2 2时 都有 f xf x1 1 f x f x2 2 那么就说 f x 在这个区间上是增函增函 数数 x1x2 y f X x y f x 1 f x 2 o 1 利用定义 2 利用已知函 数的单调性 3 利用函数图 象 在某个区间 图 象上升为增 4 利用复合函 数 如果对于属于定义域 I 内某个区间上的任意两 个自变量的值 x1 x2 当 x x1 1 f xf x2 2 那么就说 f x 在 这个区间上是减函数减函数 y f X y x o xx2 f x f x 2 1 1 1 利用定义 2 利用已知函 数的单调性 3 利用函数图 象 在某个区间 图 象下降为减 4 利用复合函 数 在公共定义域内 两个增函数的和是增函数 两个减函数的和是减函数 增函数减在公共定义域内 两个增函数的和是增函数 两个减函数的和是减函数 增函数减 去一个减函数为增函数 减函数减去一个增函数为减函数 去一个减函数为增函数 减函数减去一个增函数为减函数 对于复合函数对于复合函数 令 令 若 若为增 为增 为增 则为增 则 yf g x ug x yf u ug x 为增 若为增 若为减 为减 为减 则为减 则为增 若为增 若 yf g x yf u ug x yf g x 为增 为增 为减 则为减 则为减 若为减 若为减 为减 yf u ug x yf g x yf u 为增 则为增 则为减 为减 ug x yf g x 2 打 函数的图象与性质 0 a f xxa x 分别在 上为增函数 分别在 上为减 f x a a 0 a 0 a 函数 题型 1 讨论函数的单调性 例 9 1 试用函数单调性的定义判断函数在区间 0 1 上的单调性 2 1 x f x x 解解 任取 0 1 且 则 12 x x 12 xx 1221 12 1212 222 11 1 1 xxxx f xf x xxxx 由于 故 即 12 01xx 1 10 x 2 10 x 21 0 xx 12 0f xf x 12 f xf x 所以 函数在 0 1 上是减函数 2 1 x f x x 例 9 2 求下列函数的单调区间 y xo 1 2 1 24 yxx 2 2 3yxx 解解 1 其图象如右 33 1 1 24 5 21 33 2 xx yxxxx xx 由图可知 函数在上是增函数 在上是减函数 2 2 2 其图象如右 2 2 2 23 0 2 3 23 0 xxx yxx xxx 由图可知 函数在 上是增函数 在 上是减函数 1 0 1 1 0 1 例 9 3 已知 指出的单调区间 31 2 x f x x f x 解解 3 2 55 3 22 x f x xx 把的图象沿 x 轴方向向左平移 2 个单位 再沿 y 轴向上平移 3 个单位 5 g x x 得到的图象 如图所示 f x 由图象得在单调递增 在上单调递增 f x 2 2 题型题型 2 2 研究抽象函数的单调性 研究抽象函数的单调性 例 10 定义在 R 上的函数 xfy 0 0 f 当 x 0 时 1 xf 且对任意的 a b R 有 f a b f a f b 1 求证 f 0 1 2 求证 对任意的 x R 恒有 f x 0 3 求证 f x 是 R 上的增函数 4 若 f x f 2x x2 1 求 x 的取值范围 解题思路 抽象函数问题要充分利用 恒成立 进行 赋值 从关键等式和不等式的特点入手 解析 1 证明 令 a b 0 则 f 0 f 2 0 又 f 0 0 f 0 1 2 证明 当 x 0 时 x 0 f 0 f x f x 1 f x 1 xf 0 又 x 0 时 f x 1 0 x R 时 恒有 f x 0 3 证明 设 x1 x2 则 x2 x1 0 f x2 f x2 x1 x1 f x2 x1 f x1 x2 x1 0 f x2 x1 1 又 f x1 0 f x2 x1 f x1 f x1 f x2 f x1 f x 是 R 上的增函数 4 解 由 f x f 