苏锡常镇2017届高三二模(5月)数学试题word版含附加含答案

2016 2017 学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研 二 数 学 试 题 2017 5 注意事项 注意事项 1 本试卷共 4 页 包括填空题 第 1 题 第 14 题 解答题 第 15 题 第 20 题 两部 分 本试卷满分 160 分 考试时间 120 分钟 2 答题前 请您务必将自己的姓名 考试号用毫米黑色字迹的签字笔填写在答题卡0 5 的指定位置 3 答题时 必须用毫米黑色字迹的签字笔填写在答题卡的指定位置 在其它位置作0 5 答一律无效 4 如有作图需要 可用 2B 铅笔作答 并请加黑加粗 描写清楚 5 请保持答题卡卡面清洁 不要折叠 破损 一律不准使用胶带纸 修正液 可擦洗的 圆珠笔 一 填空题 本大题共 14 小题 每小题 5 分 共 70 分 不需要写出解答过程 请把答 案直接填在答题卡相应位置上 1 已知集合 则 13Axx 2Bx x AB 2 已知 i 为虚数单位 复数 且 则 1 3izy Ry 2 2iz 1 2 1i z z y 3 下表是一个容量为 10 的样本数据分组后的频数分布 若利用组中值近似计算本组数 据的平均数 则的值为 xx 数据 12 5 15 5 15 5 18 5 18 5 21 5 21 5 24 5 频数2134 4 已知直线为双曲线的一条渐近线 则该双曲线的230 xy 22 22 1 0 0 xy ab ab 离心率的值为 5 据记载 在公元前 3 世纪 阿基米德已经得出了前 n 个自然数 平方和的一般公式 右图是一个求前 n 个自然数平方和的算法 流程图 若输入的值为 1 则输出的值为 xS 6 已知是集合所表示的区域 是集合 1 22 1x y xy 2 所表示的区域 向区域内随机的投一个点 x y yx 1 则该点落在区域内的概率为 2 7 已知等比数列的前 n 项和为 公比 n a n S3q 则 34 53 3 SS 3 a 8 已知直四棱柱底面是边长为 2 的菱形 侧面对角线的长为 则该直四棱柱的侧面2 3 积为 9 已知是第二象限角 且 则 3 sin 10 tan 2 tan 10 已知直线 圆 当直线 被圆所截l210mxym C 22 240 xyxy lC 得的弦长最短时 实数 m 11 在 中 角对边分别是 若满足 则角的大ABC A B C a b c2 cos 23bAca B 小为 12 在 中 是 ABC 所在平面内一点 若ABCABAC 1 AB t ACt P 则 PBC 面积的最小值为 4 ABAC AP ABAC 13 已知函数 若函数有三个零点 则实数 b 的 2 4 0 3 0 xxx f x x x 3g xf xxb 取值范围为 14 已知均为正数 且 则的最小值为 a b20abab 2 2 21 4 a b ab 开始 结束 是 否 5S 2 SSx 0S 输入x 1xx 输出S 二 解答题 本大题共 6 小题 共 90 分 请在答题卡指定区域内作答 解答时应写出必 要的文字说明 证明过程或演算步骤 15 本小题满分 14 分 已知向量 m 3cos 1 x n 2 sin cos xx 1 当时 求的值 3 x m n 2 若 且 求的值 0 4 x m n 31 32 cos2x 16 本小题满分 14 分 如图 在四面体 ABCD 中 平面 ABC 平面 ACD E F G 分别为 AB AD AC 的中点 ACBC 90ACD 1 求证 AB 平面 EDC 2 若 P 为 FG 上任一点 证明 EP 平面 BCD 17 本小题满分 14 分 某科研小组研究发现 一棵水蜜桃树的产量 单位 百千克 与肥料费用 单wx 位 百元 满足如下关系 且投入的肥料费用不超过 5 百元 此外 3 4 1 w x 还需要投入其他成本 如施肥的人工费等 百元 已知这种水蜜桃的市场售价为2x 16 元 千克 即 16 百元 百千克 且市场需求始终供不应求 记该棵水蜜桃树获得的 利润为 单位 百元 L x 1 求利润函数的函数关系式 并写出定义域 L x 2 当投入的肥料费用为多少时 该水蜜桃树获得的利润最大 最大利润是多少 P G F E D C B A 18 本小题满分 16 分 已知函数 a b 为实数 e 为自然对数的底数 3 lnf xaxbx 0b e2 71828 1 当 时 设函数的最小值为 求的最大值 0a 1b f x g a g a 2 若关于 x 的方程在区间上有两个不同实数解 求的取值范围 0f x 1e a b 19 本小题满分 16 分 已知椭圆的左焦点为 左准线方程为 22 22 1 0 xy Cab ab 1 0 F 2x 1 求椭圆的标准方程 C 2 已知直线 交椭圆于 两lCAB 点 若直线 经过椭圆的左焦点 lCF 交轴于点 且满足 