2x x2 1 f 0 1 得 f 3x x2 f 0 又 f x 是 R 上的增函数 3x x2 0 0 x 3 考点七考点七 最值的求法最值的求法 题型 1 求分式函数的最值 例 11 2000 年上海 已知函数 x axx xf 2 2 1 x 当 2 1 a时 求函数 xf的最小值 解题思路 当 2 1 a时 2 2 1 x xxf 这是典型的 对钩函数 欲求其最小值 可以考虑均值不等式或导数 解析 当 2 1 a时 2 2 1 1 2 2 1 x xf x xxf 1 x 0 x f xf在区间 1 上为增函数 xf 在区间 1 上的最小值为 2 7 1 f 题型 2 还原法求最值 例 11 1 求函数的最小值 21yxx 解解 令 则 所以 在时是增函数 1xt 0t 2 1xt 22 115 222 48 yttt 0t 当时 故函数的最小值为 2 0t min 2y 考点八考点八 判断函数的奇偶性及其应用判断函数的奇偶性及其应用 基础知识复习 定义及判定方法 函数的 性 质 定义图象判定方法 如果对于函数 f x 定义 域内任意一个 x 都有 f x f x f x 那么函数 f x 叫做奇函数奇函数 1 利用定义 要先判断定义域 是否关于原点对称 2 利用图象 图 象关于原点对称 函数的 奇偶性 如果对于函数 f x 定义 域内任意一个 x 都有 f x f x f x 那么函数 f x 叫做偶函数偶函数 1 利用定义 要先判断定义域 是否关于原点对称 2 利用图象 图象关于 y 轴对 称 若函数为奇函数 且在处有定义 则 f x0 x 0 0f 奇函数在轴两侧相对称的区间增减性相同 偶函数在轴两侧相对称的区间增减yy 性相反 在公共定义域内 两个偶函数 或奇函数 的和 或差 仍是偶函数 或奇函数 两个偶函数 或奇函数 的积 或商 是偶函数 一个偶函数与一个奇函数的积 或 商 是奇函数 题型 1 判断有解析式的函数的奇偶性 例 12 判断下列函数的奇偶性 1 f x x 1 x 1 2 f x x 1 x x 1 1 3 2 2 1 2 x x xf 4 0 1 0 1 xxx xxx xf 思路点拨 判断函数的奇偶性应依照定义解决 但都要先考查函数的定义域 解析 1 函数的定义域 x 对称于原点 f x x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 f x f x x 1 x 1 是奇函数 2 先确定函数的定义域 由 x x 1 1 0 得 1 x 1 其定义域不对称于原点 所以 f x 既不是奇函数也不是偶函数 3 去掉绝对值符号 根据定义判断 由 02 2 01 2 x x 得 4 0 11 xx x 且 故 f x 的定义域为 1 0 0 1 关于原点对称 且有x 2 0 从而有f x 22 1 2 x x x x21 f x x x 2 1 x x21 f x 故 f x 为奇函数 4 函数 f x 的定义域是 0 0 并且当 x 0 时 x 0 f x x 1 x x 1 x f x x 0 当 x 0 时 x 0 f x x 1 x f x x 0 故函数 f x 为奇函数 例 13 09 年山东梁山 定义在区间 1 1 上的函数 f x 满足 对任意的 1 1 yx 都有 1 xy yx fyfxf 求证 f x 为奇函数 思路点拨 欲证明 xf为奇函数 就要证明 xfxf 但这是抽象函数 应设法充 分利用条件 对任意的 1 1 yx 都有 1 xy yx fyfxf 中的yx 进行合理 赋值 解析 令 x y 0 则 f 0 f 0 0 01 00 ff f 0 0 令 x 1 1 x 1 1 f x f x f 2 1x xx f 0 0 f x f x f x 在 1 1 上为奇函数 考点九考点九 函数奇偶性 单调性的综合应用函数奇偶性 单调性的综合应用 例 14 普宁市城东中学 09 已知奇函数 xf是定义在 2 2 上的减函数 若 0 12 1 mfmf 求实数m的取值范围 思路点拨 欲求m的取值范围 就要建立关于m的不等式 可见 只有从 0 12 1 mfmf出发 所以应该利用 xf的奇偶性和单调性将外衣 f 脱去 解析 xf是定义在 2 2 上奇函数 对任意x 2 2 有 fxf x 由条件0 12 1 mfmf得 1 21 f mfm 12 fm xf是定义在 2 2 上减函数 21 212mm 解得 12 23 m 实数m的取值范围是 12 23 m 例 15 设函数 f x 是定义在 R 上的偶函数 并在区间 0 内单调递增 f 2a2 a 1 f 3a2 2a 1 求 a 的取值范围 并在该范围内求函数 y 2 1 13 2 aa 的单调递减区间 思路点拨 欲由 f 2a2 a 1 f 3a2 2a 1 求 a 的取值范围 就要设法利用函数 f x 的单调性 而函数 y 2 1 13 2 aa 是一个复合函数 应该利用复合函数单调性的判定方法解决 解析 设 0 x1 x2 则 x2 x1 0 f x 在区间 0 内单调递增 f x2 f x1 f x 为偶函数 f x2 f x2 f x1 f x1 f x2 f x1 f x 在 0 内单调递减 0 3 2 3 1 3123 0 8 7 4 1 212 2222 aaaaaa又 由 f 2a2 a 1 3a2 2a 1 解之 得 0 a 3 又 a2 3a 1 a 2 3 2 4 5 函数 y 2 1 13 2 aa 的单调减区间是 3 2 结合 0 a0 且 a 1 2 真数 N 0 3 注意对数的书写格式 2 两个重要对数 1 常用对数 以 10 为底的对数 10 loglgNN记为 2 自然对数 以无理数 e 为底的对数的对数 log ln eN N记为 3 对数式与指数式的互化 log x a xNaN 对数式 指数式 对数底数 a 幂底数 对数 x 指数 真数 N 幂 结论 1 负数和零没有对数 2 logaa 1 loga1 0 特别地 lg10 1 lg1 0 lne 1 ln1 0 3 对数恒等式 log N a aN 对数的运算性质 如果 a 0 a 1 M 0 N 0 有 1 logM Nloglog aaa MN 两个正数的积的对数等于这两个正数的对数和 2 NM N M aaa logloglog 两个正数的商的对数等于这两个正数的对数差 3 log logn n aa MnM R 一个正数的 n 次方的对数等于这个正数的对数 n 倍 说明 1 简易语言表达 积的对数 对数的和 2 有时可逆向运用公式 3 真数的取值必须是 0 4 特别注意 NMMN aaa logloglog NMNM aaa logloglog 注意 换底公式 loglg log0 1 0 1 0 loglg c a c bb baaccb aa 利用换底公式推导下面的结论 a b b a log 1 log log logloglog abca bcdd loglog m n a a n bb m 考点二考点二 指数函数指数函数 基础知识复习 基础知识复习 1 指数函数的概念 一般地 函数 叫做指数函数 其中 x 是自变量 函数的定义 x ya 域为 R 注意 指数函数的底数的取值范围 底数不能是负数 零和底数不能是负数 零和 1 即 即 a 0 且且 a 1 2 指数函数的图象和性质 0 a1 图 像 定义域 R 值域 0 1 过定点 0 1 即 x 0 时 y 1 2 在 R 上是减函数 2 在 R 上是增函数 性质 3 当 当 x 0 时时 0 y 1 当当 x1 3 当 当 x 0 时时 y 1 当当 x 0 时时 0 y0 时时 0 y 1 在第二象限内的图象纵坐标都大于 1当当 x1 0 a0 时时 y 1 在第二象限内的图象纵坐标都小于 1当当 x 0 时时 0 y1 图象上升趋势是越来越陡函数值开始增长较慢 到了某一值后增长速度极快 注意 指数增长模型 y N 1 