yPPAAF 求证 为定值 PBBF 若 A B 两点满足 O 为OAOB 坐标原点 求 AOB 面积的取值范 围 20 本小题满分 16 分 已知数列满足 其中 为非零常数 n a 2 11 4 1 2 nn n n aa aa a Nn 1 若 求证 为等比数列 并求数列的通项公式 3 8 1 n a n a 2 若数列是公差不等于零的等差数列 n a 求实数的值 数列的前 n 项和构成数列 从中取不同的四项按从小到大排 n a n S n S n S 列组成四项子数列 试问 是否存在首项为的四项子数列 使得该子数列中的所 1 S y x P F B A O 有项之和恰好为 2017 若存在 求出所有满足条件的四项子数列 若不存在 请说 明理由 2016 2017 学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研 二 数学 附加 试题 2017 5 注意事项 注意事项 1 本试卷只有解答题 供理工方向考生使用 本试卷第 21 题有 4 个小题供选做 每位 考生在 4 个选做题中选答 2 题 如多答 则按选做题中的前 2 题计分 第 22 23 题 为必答题 每小题 10 分 共 40 分 考试用时 30 分钟 2 答题前 请您务必将自己的姓名 考试号用毫米黑色字迹的签字笔填写在试卷的0 5 指定位置 3 答题时 必须用毫米黑色字迹的签字笔填写在试卷的指定位置 在其它位置作答0 5 一律无效 4 如有作图需要 可用 2B 铅笔作答 并请加黑加粗 描写清楚 5 请保持答题卡卡面清洁 不要折叠 破损 一律不准使用胶带纸 修正液 可擦洗的 圆珠笔 21 选做题 本题包括 四小题 每小题 10 分 请选定其中两题 并在ABCD 相应的答题区域内作答 若多做 则按作答的前两题评分 解答时应写出必要的文字说 明 证明过程或演算步骤 A 选修 选修 4 1 几何证明选讲 几何证明选讲 如图 直线切圆于点 直线交圆于两点 于点 DEODEOO A BDCOB C 且 求证 2DEBE 23OCBC B 选修 选修 4 2 矩阵与变换 矩阵与变换 已知矩阵的一个特征值及对应的特征向量 M 1 3 a b 1 1 e 1 1 求矩阵的逆矩阵 M A BC D O EO C 选修 选修 4 4 坐标系与参数方程 坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中 以 O 为极点 x 轴的正半轴为极轴 取相同的单位长度 xOy 建立极坐标系 已知曲线的参数方程为为参数 1 C 32cos 0 2 32sin x y 曲线的极坐标方程为 若曲线与曲线有且仅有一个 2 C sin 3 a Ra 1 C 2 C 公共点 求实数的值 a D 选修 选修 4 5 不等式选讲 不等式选讲 已知为正实数 求证 a b c 222 bca abc abc 必做题 第 22 23 题 每小题 10 分 共 20 分 请把答案写在答题卡的指定区域内 解答时应写出文字说明 证明过程或演算步骤 22 本小题满分 10 分 已知袋中装有大小相同的 2 个白球 2 个红球和 1 个黄球 一项游戏规定 每个白球 红球和黄球的分值分别是 0 分 1 分和 2 分 每一局从袋中一次性取出三个球 将 3 个球对应的分值相加后称为该局的得分 计算完得分后将球放回袋中 当出现第局n 得分 的情况就算游戏过关 同时游戏结束 若四局过后仍未过关 游戏n Nn 也结束 1 求在一局游戏中得 3 分的概率 2 求游戏结束时局数的分布列和数学期望 X E X 23 本小题满分 10 分 已知 01 1 1 1 nnkknnnn nnnnn fxC xCxCxkCxn 其中 RNNxnkk n 1 试求 的值 1 f x 2 fx 3 fx 2 试猜测关于 n 的表达式 并证明你的结论 n fx 2016 2017 学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研 二 学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研 二 数学数学参考答案参考答案 2017 5 一 填空题 1 2 1 3 19 7 4 12xx 21 3 5 14 6 7 8 3 4 316 2 9 10 1 11 12 1 7 6 3 2 13 14 7 1 6 0 4 二 解答题 本大题共 6 小题 共计 90 分 15 解 1 当时 4 分 3 x m 3 1 2 n 3 1 24 所以 6 分 m n 311 442 2 m n 2 cos sincosxxx 3 8 分 311 1 sin2cos2sin 2 22262 xxx 若 则 即 m n 31 32 1 sin 2 31 3262 x 3 3 sin 2 6 x 因为 所以 所以 10 分 0 4 x 