p x 指数型函数 y kax 3 考点 1 ab N 当 b 0 时 a N 在 1 的同侧 当 b0 且 y 1 3 1 x 2 y 4x 2x 1 1 的定义域为 R 2x 0 y 4x 2x 1 1 2x 2 2 2x 1 2x 1 2 1 y 4x 2x 1 1 的值域为 y y 1 题型四 最值问题 例 4 函数在区间上有最大值 14 则 a 的值是 2 21 01 xx yaaaa 且 11 且 分析 令可将问题转化成二次函数的最值问题 需注意换元后 的取值范围 x ta t 解 令 则 函数可化为 其对称轴 x ta 0t 2 21 xx yaa 2 1 2yt 为 1t 当时 1a 11x 且 即 1 x aa a 1 ta a 当时 ta 2 max 1 214ya 解得或 舍去 3a 5a 当时 01a 11x 且 即 1 x aa a 1 at a 时 1 t a 2 max 1 1214y a 解得或 舍去 a 的值是 3 或 1 3 a 1 5 a 1 3 题型五 解指数方程 例 5 解方程 22 3380 xx 解 原方程可化为 令 上述方程可化为 2 9 3 80390 xx 3 0 x tt 解得或 舍去 经检验原方程的解是 2 98090tt 9t 1 9 t 39 x 2x 2x 题型六 图象变换及应用问题 例 6 为了得到函数的图象 可以把函数的图象 935 x y 3xy A 向左平移 9 个单位长度 再向上平移 5 个单位长度 B 向右平移 9 个单位长度 再向下平移 5 个单位长度 C 向左平移 2 个单位长度 再向上平移 5 个单位长度 D 向右平移 2 个单位长度 再向下平移 5 个单位长度 分析 注意先将函数转化为 再利用图象的平移规律进行判935 x y 2 35 x t 断 解 把函数的图象向左平移 2 个单位长度 再向上 2 93535 xx y 3xy 平移 5 个单位长度 可得到函数的图象 故选 C 935 x y 题型七 指数函数与复合函数 基础知识参照函数的单调性中复合函数的应用 例 7 求函数 y 的单调区间 23 2 3 1 xx 这是复合函数求单调区间的问题 可设 y u x2 3x 2 其中 y 为减函数 u 3 1 u 3 1 u x2 3x 2 的减区间就是原函数的增区间 即减减 增 u x2 3x 2 的增区间就是原函数的减区间 即减 增 减 解 设 y u x2 3x 2 y 关于 u 递减 u 3 1 当 x 时 u 为减函数 2 3 y 关于 x 为增函数 当 x 时 u 为增函数 y 关于 x 为减函数 2 3 题型八 指数函数与单调性及奇偶性 例 8 已知函数 f x a a R 12 2 x 1 求证 对任何 a R f x 为增函数 2 若 f x 为奇函数时 求 a 的值 1 证明 设 x1 x2 f x2 f x1 0 21 21 22 2 21 12 xx xx 故对任何 a R f x 为增函数 2 又 f x 为奇函数xR 得到 即 0 0f 10a 1a 题型九 指数函数变换图像 例 9 函数 y a x a 1 的图像是 本题主要考查指数函数的图像和性质 函数奇偶性的函数图像 以及数形结合思想和 分类讨论思想 解法 1 分类讨论 去绝对值 可得 y 0 1 0 x a xa x x 又 a 1 由指数函数图像易知 应选 B 解法 2 因为 y a x 是偶函数 又 a 1 所以当 x 0 时 y ax是增函数 x 0 时 y a x是减函数 应选 B 考点三考点三 对数函数对数函数 1 对数函数的概念 函数 a 0 且 a 1 叫做对数函数 其中 x 是自变量 函logayx 数的定义域是 0 注意 1 对数函数的定义与指数函数类似 都是形式定义 注意辨别 如 都不是对数函数 而只能称其为对数型函数 log1 a yx log2 a yx 2 对数函数对底数的限制 a 0 且 a 1 2 对数函数的图像与性质 对数函数 a 0 且 a 1 logayx 0 a 1a 1 图 像 y y y x x x 0 0 0 1 0 1 0 1 0 y y y x x x 0 0 0 1 0 1 0 1 0 定义域 0 值域 R 过点 1 0 即当 x 1 时 y 0 在 0 上是减函数在 0 上是增函数性 质 当 x 1 时 y 0 当 x 1 时 y 0 当 0 x0 当 x 1 时 y 0 当 x 1 时 y 0 当 0 x 1 时 y0 当当 a b 不同在不同在 0 1 内 或不同在内 或不同在 1 内时内时 有有 logab0 得 函数的定义域是 2 x0 x 2 log xy a 0 x x 2 由得 函数的定义域是 04 x4 x 4 logxy a 4x x 3 由 9 得 3 函数的定义域0 2 x3 x 9 log 2 xy a 是 33xx 题型二 反函数 例例 2 2 求函数和函数的反函数 2 5 1 x y2 2 1 1 2 x y 0 x 解 1 1 2 5 x y 1 1 5 log 2 fxx 2 x 2 2 1 1 2 2 x y 1 1 2 log 2 fxx 5 2 2 x 题型三 对数大小比较 例例 3 13 1 比较下列各组数中两个值的大小 1 2 3 2 log 3 4 2 log 8 5 0 3 log1 8 0 3 log2 7log 5 1 a log 5 9 a 解 1 对数函数在上是增函数 2 logyx 0 于是 2 log 3 4 2 log 8 5 2 对数函数在上是减函数 0 3 logyx 0 于是 0 3 log1 8 0 3 log2 7 3 当时 对数函数在上是增函数 1a logayx 0 于是 log 5 1 a log 5 9 a 当时 对数函数在上是减函数 1oa logayx 0 于是 log 5 1 a log 5 9 a 例例 3 23 2 比较下列比较下列各组数中两个值的大小 1 2 6 log 7 7 log 6 3 log 2 log 0 8 3 4 0 9 1 1 1 1 log0 9 0 7 log0 8 5 log 3 6 log 3 7 log 3 解 1 66 log 7log 61 77 log 6log 71 6 log 7 7 log 6 2 33 loglog 10 22 log 0 8log 10 3 log 2 log 0 8 3 0 90 1 11 11 1 11 1 log0 9log 10 0 70 70 7 0log1log0 8log0 71 0 9 1 1 0 7 log0 8 1 1 log0 9 4 333 0log 5log 6log 7 5 log 3 6 log 3 7 log 3 例例 3 33 3 已知 比较 的大小 log 4log 4 mn mn 解 当 时 得log 4log 4 mn 44 11 loglogmn 1m 1n 44 11 0 loglogmn 当 时 得 44 loglognm 1mn 01m 01n 44 11 0 loglogmn 当 时 得 44 loglognm 01nm 01m 1n 4 log0m 4 0log n 01m 1n 01mn 综上所述 的大小关系为或或 mn1mn 01nm 01mn 题型四 对数函数求定义域和值域 例例 4 4 1 1 函数 y logx 1 3 x 的定义域是 如果对数有意义 求 x 的取值范围 56 log 2 7 xx x 解 要使原函数有意义 则 2 650 70 71 xx x x 解之得 7 x 6 6 x 原函数的定义域为 7 6 6 5 1 例例 4 4 2 2 函数的定义域为一切实数 求 k 的取值范围 4 5 2 lg 2 xkxy 5252k 例例 4 34 3 求下列函数的值域 1 2 3 且 2 log 3 yx 2 2 log 3 yx 2 log 47 a yxx 0a 1a 解 1 令 则 即函数值域为 3tx 2