2 663 x 6 cos 2 63 x 则 12 分 3 1 cos2cos 2 cos 2 sin 2 666262 xxxx 14 分 63313 23 32326 16 1 因为平面 ABC 平面 ACD 即 CD AC 90ACD 平面 ABC 平面 ACD AC CD平面 ACD 所以 CD 平面 ABC 3 分 又 AB平面 ABC 所以 CD AB 4 分 因为 E 为 AB 的中点 所以 CE AB 6 分ACBC 又 CD平面 EDC CE平面 EDC CECDC 所以 AB 平面 EDC 7 分 2 连 EF EG 因为 E F 分别为 AB AD 的中点 所以 EF BD 又平面 BCD 平面 BCD BD EF 所以 EF 平面 BCD 10 分 同理可证 EG 平面 BCD 且 EFEG E EF平面 BCD EG平面 BCD 所以平面 EFG 平面 BCD 12 分 又 P 为 FG 上任一点 所以 EP平面 EFG 所以 EP 平面 BCD 14 分 17 解 1 4 348 16 42643 11 L xxxx xx 05x 分 2 法一法一 4848 6436731 11 L xxx xx 8 分 48 6723143 1 x x 当且仅当时 即时取等号 10 分 48 31 1 x x 3x 故 12 分 max43L x 答 当投入的肥料费用为 300 元时 种植该果树获得的最大利润是 4300 元 14 分 法二法二 由得 7 分 2 48 3 1 L x x 0L x 3x 故当时 在上单调递增 0 3x 0L x L x 0 3 当时 在上单调递减 10 分 3 10 x 0L x L x 3 5 故 12 分 max43L x 答 当投入的肥料费用为 300 元时 种植该果树获得的最大利润是 4300 元 14 分 18 解 1 当时 函数 1b 3 lnf xaxx 则 2 分 3 2 3 3 aax fxx xx 令 得 因为时 0fx 3 3 a x 0a 3 0 3 a x 3 0 3 a 3 3 a 3 3 a fx 0 f x 极小值 所以 4 分 33 lnln 333333 aaaaaa g afa 令 lnt xxxx 则 令 得 lnt xx 0t x 1x 且当时 有最大值 1 1x t x 所以的最大值为 1 表格略 分段写单调性即可 此时 6 分 g a3a 2 由题意得 方程在区间上有两个不同实数解 3 ln0axbx 1e 所以在区间上有两个不同的实数解 3 ln ax bx 1e 即函数图像与函数图像有两个不同的交点 9 分 1 a y b 3 ln x m x x 因为 令 得 2 2 3ln1 ln xx m x x 0m x 3 ex x 3 1 e 3 e 3 e e m x 0 m x 3e 所以当时 14 分 3 1e x 3e m x 当时 3 ee x 3 3e e m x 所以满足的关系式为 即的取值范围为 16 分 a b 3 3ee a b a b 3 3ee 19 解 1 由题设知 即 1 分 2 2 e 2222 2 acbc 22 2 ab 代入椭圆得到 则 2 分 2 1 2 C 22 11 1 22 bb 2 1 b 2 2 a 3 分 2 2 1 2 x Cy 2 由题设知直线 的斜率存在 设直线 的方程为 则 ll 1 yk x 0 Pk 设 直线 代入椭圆得 整理得 1122 A x yB xyl 222 2 1 2xkx 5 分 2222 12 4220kxk xk 22 1212 22 422 1212 kk xxx x kk 由 知 7 分 PAAF PBBF 12 12 11 xx xx 定值 9 分 22 22 1212 22 1212 22 444 24 1212 4 42211 1 1212 kk xxx x kk kkxxx x kk 当直线分别与坐标轴重合时 易知 AOB 的面积 10 分 OA OB 2 2 S 当直线的斜率均存在且不为零时 设 OA OB 1 OA ykx OB yx k 设 将代入椭圆得到 1122 A x yB xyykx C 222 22xk x 同理 12 分 2 22 11 22 22 2121 k xy kk 2 22 22 22 22 22 k xy kk AOB 的面积 13 分 2 2 22 1 2212 k OA OB S kk 令 2 11 tk 2 2 1 11 211 2 t S tt tt 令 则 15 分 1 0 1 u t 22 1122 232 19 24 S uu u 综上所述 16 分 22 32 S 20 解 1 当时 3 8 2 1 384 32 2 32 22 nnnn nn nn aaaa aa aa 2 分 1 13 1 nn aa 又 不然 这与矛盾 3 分10 n a 1 10a 1 12a 为 2 为首项 3 为公比的等比数列 1 n a 4 分 1 12 3n n a 1 2 31 n n a 2 设 1 1 1 n aanddnd 由得 2 1 4 2 nn n n aa a a 2 1 2 4 nnnn aaaa 5 分 2 3 1 1 1 4dnddndnddnd 222222 4 3 2 1 1 1 4dnddndd nddndd 对任意恒成立 7 分 Nn 即 9 分 22 2 2 4 2 1 3 1 1 4 dd dddd ddd 1 2 2 ud d 1 4 2 ud 综上 10 分14 21 n an 由 知 2 121 2 n nn Sn 设存在这样满足条件的四元子列 观察到 2017 为奇数 这四项或者三个奇数一个偶 数 或者一个奇数三个偶数 若三个奇数一个偶数 设是满足条件的四项 1 121212 xyz S SSS 则 222 1 21 21 42017xyz 这与 1007 为奇数矛盾 不合题意舍去 11 分 222 2 1007xxyyz 若一个奇数三个偶数 设是满足条件的四项 2 1222 xyz S SSS 则 12 分 2222 14442017xyz 222 504xyz 由 504 为偶数知 中一个偶数两个奇数或者三个偶数 x y z 1 若中一个偶数两个奇数 不妨设 x y z 111 221 21 xxyyzz 则 这与 251 为奇数矛盾 13 分 222 11111 2 251xyyzz 2 若均为偶数 不妨设 x y z 111 2 2 2xx yy zz 则 继续奇偶分析知中两奇数一个偶数 222 111 126xyz 111 x y z 不妨设 则 14 分 12 2xx 12 21yy 12 21zz 222 22222 31xyyzz 因为均为偶数 所以为奇数 不妨设 2222 1 1 yyzz 2 x 22 0yz 当时 检验得 2 1x 22 2222 30yyzz 2 22 14yy 2 0y 2 5z 2 1x 当时 检验得 2 3x 22 2222 22yyzz 2 22 10yy 2 1y 2 4z 2 3x 当时 检验得 2 5x 22 2222 6yyzz 2 22 2yy 2 0y 2 2z 2 5x 即或者或者满足条件 14844 S S S S 1122436 S SSS 142040 S S SS 综上所述 为全部满足条件的四元 14844 S SS S 1122436 S SSS 142040 S S SS 子列 16 分 第 第 卷卷 理科附加卷 理科附加卷 21 选做题 本题包括 四小题 每小题 10 分 ABCD A 选修 选修 4 1 几何证明选讲 几何证明选讲 解 连结 OD 设圆的半径为 R 则 2 分BEx ODR 22DEBEx 在 Rt ODE 中 即 DCOB 2 ODOC OE A 2 ROC Rx A 又 直线 DE 切圆 O 于点 D 则 即 6 分 2 DEBE OE A 2 4 xx Rx A 代入 8 分 2 3 R x 2 2 3 R ROC R A 3 5 R OC BCOBOC 3 5 R R 2 5 R 10 分23OCBC B 选修 选修 4 2 矩阵与变换 矩阵与变换 解 由题知 4 分 1111111 1 3131131 aaa bbb 6 分2 2ab 12 32 M 8 分 12 det 1 2234 32 M 10 分 1 11 22 31 44 M C 选修 选修 4 4 坐标系与参数方程 坐标系与参数方程 解 2222 3 3 4cos4sin4xy 曲线的普通方程为 4 分C 22 1 3 4xy 13 sin sincos 322 aa 曲线的直角坐标方程为 6 分D320 xya 曲线圆心到直线的距离为 8 分CD 22 333 12 2 3 1 a d 或 10 分 少一解 扣一32 a1 a5a 分 D 选修 选修 4 5 不等式选讲 不等式选讲 解法一 基本不等式 2 2 b ab a 2 2 c bc b 2 2 a ca c 6 分 222 bca abc abc 222abc 10 分 222 bca abc abc 解法二 柯西不等式 222 2 bca abcbca abc 10 分 222 bca abc abc 必做题 第 22 23 题 每小题 10 分 计 20 分 22 解 1 设在一局游戏中得 3 分为事件 A 则 2 分 111 221 3 5 2 5 C C C P A C 答 在一局游戏中得 3 分的概率为 3 分 2 5 2 的所有可能取值为 X1 2 3 4 在一局游戏中得 2 分的概率为 5 分 1221 2221 3 5 3 10 C CC C C 21 22 3 5 1 1 5 C C P X C 436 2 51025 P X 43228 3 1 5105125 P X 43342 4 1 5105125 P X 所以